PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

1. PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

2. Un insieme i cui elementi sono numeri reali è chiamato insieme numerico. LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE Insiemi numerici e insiemi di punti Detto R l’insieme dei numeri reali e data una retta orientata r, è noto che, stabilita un’unità di misura e un’origine O su r, a ogni numero reale si può associare un punto di r e viceversa; si puo’ cioè stabilire una corrispondenza biunivoca tra R e r. La retta r viene chiamata, per quanto appena detto, retta reale. In base a questa corrispondenza è possibile parlare indifferentemente di insieme numerico o di insieme di punti su r, ossia è lecito ‘‘confondere’’ i punti di r con i numeri reali a essi corrispondenti e viceversa; in altre parole è possibile identificare un insieme numerico con la sua ‘‘immagine geometrica’’ su r. Per tale motivo un insieme numerico verrà anche chiamato insieme lineare di punti e i suoi elementi sono quindi, indistintamente, numeri o punti della retta reale.

3. LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE La topologia della retta reale

4. LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

5. LE PREMESSE DELL’ANALISI INFINETISIMALE

14. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

15. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 1. LE FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE DEFINIZIONE Funzione iniettiva, funzione suriettiva, funzione biiettiva (o biunivoca) Una funzione da A a B si dice: - iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A; - suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A; - biiettiva (o biunivoca) se è sia iniettiva sia suriettiva. ESEMPIO y = 2x -1 ESEMPIO y = – x2 + 4 - Suriettiva se - Suriettiva - Iniettiva - Biiettiva - Non iniettiva se

16. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione crescente Una funzione y = f (x)di dominio si dice crescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) < f (x2). ESEMPIO y = x2 – 4 Funzione non decrescente Se, invece di f (x1) < f (x2), vale la funzione è crescente in senso lato Crescente in o non decrescente.

17. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione decrescente Una funzione y = f (x)di dominio si dice decrescente in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, comunque scelti x1 e x2 appartenenti a I, con x1 < x2, risulta f (x1) > f (x2). ESEMPIO Funzione non crescente Se, invece di f (x1) > f (x2), vale la funzione è decrescente in senso lato o non crescente. Decrescente in Non crescente in R

18. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 2. LE FUNZIONI CRESCENTI, LE FUNZIONI DECRESCENTI, LE FUNZIONI MONOTÒNE DEFINIZIONE Funzione monotona Una funzione di dominio si dice monotòna in senso stretto in un intervallo I, sottoinsieme di D, se, in quell’intervallo è sempre crescente o sempre decrescente in senso stretto. Funzione monotòna crescente in I Funzione monotòna decrescente in I

19. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 3. LE FUNZIONI PERIODICHE DEFINIZIONE Funzione periodica Una funzione y = f (x)si dice periodica di periodo T, con T > 0, se, per qualsiasi numero k intero,si ha: f(x) = f(x + kT). ESEMPIO y = sen (x) è periodica di periodo 2pperché sen (x) = sen (x + 2kp). y = tg (x) è periodica di periodo pperché tg (x) = tg (x + kp).

20. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI DEFINIZIONE Funzione pari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se , allora . Una funzione y = f (x) si dice pari in D se f (–x) = f (x) per qualunque x appartenente a D. ESEMPIO f (x) = 2x4 – 1 f (– x) = 2(– x)4 – 1 = 2x4 – 1 = f (x) f è pari.

21. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 3. LE FUNZIONI PARI E LE FUNZIONI DISPARI DEFINIZIONE Funzione dispari Indichiamo con D un sottoinsieme di R tale che, se , allora . Una funzione y = f (x) si dice dispari in D se f (–x) = – f (x) per qualunque x appartenente a D. ESEMPIO f (x) = x3 + x f (– x) = (– x)3 + (– x) = – x3 – x = – f (x) f è dispari.

22. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 4. LA FUNZIONE INVERSA DEFINIZIONE Funzione inversa Data la funzione biiettiva f da A a B, la funzione inversa di f è la funzione biiettiva f –1 da B ad A che associa a ogni y di B il valore x di A tale che y = f (x). Data una funzione biiettiva reale di variabile reale y = f(x), disegnare il grafico di f –1 equivale a partire dalle ordinate di f e ricavare le ascisse. Ordinate e ascisse si scambiano i ruoli. Il grafici di f e di f –1 sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

23. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 4. LA FUNZIONE INVERSA La funzione esponenziale e la funzione logarimica

24. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 4. LA FUNZIONE INVERSA La funzionearcoseno La funzione arcocoseno La funzione arcotangente La funzione arcocotangente

25. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 5. LE FUNZIONI COMPOSTE Le funzioni composte Date le due funzioni e , cono y = g (f (x)) indichiamo la funzione, detta funzione composta, da A a C che si ottiene associando a ogni x di A l’immagine mediante g dell’immagine di x mediante f. ESEMPIO Consideriamo: f (x) = x2, g(x) = x + 1. Otteniamo: La composizione NON è commutativa.

26. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE 6. ESERCIZI: LE FUNZIONI COMPOSTE

27. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE DOMINIO DI UNA FUNZIONE y=f(x)

28. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

29. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

30. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

31. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

32. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

33. LE PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

34. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO

35. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1. LA DEFINIZIONE Quando x si avvicina a x0, f(x) si avvicina a f(x0) o a un altro valore reale l ? Quando xsi avvicina a x0, f(x) si avvicina aun valore l che èproprio f(x0). x0 non appartieneal campo di esistenza.Quando xsi avvicina a x0, f(x) si avvicina aun valore l che non è f(x0). Quando x si avvicina a 0 la funzione oscilla indefinitamente.f(x) non si avvicinaad alcun valore determinato.

36. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1. LA DEFINIZIONE ESEMPIO Cosideriamo la funzione: . Che cosa succede ai valori di f(x) quando x si avvicina a 3? La condizione per avere |f(x) – 6| < e è |x – 3| < . Cioè, per ogni numero reale positivo e, se , x f(x) 2,9 5,8 2,99 5,98 2,999 5,998 2,9999 5,9998 x f(x) 3,1 6,2 3,01 6,02 3,001 6,002 3,0001 6,0002 allora . 6

37. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 1. LA DEFINIZIONE DEFINIZIONE Limite finito per x che tende a x0 Si dice che la funzione f (x)ha per limite il numero reale lper x che tende a x0, e si scrive , quando, comunque si scelga un numero reale positivo f, si può determinare un intorno completo I di x0 tale che risulti per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x0. In simboli .

38. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 2. IL SIGNIFICATO DELLA DEFINIZIONE Qual è il significato intuitivo della definizione? L’esistenza del limite assicura che: se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l. Fissiamo e > 0. Individuiamo un intorno I di x0tale che per ogni . Se riduciamo e, troviamo un intorno di x0 più piccolo. In simboli .

39. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 3. LA VERIFICA ESEMPIO Verifichiamo che . Per ogni e troviamo l’insieme dei valori di x che soddisfano la condizione e verifichiamo che contenga un intorno di 2. Quindi , cioè da cui si ricava . In temini di intervalli: , che è un intorno di 2.

40. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 4. LE FUNZIONI CONTINUE DEFINIZIONE Una funzione f è continua in x0 Funzioni continue in intervalli realiLa funzione costantef(x) = k, continua in tutto R. se x0 appartiene al dominio di fe il limite in x0 coincide con f(x0), cioè: . La funzione polinomiale f(x) = a0xn + a1xn-1+…+an-1x+an, continua in tutto R. La funzione radice quadrata , continua in R+ U {0}. DEFINIZIONE Una funzione f è continua nel suo dominio D, se è continua in ogni punto di D. Le funzioni goniometriche (esempi) f(x) = sen(x), continua in tutto R. f(x) = cotg(x), continua in R – {kp, }. La funzione esponenziale f(x) = ax, con a > 0, continua in tutto R. Se una funzione è continua in un punto, il valore del limite in quel punto è semplicemente il valore della funzione. La funzione logartimicaf(x) = logax, con a > 0, , continua in R+.

41. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO ESEMPIO Verifichiamo che . DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori maggiori di l, Fissato e > 0, cerchiamo le x per cui 0 < (4x2 – 3) – (–3) < e , ossia 0 < 4x2 < e . si dice che f(x) tende a l per eccesso e si scrive: . La prima relazione, 0 < 4x2, dà . La seconda, 4x2 < e, è soddisfatta per . Il limite esiste e vale 3. La funzione tende a 3 da valori più grandi. Inoltre, in un intorno di 0 (lo 0 escluso) la funzione assume sempre valori maggiori di 3. Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori maggiori.

42. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 5. IL LIMITE PER ECCESSO E IL LIMITE PER DIFETTO DEFINIZIONE Se la funzione f è tale che e assume, in un intorno di x0, sempre valori minori di l, si dice che f(x) tende a l per difetto e si scrive: . Se x si avvicina indefinitamente a x0, f(x) si avvicina indefinitamente a l, ma da valori minori.

43. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite sinistro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni sinistri di x0. DEFINIZIONE Si scrive e si dice che l è il limite destro di f in x0, se soddisfa una speciale condizione di limite applicata agli intorni destri di x0. A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno destro di x0, . A differenza della definizione standard di limite, la disuguaglianza deve essere soddisfatta nell’intorno sinistro di x0, . Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più grandi, f(x) si avvicina indefinitamente a l. Se x si avvicina indefinitamente a x0 da valori più piccoli, f(x) si avvicina indefinitamente a l.

44. LA DEFINIZIONE DI LIMITE FINITO IN UN PUNTO 6. IL LIMITE DESTRO E IL LIMITE SINISTRO ESEMPIO Consideriamo la funzionee verifichiamo che , . Limite destroVerifichiamo se |f(x) – 3| < e è soddisfatta in un intorno destro di 1. | (2x + 1) – 3 | < e - e < 2x – 2 < e Soddisfatta in . Limite sinistro Verifichiamo se |f(x) – 2| < e è soddisfatta in un intorno sinistro di 1. | (3x – 1) – 2 | < e - e < 3x – 3 < e Soddisfatta in .