2.3 Mechanika soustavy hmotných bodů Hmotný střed 1. věta impulsová Srážky

1. 2.3 Mechanika soustavy hmotných bodů • Hmotný střed • 1. věta impulsová • Srážky • 3. Mechanika tuhého tělesa • 3.1 Kinematika tuhého tělesa • 3.2 Dynamika tuhého tělesa Fyzika I-2014, přednáška 3

2. Hmotný střed soustavy • hmotný střed • nhmotných bodů, i-tý hmotný bod: mi, ri • (vmístě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod) • hybnost soustavy • hybnost hmotného středu = celková hybnost soustavy

3. Hmotný střed soustavy • hmotný střed • nhmotných bodů, i-tý hmotný bod: mi, ri • (vmístě hmotného středu nemusí existovat žádný hmotný bod) • hybnost soustavy • hybnost hmotného středu = celková hybnost soustavy

4. 1. věta impulsová • Vyjádříme: 1. zrychlení hmotného středu pomocí celkové hybnosti soustavy 2. pomocí síly na soustavu • 1. věta impulsová (2. a 3. N. z.) • Změna celkové hybnosti soustavy za jednotku času je rovna výslednici vnějších sil. Vnitřní síly celkovou hybnost soustavy neovlivňují. • Věta o pohybu hmotného středu • Hm. střed se pohybuje jako hm. bod, do kterého je soustředěna celá hmotnost soustavy a na který působí výslednice vnějších sil. • Zákon zachování hybnosti • - důsledek 1. věty impulsové spojuje zákon síly a zákon akce a reakce

5. Srážky • Soustava hmotných bodů • např. kulečníkové koule na stole, ideální plyn tvořený „molekulami“ • vnější síly se vyruší nebo jsou malé ve srovnání s vnitřními silami zákon zach. hybnosti • Srážka • celková hybnost před srážkou (A) = celková hybnost po srážce (B) • na obou stranách: vektorový součet hybností všech těles !!! Fyzika I-2014, přednáška 3

6. Srážky • dokonale pružné: navíc EkA = EkB • dokonale nepružné, EkB<EkA– navíc po srážce tělesa spojena x • zákon zachování pro hybnost nikoli „celkovou rychlost“ • znaménko vypočtené rychlosti Fyzika I-2014, přednáška 3

7. 7 Fyzika I-2014, přednáška 3

8. 3.Mechanika tuhého tělesa Tuhé těleso – aproximace: účinkem vnějších sil se nedeformuje – diskrétně nebo spojitě rozložená hmota, ∑ → ∫ – složitější pohybnež pro hmotný bod, 6 st. volnosti • 3.1 Kinematika tuhého tělesa Pohyb: translační, rotační,obecný 1. translační • všechny body: stejná rychlost,zrychlení, trajektorie • k popisu stačí jeden bod, např. • hmotný střed 2. rotační sférickýrovinný(kolem pevné osy) jeden pevný bod, trajektorie bodů – na povrchu koulí trajektorie bodů –kružnice, rov. kř.

9. 3. obecný složení translace a rotace, např. valení 6 stupňů volnosti – 6 údajů popisuje obecný pohyb tuh. těl. Fyzika I-2014, přednáška 3

10. popisují rotační pohyb kolem pevné osy pro těleso jako celek, jsou stejné pro všechny body úhel otočení j[rad] úhlová rychlostw tělesa [rad s-1=s-1] úhlové zrychleníe[s-2] rovnoměrný rotačnítabule doba otáčky T, frekvencef rovnoměrně zrychl. rotačnítabule obvodová rychl. a zrychl. obecně různé pro různé body tuh. těl., úhlové veličiny stejné pro všechny body Vektorový charakter úhl. veličin úhlová rychlost w – rovnoběž. s osou rotace, směr podle smyslu rotace úhl. zrychl. tabule Úhlové veličiny a r znaménko, smysl rotace O

11. 3.2 Dynamika tuhého tělesa • Dynamické veličiny pro: • hmotný bod m F p • tuhé těleso J M L • moment setrvačnosti • moment síly • Moment setrvačnosti J • setr. vlastnosti při rotaci záleží na hmotnosti a vzdálenosti od osy rotace • moment setrvačnostiJ moment hybnosti Fyzika I-2014, přednáška 3

12. diskrétně rozložená hmota:J pomocí∑ spojitě rozložená hmota: J pomocí ∫ J se vztahuje k tělesu a určité ose Kinetická energie tuh. tělesa (mi, i = 1, 2, …,n) rotujícího kolem osy Ri – vzdál. i-tého bodu od osy rotace • Př. Moment setrvačnosti dvou-atomové molekuly: 2 hm. body podle obr., určit J vzhledem k ose procházející hm. středem T, viz obr., dáno m1, m2, l • tabule redukovaná hmotnost

13. Př. Tenkostěnná obruč: m, r J nezávisí na h Homogenní válec: m, r J = ½ mr 2nezávisí na h Př. Steinerova věta JT … moment setrvačnosti vzhledem k ose oT procházející hm. středem J… moment setrvačnosti vzhledem k ose o rovnoběžné s oT vzdálené d Fyzika I-2014, přednáška 3

14. Moment síly M • translační pohyb je plně určen výslednou silou • u rotace jinak: • rotace kolem pevné osy, př. dveře • rot. úč. F1< rot. úč. F2 < rot. úč. F3 rotační účinky síly v rov. kolmé k ose otáčení ~ vel. F ~ vzdál. přímky síly od osy Fyzika I-2014, přednáška 3

15. moment síly vzhledem k momentovému bodu M • a= 0 → M = 0 Fyzika I-2014, přednáška 3

16. moment síly vzhledem k oseMosa(skalár opatřený znaménkem) p… rameno síly, vzdálenost přímky síly od osy otáčené Fyzika I-2014, přednáška 3

17. Př. Elektron obíhající kolem jádra (poloměr r), orbitální moment hybnosti vzhledem ke středu trajektorii Lo? vnitřní moment hyb. (spin)S kvantový jev klasicky: S = Jw, viz semináře • Moment hybnosti L • moment hybnosti vzhledem k bodu • celkový moment hybnosti • moment hybnosti vzhledem k ose (skalár) • analogie

18. II. věta impulsová • I. věta impulsová II. věta impulsová vhledem k ose • 1. důsl. : Mext =0→ Losa = konst Jw = konst zákon zachování momentu hybnosti Př. pirueta, J1… rozpaženo J2… připaženo • 2. důsl: dosadíme za moment hyb. vzhledem k ose → pohybová rov. pro rovinnou rotace analogie

19. Př. rotace kolem pevné osy hom. válec: r, m, F = konst, tečný směr, t = 0: klid, viz obr. e =?, w (t1) =? Př. Obecný pohyb, valení po nakl. rov. hom. válec:r, m, J nakl. rov.:at = 0: klid, viz obr.a=? Ř.: rot. pohyb – pohyb. rovnice pro rotaci kolem osy proch. hmot. středem transl. pohyb – pohyb. rov. pro hm. střed FT

20. Práce, výkon transl. pohyb (jednorozm.):rotace kolem pevné osy: • práce • výkon • Teorém práce – kinetická energie • 1.kinetická energie pro rovinnou rotaci: • 2. kinetická energie pro obecný pohyb: Fyzika I-2014, přednáška 3

21. Teorém práce – kinetická energie • Př. Rot. kolem pevné osy, tuhé těleso: J, t = 0: frekvence f1, momentbrzdných sil Mt= konst, n otáček do zastavení, Mt= ? • Př. Obecný pohyb, valící se těleso: r, m, J, nakl. rov.:a, t= 0: klid • rychlost vl po uražení dráhy l ? FT Fyzika I-2014, přednáška 3

22. 3.3 Dynamika tuhého tělesa. Souhrn. • Analogické veličiny a vztahy pro: • Translační pohyb Rotace kolem pevné osy • (jednorozm. podél osy x) • hmotnost m moment setrvačnosti J • síla F moment síly M • hybnost p moment hybnosti L • I. věta impulsová II. věta impulsová • pohybová rovnice pohybová rovnice • práce W práce W • výkon P výkon P • kinetická energieEkkinetická energieEk • teorém práce-kin. energie teorém práce-kin. energie • Pozn. Teorém práce – kinetická energie pro obecný pohyb obsahuje kin. energii rotačního i translačního pohybu Fyzika I-2014, přednáška 3

23. 3.4 Statika tuhého tělesa • Podmínky rovnováhy • z I a II. věty impulsové výsledná síla na tuhé těleso výsledný moment sil na tuhé těleso • 6 skalárních podmínek Fyzika I-2014, přednáška 3

24. Zjednodušení soustavy sil, těžiště • Soustavy sil jsou ekvivalentní, jestliže vykazuji stejná pohybový účinek na těleso. • Podle I. a II. věty impulsové – stejnou výslednici sil a stejný výsledný moment sil. • Př. Soustava tíhových sil na těleso je nahrazenou jednou silou, která působí v těžišti Dvojice sil tabule těžiště leží v hmot. středu tělesa Fyzika I-2014, přednáška 3

25. 4. Mechanika kontinua Fyzika I-2014, přednáška 3