mechanika kwantowa Podstawy

1. mechanika kwantowa Podstawy Andrzej Łukasik Instytut Filozofii UMCS http://bacon.umcs.lublin.pl/~lukasik lukasik@bacon.umcs.lublin.pl

2. „Prawa […] fizyczne mają jedną dziwną cechę – im bardziej wzrasta ich ogólność, tym stają się odleglejsze od zdroworozsądkowych przekonań i intuicyjnie coraz mniej zrozumiałe. […] Musimy maksymalnie wytężać wyobraźnię, nie po to, żeby odwrotnie niż w literaturze, wyobrazić sobie rzeczy, których naprawdę nie ma, ale by zrozumieć to, co naprawdę istnieje”.(Richard P. Feynman, Charakter praw fizycznych, tłum. P. Ansterdamski, Prószyński i S-ka, Warszawa 2000, s. 135–136)

3. Fizyka klasyczna a fizyka kwantowa • Klasyczny obraz świata: „Natura non facit saltus” • „Dwa główne aspekty odróżniają, w sposób najbardziej uderzający, mechanikę kwantową od teorii klasycznych. Są to: charakter kwantowy i dualizm korpuskularno-falowy” (S. Szpikowski, Podstawy mechaniki kwantowej, s. 20).

4. Kwantowy charakter zjawisk „W rzeczywistości cała fizyka jest fizyką kwantową — prawa fizyki kwantowej są najogólniejszymi znanymi nam prawami przyrody. […] fizyka klasyczna dotyczy tych aspektów przyrody, które nie wiążą się bezpośrednio z zagadnieniem podstawowych składników materii” (Eyvind H. Wichmann, Fizyka kwantowa, s. 17).

5. Kwantowomechaniczna rewolucja • Lata 1900-1925: teoria kwantów – przełomowe koncepcje 1900 – hipoteza Maxa Plancka (kwant działania)1905 – hipoteza Alberta Einsteina (fotony)1913 – model Nielsa Bohra (atomu wodoru)1924 – hipoteza Louisa de Broglie (fale materii) • Lata 1925-1927 – powstanie mechaniki kwantowej

6. Promieniowanie ciała doskonale czarnego • Niepowodzenie interpretacji widma ciała doskonale czarnego przy użyciu pojęć i praw fizyki klasycznej

7. Kwanty energii • Max Planck (1858-1947)prawo promieniowania ciała doskonale czarnego 14 grudnia 1900 – narodziny teorii kwantówh – elementarny kwant działania

9. Energia jest emitowana i absorbowana w sposób dyskretny • Energia kwantu jest proporcjonalna do częstości • „Hipoteza Plancka wprowadzająca kwanty energii nie jest kontynuacją uprzedniej myśli fizycznej. Oznacza przełom zupełny. Jego głębię i konieczność wykazały wyraźniej następne dziesięciolecia. Idea kwantów była kluczem do zrozumienia niedostępnych nam uprzednio zjawisk atomowych” (Max von Laue, Historia fizyki, s. 201-202).

10. „Starałem się przeto włączyć w jakiś sposób pojęcie kwantu działania h do teorii klasycznej. Jednakże wielkość ta okazała się krnąbrna i oporna na wszelkie próby zmierzające w tym kierunku. […] Moje bezskuteczne próby włączenia w jakiś sposób pojęcia kwantu działania do teorii klasycznej trwały wiele lat i kosztowały mnie wiele trudu. Niektórzy moi koledzy dopatrywali się w tym swoistego elementu tragizmu. Mam odmienny pogląd na to, dla mnie bowiem korzyść, jaką uzyskałem dzięki gruntownemu wyjaśnieniu sobie sprawy, była tym cenniejsza. Wiedziałem teraz dobrze, że kwant działania odgrywa w fizyce o wiele większą rolę, niż początkowo skłonny byłem przypuścić; dzięki temu zrozumiałem konieczność wprowadzenia do fizyki atomowej całkowicie nowych metod ujmowania problemów i przeprowadzania obliczeń” (M. Planck, Jedność fizycznego obrazu świata, s. 243-244).

11. h = 6,62419 x 10-34 J selementarny kwant działania

12. Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne • Zjawisko wybijania elektronów z powierzchni metalu pod wpływem padającego światła • 1887 Hertz: światło ultrafioletowe, przechodząc między elektrodami cewki indukcyjnej, której używał w swoich eksperymentach, ułatwia wyładowanie iskrowe, tak jakby między elektrodami pojawiały się dodatkowe nośniki elektryczności • 1888 Wilhelm Hallwachs: przyczyną wzrostu natężenia wyładowania iskrowego w doświadczeniu Hertza jest występowanie naładowanych cząstek, które później zostały zidentyfikowane jako elektrony; ciała naładowane elektrycznie tracą ładunek pod wpływem oświetlania.

14. Empiryczne prawa rządzące zjawiskiem fotoelektrycznym (1902 Lenard) 1) liczba emitowanych z powierzchni fotokatody elektronów jest proporcjonalna do natężenia padającego promieniowania elektromagnetycznego 2) maksymalna energia kinetyczna elektronów jest wprost proporcjonalna do częstości promieniowania, nie zależy natomiast od jego natężenia 3) istnieje graniczna częstość, poniżej której efekt nie zachodzi, tzn. promieniowanie o częstości niższej niż charakterystyczna dla danego metalu częstość graniczna nie powoduje emisji elektronów Rezultatów tych nie można wyjaśnić na podstawie elektrodynamiki klasycznej

15. Albert Einstein (1879-1955)teoria zjawiska fotoelektrycznego (1905) • światło jest strumieniem cząstek (fotonów), których energia jest proporcjonalna do częstości fali świetlnej: E = h, • pęd fotonów p związany jest z długością fali świetlnej λ wzorem: p = h/λ = h/c • c = 3 x 108 m/s – prędkość światła w próżni • W zjawisku fotoelektrycznym pojedynczy foton absorbowany jest przez elektron: h = A + mv2/2 A – praca wyjścia elektronu z metalu

16. Niels Bohr (1855-1962)model atomu wodoru (1913) • planetarny model atomu Rutherforda + • niezgodne z fizyką klasyczną postulaty kwantowe

17. Postulaty kwantowe Bohra 1. mvr = nh/2h– stała Plancka orbity są skwantowane - ich promienie mogą przybierać jedynie ściśle określone, dyskretne wartości 2. Elektron na dozwolonej, czyli stacjonarnej orbicie nie promieniuje energii 3. h = En – Em

18. „Każde z tych założeń — warunek kwantyzacji, brak promieniowania podczas pobytu na jednej ze skwantowanych orbit i promieniowanie w trakcie przeskoku między orbitami, było sprzeczne ze znaną wówczas klasyczną teorią. Jednakże rzeczą konieczną było założenie w jakiś sposób stabilności atomu. Promieniowanie w trakcie przeskoku wydawało się być zgodne z tym, co zostało już stwierdzone przez Einsteina i Plancka. Warunek kwantowania także nie różnił się zbytnio od pierwotnego warunku Plancka” (L. N. Cooper, Istota i struktura fizyki, s. 528).

19. Siła dośrodkowa = siła Coulomba mv2/r = e2/(40r2) • z pierwszego postulatu Bohra mvr = nh/(2), prędkość elektronu na danej orbicie: v = nh/(2rm)

20. Promień n-tej orbity Bohrowskiej, n = 1, 2,… główna liczba kwantowa; (r0 = 0,5292  10–10 m) • Energia na n-tej orbicie: • Częstość linii widmowych

21. Louis Victor de Broglie (1892–1987)hipoteza fal materii (1924)Recherches sur la théorie des Quanta • J. J. Thomson o pracy de Broglie:„Idee autora były oczywiście niedorzeczne, ale zostały przedstawione z taką elegancją i błyskotliwością, że dopuściłem pracę do obrony” • Dualizm korpuskularno-falowy

22. 1927 doświadczenia Clintona Davissona (1881–1958) i Lestera Germera (1896–1971) potwierdziły hipotezę de Broglie’a: elektrony, podobnie jak fale elektromagnetyczne, ulegają dyfrakcji i interferencji, a więc zjawiskom typowym dla fal

23. Powiązanie fal materii de Broglie z orbitami stacjonarnymi Bohra • Jeżeli elektrony zinterpretujemy jako fale stojące, to w atomie długość „orbity stacjonarnej” musi być całkowitą wielokrotnością długości fali  elektronu, (w przeciwnym wypadku fale w wyniku interferencji destruktywnej uległyby wygaszeniu). n = 2R, R – promień dozwolonej orbity w modelu Bohra  = h/p nh/p = 2R pR = nh/2 p = mv mvR = nh/2 (warunek kwantowy Bohra)

24. Wykład IIDualizm korpuskularno-falowy • Hipoteza falowa światła (elektrodynamika klasyczna – Maxwell, 1864) • Dyfrakcja • Interferencja • Polaryzacja • Hipoteza korpuskularna światła (Einstein, 1905) • Zjawisko fotoelektryczne • Promieniowanie ciała doskonale czarnego • Widma liniowe • Hipoteza fal materii (de Broglie, 1924)

25. Eksperyment z dwiema szczelinami • „[…] nikt nie rozumie mechaniki kwantowej”.(Richard P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 137) • „Ten jeden eksperyment zawiera w sobie wszystkie tajemnice mechaniki kwantowej. Jego analiza pozwoli nam na zapoznanie się ze wszystkimi osobliwościami i paradoksami natury. Każdy inny problem z dziedziny teorii kwantów można zawsze wyjaśnić, wracając do tego doświadczenia”.(Richard P. Feynman, Charakter praw fizycznych, s. 138).

26. Przejście klasycznych cząstek przez układ dwóch szczelin (brak interferencji) • N1 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę 1 • N2 – liczba cząstek przechodzących przez szczelinę 2 • N12 – prawdopodobieństwo = średnia liczba cząstek trafiających w dane miejsce ekranu, gdy otwarte są szczeliny 1 i 2 • N12 = N1 + N2 (brak interferencji)

27. Przejście klasycznych fal przez układ dwóch szczelin (interferencja) • H1 – amplituda fali przechodzącej przez szczelinę 1 • H2 – amplituda fali przechodzącej przez szczelinę 2 • H12 – amplituda fali (obydwie szczeliny otwarte) • H12 = H1 + H2 • Natężenie fali: I12 = (H12)2 = (H1 + H2)2 (interferencja), I1 = (H1)2I2 = (H2)2

29. Przejście elektronów (lub fotonów) przez układ dwóch szczelin • Interferencja elektronów (fotonów)

30. Przejście elektronów (lub fotonów) przez układ dwóch szczelin • Rezultaty eksperymentu: • Elektrony trafiają w detektor pojedynczo • Detektor rejestruje zawsze taką samą, dyskretną wartość (cały elektron lub nic) • Nigdy dwa detektory nie rejestrują jednego elektronu • Ale! • N12 ≠ N1 + N2 • N12 = (a1 + a2)2 – prawdopodobieństwo trafienia elektronu (fotonu) w dany punkt ekranu (interferencja! – jak w przypadku fal) • a – amplituda prawdopodobieństwa

31. „Podsumowując, można powiedzieć, że elektrony docierają do detektorów w całości, tak jak pociski, ale prawdopodobieństwo rejestracji elektronów jest określone takim wzorem jak natężenie fali. W tym sensie elektron zachowuje się jednocześnie jak cząstka i jak fala”.(R. P. Feynman, Charakter…, s. 147)

32. Określenie, przez którą szczelinę przechodzi elektron brak interferencji

33. Elektrony rejestrowane są jako niepodzielne cząstki • Twierdzenie „elektron przechodzi albo przez szczelinę 1 albo przez szczelinę 2” jest FAŁSZYWE! • „jest rzeczą niemożliwą tak ustawić światła, aby stwierdzić, przez którą szczelinę przeleciał elektron, nie zaburzając go na tyle, że znika obraz interferencyjny” (Feynman, Charakter, s. 151)

34. Wykład IIIPostulaty mechaniki kwantowej • Podstawy matematyczne • Liczby zespolone • Gerolamo Cardano (Ars Magna, 1545), Raphael Bombelli (L’Algebra, 1572) • Przestrzeń Hilberta • „Dla wszystkich, którzy nie wierzyli w ‘praktyczne’ aspekty liczb zespolonych, musiało być ogromnym zaskoczeniem, kiedy w ostatnich trzech ćwierćwieczach XX stulecia okazało się, że prawa rządzące zachowaniem się Wszechświata w sposób fundamentalny związane są z liczbami zespolonymi”.Roger Penrose, Droga do rzeczywistości, s. 71

35. Liczby zespolone • jednostka urojona • liczba urojona bi • liczba zespolona: z = a + bi (a, b – rzeczywiste) • z* = a – bi liczba sprzężona do z = a + bi • z z* = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2 • moduł liczby zespolonej • postać trygonometryczna liczby zespolonej a + bi = r [sinΘ + i sin Θ]sinΘ = b/rcosΘ = a/r

36. Działania na liczbach zespolonych • jeśli a + bi = c + di, to a = c i b = d • a + bi = 0 wtw a = 0 i b = 0 • suma liczb zespolonych (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i • różnica liczb zespolonych (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i • iloczyn liczb zespolonych (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i • iloraz liczb zespolonych(a + bi) /(c + di) = [(ac + bd) + (bc – ad) i]/ (c2 + d2)

37. Interpretacja geometryczna liczb zespolonych Re z = a + bi a Θ 0 bIm

38. Przestrzeń wektorowa • u1, u2, u3 – wektory bazy • x = a1u1 + a2u2+a3u3 • a1, a2, a3 – współrzędne wektora liniowa niezależność wektorów

39. Iloczyn skalarny wektorów w przestrzeni trójwymiarowej

40. Uogólnienie dla przestrzeni o przeliczalnej liczbie wymiarów • iloczyn skalarny • kwadrat długości • unormowanie • ortogonalność

41. Aksjomaty przestrzeni Hilberta • x, y – wektory • ax – mnożenie wektora przez liczbę (zespoloną) • x + y = y + x – dodawanie wektorów • (a + b) x = ax + bx • a(x + y) = ax + ay • (ab)x = a(bx) • 1x = x • (x + y) + z = x + (y + z) • x + 0 = 0 + x = x wektor zerowy • x0 + y0 = 0, y0 = - x0 element przeciwny

42. (x, y) = (y, x)* - iloczyn skalarny • (x, ay) = a (x, y) • (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y) • (x, x) ≥ 0 • Przestrzeń liniowa, w której zdefiniowano iloczyn skalarny nazywa się przestrzenią unitarną

43. kwadrat długości wektora • długość wektora (przestrzeńunormowana) • odległość (przestrzeń metryczna) • Liniowa przestrzeń wektorowa z określonym iloczynem skalarnym (przestrzeń unitarna) jest jednocześnie przestrzenią metryczną i unormowaną

44. Warunki ciągłości w przestrzeni unitarnej • Ciąg xn zbieżny do x • xm – ciąg podstawowy • Jeśli każdy ciąg podstawowy w przestrzeni L jest zbieżny do pewnego wektora w tej przestrzeni, to L nazywamy przestrzenią zupełną • Przestrzeń Hilberta jest to unitarna przestrzeń zupełna

45. 1. Reprezentacja stanu układu • Stan układu kwantowomechanicznego w danej chwili t reprezentowany jest przez wektor w przestrzeni Hilberta  (w notacji Diraca) • Inne określenia używane na  to: ket, funkcja falowa, funkcja , amplituda prawdopodobieństwa, funkcja stanu

46. Przestrzeń Hilberta jest abstrakcyjną liniową przestrzenią wektorową nad ciałem liczb zespolonych i pełni w mechanice kwantowej funkcję analogiczną do przestrzeni fazowej (przestrzeni stanów) w mechanice klasycznej • W przeciwieństwie do stanów układów klasycznych, stany obiektów kwantowych nie są wielkościami obserwowalnymi (mierzalnymi)

47. Max Born (1926): Ψ(x, y, z, t)2dxdydz (kwadrat amplitudy zespolonej funkcji falowej) jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa tego, że cząstka znajduje się (resp. w rezultacie przeprowadzonego pomiaru znajdziemy cząstkę) w chwili t w elemencie objętości dxdydz.

48. 2. Reprezentacja wielkości fizycznych • Wielkości fizyczne mierzalne, takie jak położenie, pęd czy energia, czyli obserwable, reprezentowane są przez liniowe operatory hermitowskie w przestrzeni Hilberta. • Wartości własne operatora hermitowskiego są liczbami rzeczywistymi i reprezentują możliwe wyniki pomiarów danej obserwabli.

49. Operatorem A na przestrzeni wektorowej H nazywa się odwzorowanie, które każdemu wektorowi tej przestrzeni przyporządkowuje inny wektor: A:  → ’. • Operator A jest liniowy, wtw A (a11 + a22) = a1A 1 + a2A 2, • gdzie 1, 2 są wektorami z przestrzeni Hilberta, a1 i a2 to dowolne liczby zespolone.

50. Jeżeli A = a , to równanie takie nazywa się równaniem własnym operatora A,  — wektorem własnym (resp. funkcją własną), natomiast a — wartością własną. • Zbiór wartości własnych operatora nazywa się widmem operatora — może ono tworzyć zbiór ciągły lub dyskretny. Wektory własne liniowego operatora hermitowskiego tworzą zupełny układ wektorów, to jest taki, że każdy wektor stanu da się rozwinąć w szereg wektorów własnych tego operatora.