TRIÁNGULOS

1. TRIÁNGULOS

2. TRIÁNGULOS CONTENIDO DE LA PRESENTACIÓN. Triángulo Elementos Ángulos del triángulo Construcción de triángulos Puntos y rectas notables del triángulo Mediatrices. Circuncentro Bisectrices. Incentro. Medianas. Baricentro. Alturas. Ortocentro. Triángulos rectángulos: Teorema de Pitágoras

3. TRIÁNGULO. • Llamamos triángulo a un conjunto de tres puntos no alineados. A estos puntos se les llama vértices del triángulo. • Si unimos cada uno de los tres vértices mediante segmentos, a estos segmentos se le llama lados del triángulo. • Un triángulo se llama equilátero si tiene los tres lados iguales. • Un triángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales • Un triángulo se llama escaleno si tiene los tres lados desiguales. • Además en cada vértice del triángulo se forma un ángulo. A estos ángulos se les llama ángulos del triángulo • Un triángulo con los tres ángulos agudos se llama acutángulo. • Un triángulo con un ángulo obtuso se llama obtusángulo.

4. Vértice C Lado b= AC Lado a= BC 8,81 cm Ángulo C 5,75 cm 83,54 ° Ángulo B Ángulo  61,46 ° 35 ° 9,97 cm Vértice A Vértice B Lado c = AB ELEMENTOS. • El triángulo que aparece en el dibujo es un triángulo acutángulo. • En él puedes observar: • Los vértices • Los lados y sus medidas • Los ángulos y sus medidas

5. ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO. Teorema: La suma de ángulos de un triángulo es igual a 180º Luego la suma de ángulos de cualquier triángulo es igual a dos rectos

6. CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO. • A continuación veremos cuándo es posible construir un triángulo dados tres datos de él, es decir: • Dados tres lados. • Dados dos lados y un ángulo. • Dados un lado y dos ángulos.

7.  DADOS TRES LADOS. La condición para poder construir un triángulo a partir de tres segmentos, es: La suma de dos segmentos cualesquiera es mayor que el tercero. Esto supone tres condiciones, que se pueden resumir: La suma de dos lados es mayor que el tercero, y este menor que la diferencia: a+c > b > a-c a Ejemplo: b c Construcción paso a paso: 1.Coloco uno de los segmentos como base del triángulo a c 2. Con centro en cada uno de los extremos del segmento dibujo dos arcos: b Uno con radio a Otro con radio c 3. Se unen los extremos del segmento que he tomado como base, con el punto de corte de los arcos y ya se tiene construido el triángulo.

8. DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 1 (SIEMPRE ES POSIBLE): Conocemos dos lados y el ángulo comprendido por ellos Ejemplo: Construcción paso a paso: a 1. Colocamos como base a uno de los lados b 2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º. Ángulo comprendido = 30º 3. Con esa inclinación trazamos una recta. b 4. Sobre la recta medimos el otro lado. 30º 5. Unimos los extremos libres de los dos lados. a

9. DADOS DOS LADOS Y UN ÁNGULO. CASO 2 (POSIBLE EN ALGUNOS CASOS): Conocemos dos lados y el ángulo adyacente a uno de ellos Ejemplo: a Construcción paso a paso: b 1. Colocamos como base al lado a 2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos el ángulo. En nuestro caso 30º. Ángulo adyacente a a = 30º b 3. Con esa inclinación trazamos una recta. b 4. En el otro extremo del lado trazo un arco con radio b. 30º a 5. El punto de corte de la recta con el arco, si es que este existe, da el tercer vértice del triángulo. COMO PUEDES OBSERVAR EN ESTE CASO EXISTEN DOS SOLUCIONES

10.  DADOS UN LADO Y DOS ÁNGULOS. Para poder construir el triángulo, la suma de los dos ángulos dados debe de ser menor de 180º Construcción paso a paso: 1. Colocamos como base al lado 2. Con el transportador de ángulos situado en uno de los extremos de la base, medimos uno de los ángulos y trazamos una recta con esa inclinación. a Ejemplo: 3. Hacemos lo mismo con el otro ángulo en el otro extremo. Ángulos adyacentes 40º y 70º 4. El punto de corte de esas rectas es el tercer vértice. 70º 40º a

11.  Puntos y rectas notables del triángulo Estudiaremos la construcción y las propiedades de los siguientes puntos y rectas notables de un triángulo: Mediatrices. Circuncentro Bisectrices. Incentro. Medianas. Baricentro. Alturas. Ortocentro

12.  Mediatrices. Mediatriz de un segmento:Es la recta  perpendicular al segmento que pasa por el punto medio de dicho segmento Propiedad: Los puntos de la mediatriz equidistan de los extremos del segmento. Aplicación: Construcción de la mediatriz Con radio un poco mayor que la mitad del segmento trazo dos arcos, cada uno con centro en cado uno del los extremos del segmento.

13.  Mediatrices de un triángulo. Teorema: Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto que equidista de los tres vértices del triángulo. Demostración: Consideramos el punto de corte de dos de las mediatrices, por ejemplo ma y mb, que existe puesto que los lados a y b no son paralelos. Llamémosle P. A b c Como P pertenece a la mediatriz de a su distancia a B y a C es la misma: Dist (P, B) = Dist (P, C) P B C Como P pertenece a la mediatriz de b su distancia a A y a C es la misma: Dist (P, A) = Dist (P, C) a Así pues se tiene que P pertenece a la mediatriz mc y se cumple: Dist (P,B) = Dist (P,A) = Dist (P,C) Luego el punto P es el punto de intersección de las tres mediatrices y equidista de los tres vértices C.Q.D.

14.  Circuncentro de un triángulo. Al punto donde se cortan la mediatrices le llamaremos circuncentro del triángulo. Veamos que la razón es muy sencilla. Teorema: El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices. A Demostración: Como hemos visto en la anterior demostración se tiene que P cumple las siguientes relaciones: Dist (P,A) = Dist (P,B) = Dist (P,C) b c P B C a Así pues se tiene que P equidista de los tres vértices del triángulo. Y por tanto es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices C. Q. D. A la circunferencia que pasa por los tres vértices se le llama circunferencia circunscrita.

15.  Bisectriz de un ángulo. Definición:Bisectriz de un ángulo. Es la recta  que, pasando por el vértice, divide al ángulo en dos partes iguales Aplicación: Construcción de la mediatriz Con radio cualquiera trazo un arco, que corta a cada lado del ángulo en un punto. Propiedad: Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Con centro en cada uno de esos puntos e igual radio trazo dos arcos, obteniendo un punto de la bisectriz. o Uniendo el punto obtenido con el vértice se construye la bisectriz.

16.  Bisectrices de un triángulo. Teorema: Las bisectrices de un triángulo se cortan en un punto. Demostración: Consideramos el punto de corte de dos de las bisectrices, por ejemplo bA y bB, que existe puesto que las bisectrices no pueden ser paralelas. Llamémosle P. Como P pertenece a la bisectriz de Asu distancia al lado AB y al lado AC es la misma: Dist (P,AB) = Dist (P,AC) C Como P pertenece a la bisectriz de Bsu distancia al lado AB y a BC es la misma: Dist (P, AB) = Dist(P, BC) P Así pues se tiene: Dist (P, AC) = Dist (P, AB) = Dist(P, BC) B A Luego el punto P está en la bisectriz del ángulo C C. Q. D.

17.  Incentro. Al punto donde se cortan la bisectrices le llamaremos incentro del triángulo. Veamos que la razón es muy sencilla. Teorema: El incentro es el centro de la circunferencia que es tangente a cada lado del triángulo. Demostración: Como hemos visto en la anterior demostración se tiene que P cumple las siguientes relaciones: Dist (P,AB) = Dist (P,AC) = Dist (P,BC) C P Así pues se tiene que P equidista de los lados del triángulo. B A C. Q. D. A la circunferencia que es tangente a los lados del triángulo se le llama circunferencia inscrita.

18.  Medianas. Baricentro. En esta sección vamos a ver que si trazamos las medianas de los tres lados del triángulo, estas se cortan en un punto. A este punto le llamaremos baricentro del triángulo. Definición:Llamamos mediana a la recta  que une el punto medio del lado con el vértice opuesto. A Teorema: Las medianas de un triángulo se cortan en un punto ,G que dista del vértice el doble que al lado. c b La demostración se omite en este caso por necesitar semejanza de triángulos (no tratada en esta unidad). G a C B El baricentro del triángulo cumple las siguientes RELACIONES: Dist(G,A) = 2.Dist(G,BC); Dist (G,B) = 2.Dist(G,AC); Dist(G,C) = 2.Dist (G,A)

19.  Alturas. Ortocentro. Definición:Altura sobre un lado. Es la recta  perpendicular al lado que pasa por el vértice opuesto. Teorema: Las alturas del triángulo se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO. La demostración es fácil si construimos el triángulo asociado, cuyo circuncentro coincide con el ortocentro de este. hb C ha B’ A’ b a Ejemplo: Dado el triángulo ABC, observamos empíricamente que las alturas coinciden en un punto A c B hc Construimos ahora el triángulo asociado trazando paralelas a cada lado por el vértice opuesto. C’ Como se puede observar el punto obtenido anteriormente es el circuncentro del triángulo A’B’C’.

20.  La recta de Euler. En esta sección vamos a ver que baricentro, circuncentro y ortocentro siempre están alineados. Es más el baricentro siempre se encuentra entre el ortocentro y el circuncentro y además cumple una curiosa propiedad. Propiedad: Sean G el baricentro, C el circuncentro y O el ortocentro del triángulo, entonces Además se puede probar que el incentro está alineado con estos tres cuando y sólo cuando el triángulo es isósceles. A la recta que contiene a los tres puntos notables se le llama RECTA DE EULER.

21. Es un personaje aún más misterioso que Thales. Vivió unos 50 años después de éste y, en su juventud, viajó por Egipto, Babilonia y posiblemente la India, países en los que adquirió su formación matemática y filosófica. Contemporáneo de Buda, Confucio y Lao Tse, estuvo muy influido por el misticismo religioso. Se estableció en Crotona, al sudeste de Italia,  entonces, parte de Grecia, donde fundó una secta secreta, los pitagóricos, que contribuyeron en el mundo heleno a la difusión y desarrollo de las matemáticas.  La primera referencia escrita vuelve a aparecer en la obra de Proclo (410-485dC) "Comentario sobre el primer libro de los Elementos de Euclides". Inmediatamente después de escribir sobre Thales, Proclo escribe: "transformó esta ciencia en una forma de educación liberal, examinando sus principios desde el comienzo y demostrando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual. Así descubrió la teoría de las proporciones y la construcción de las figuras cósmicas". Fueron los pitagóricos los primeros que se dedicaron al estudio, movidos por el amor a la sabiduría y la belleza y no por cuestiones de tipo práctico. Parece que es difícil separar la historia y la leyenda en lo que se refiere a Pitágoras, pero sí está clara la influencia de su escuela en el desarrollo de la matemática griega. Parece ser que la estrella de cinco puntas construida a partir de un pentágono regular era el símbolo de los miembros de la secta. Estudiando las propiedades de los segmentos de esta estrella podemos encontrar la llamada sección áurea. Se les atribuye la demostración del teorema de Pitágoras, conocido también por los babilónicos, pero no existe una prueba clara de esto. EL TEOREMA DE PITÁGORAS. Pitágoras de Samos (580-500 aC.)

22.  El Teorema de Pitágoras. En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Una demostración: c a b

23.  El recíproco del Teorema de Pitágoras. Dado un triángulo cuyos lados a, b y c cumplen que Entonces, el triángulo es rectángulo en el vértice C. B b a c a A c C b

24.  El Teorema de Pitágoras en el espacio. Consideramos un ortoedro de lados a, b y c. Calculemos la diagonal mayor de dicho ortoedro: En el triángulo rectángulo siguiente calculamos d d b a En el triángulo rectángulo siguiente calculamos D D c d Sustituyo d:

25. Aplicaciones del teorema de Pitágoras • Cálculo de la altura en triángulos isósceles • Cálculo de la altura en triángulos escalenos • Cálculo de la altura de una pirámide

26.  Cálculo de la altura de un triángulo isósceles Consideramos un triángulo isósceles de lados a, a y b. Calcularemos la altura de dicho triángulo de la siguiente forma: Un ejemplo: Calcula la altura del siguiente triángulo: a a 13 a h h 13 m. 13 m. h h 5 b 10 m. Teorema de Pitágoras

27.  Cálculo de la altura de un triángulo escaleno Consideramos un triángulo de lados a, b y c. Calcularemos la altura de dicho triángulo de la siguiente forma: c b c h h x a-x a a-x b h Igualo y obtengo la siguiente ecuación: Desarrollo y simplifico: x Hallo x: Finalmente hallo h de la relación:

28.  Un ejemplo. Planteo la ecuación y la resuelvo: 5 m 4 m h x 7-x 7 m Por último hallo h: 4 h x 5 h 7-x La altura del triángulo es aproximadamente 2’8 m.

29.  Cálculo de alturas de pirámides regulares Para calcular la altura de una pirámide es posible basarse en dos posibles triángulos rectángulos. Veamos primero algunas definiciones: La base de la pirámide es un polígono regular: Triángulo II Radio Apotema de la base Lado de la base Las caras laterales son triángulos isósceles: Lado de la cara Lado de la cara Apotema de la cara Triángulo I Lado de la base

30.  Pirámide cuadrada Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide cuadrada, cuyos lados de la base miden 10 cm y los lados de la cara miden 13 cm. Base: Utilizaremos el triángulo II: Cara lateral: h : Altura de la pirámide x: apotema de la cara a 13 cm x 13 cm 10 cm a = 5 cm. 10 cm a 12 cm En el triángulo II: h 10 cm a : Apotema de la base 5 cm

31.  Pirámide hexagonal Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide hexagonal, cuyo lado de la base mide 10 cm y cuyo lado de la cara mide 13 cm. Base: r = 10 cm Utilizaremos el triángulo I: r r 60º h: altura de la pirámide Lado de la cara 10 cm 13 cm 10 cm En el triángulo I: 10 cm 13 cm h r: Radio 10 cm

32.  Pirámide triangular I Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide triangular, cuyo lado de la base mide 10 cm y el lado de la cara mide 13 cm. Utilizaremos el triángulo I: r 10 cm 10 cm a Base: h: altura de la pirámide 10 cm Calculamos a: 10 a Lado de la cara 13 cm 5 En el triángulo I: 13 h 10 cm r: radio de la base 5.77

33.  Pirámide triangular II Ejemplo: Calcula la altura de una pirámide triangular, cuyo lado de la base mide 10 cm y el lado de la cara mide 13 cm. 10 cm 10 cm Base: Utilicemos ahora el triángulo II: x 10 cm Igual que antes calculamos a: y: apotema de la cara Cara: h: altura de la pirámide 13 cm y 13 cm 10 cm En el triángulo II: 12 10 cm h x: apotema de la base 2.89

34. Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)En la siguiente diapósitiva

36. Mas ayuda del tema de la página Matemática de GAUSS del Ministerio de Educación y ciencia(http://recursostic.educacion.es/gauss/web)En la siguiente diapósitiva

39. Mas ayuda del tema de la página Manuel Sada(figuras de GeoGebra)(http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/)En la siguiente diapósitiva