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Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T.

Departamento de Matemáticas. Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T. Razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales Representación en la circunferencia unidad Signo de las razones trigonométricas

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Trigonometría 1º Bachillerato C.N.S. y T.

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Presentation Transcript

  1. Departamento de Matemáticas Trigonometría1º Bachillerato C.N.S. y T. Razones trigonométricas Relaciones entre las razones trigonométricas Valores de las razones trigonométricas de algunos ángulos principales Representación en la circunferencia unidad Signo de las razones trigonométricas Relación entre las razones trigonométricas de algunos ángulos: opuestos, complementarios, … Resolución de triángulos rectángulos Teorema del Seno Teorema del Coseno Resolución de triángulos cualesquiera

  2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS a b c • Y sus inversas:

  3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS a b c

  4. VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS PRINCIPALES

  5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el primer cuadrante 90º 180º 0º 270º

  6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 en el segundo cuadrante 90º 180º 0º 270º

  7. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º 180º 0º en el tercer cuadrante 270º

  8. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD, radio = 1 90º 180º 0º en el cuarto cuadrante 270º

  9. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Seno y Cosecante + + _ _ Coseno y Secante _ + _ + Tangente y Cotangente _ + _ +

  10. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS OPUESTOS • Dos ángulos a y b son opuestos si a + b = 0º (o 360º). Son a y -a. sen (-a) = -sen a cos (-a) = cos a tg (-a) = -tg a cosec (-a) = -cosec a sec (-a) = sec a cotg (-a) = -cotg a a -a EJEMPLO: sen 330º = sen (-30º) = -sen 30º cos 330º = cos (-30º) = cos 30º tg 330º = tg (-30º) = -tg 30º • Calcula las demás razones trigonométricas

  11. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS • Dos ángulos a y b son complementarios si a + b = 90º. Son a y 90º-a. sen (90º-a) = cos a cos (90º-a) = sen a tg (90º-a) = cotga cosec(90º-a) = sec a sec(90º-a) = cosec a cotg(90º-a) = tg a 90º-a EJEMPLO: a sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = tg30º • Calcula las demás razones trigonométricas

  12. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS • Dos ángulos a y b son suplementarios si a + b = 180º. Son a y 180º-a. sen (180º-a) = sen a cos (180º-a) = -cos a tg (180º-a) = -tg a cosec (180º-a) = cosec a sec (180º-a) = -sec a 180º-a cotg (180º-a) = -cotg a a EJEMPLO: sen 150º = sen 30º cos 150º = -cos 30º tg 150º = -tg 30º • Calcula las demás razones trigonométricas

  13. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º • Dos ángulos a y bdifieren en 180º si b - a = 180º. Son a y 180º+a. sen (180º+a) = -sen a cos (180º+a) = -cos a tg (180º+a) = tg a cosec (180º+a) = -cosec a sec (180º+a) = -sec a 180º+a cotg (180º+a) = cotg a a EJEMPLO: sen 210º = -sen 30º cos 210º = -cos 30º tg 210º = tg 30º • Calcula las demás razones trigonométricas

  14. Resolución de triángulos rectángulos • Resolver un triángulo rectángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, B y C), conociendo dos de ellos. • Casos que pueden presentarse: • I. Conocer un cateto y la hipotenusa • II. Conocer un cateto y un ángulo agudo • III. Conocer los dos catetos • IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo C a b 90º A c B

  15. I. Conocer un cateto y la hipotenusa C • Datos: a = 25 cm., b = 16 cm. • Teorema de Pitágoras: a b 90º • Definición de seno: A c B

  16. II. Conocer un cateto y un ángulo agudo C • Datos: C = 35º, b = 16 cm. • Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 35º = 55º a b • Definición de seno y coseno de C: 90º A c B

  17. III. Conocer los dos catetos C • Datos: b = 16 m. c = 12 m. • Teorema de Pitágoras: a b 90º • Definición de tangente: A c B

  18. IV. Conocer la hipotenusa y un ángulo agudo C • Datos: a = 30 m. C = 25º • Los ángulos B y C son complementarios: B = 90º - C = 90º - 25º = 65º a b • Definición de seno y coseno de C: 90º A c B

  19. Teorema del Seno C b a h m n • Igualando la h en ambas ecuaciones B A c • Y en general se tiene: • TEOREMA DEL SENO: En todo triángulo la razón entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es constante ……

  20. Teorema del Seno • …… y dicha constante es el diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo. • Los ángulos B y D son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco de circunferencia. C D 90º • En el triángulo ABC: a b 2R c B A • En el triángulo ADC: • Por lo tanto:

  21. Teorema del Coseno C b a h m n H B A c • Para cualquier lado queda: • Si el triángulo es rectángulo queda el Teorema de Pitágoras.

  22. Resolución de triángulos cualesquiera • Resolver un triángulo es hallar todos sus lados y sus ángulos (a, b, c, A, B y C), conociendo tres de ellos. C a b • Casos que pueden presentarse: • I. Conocer los tres lados • II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido • III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos • IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes B c A

  23. I. Conocer los tres lados • Datos: a = 15 m., b = 22 m. c = 17 m. C a b B • Con el teorema del Coseno: c A • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

  24. II. Conocer dos lados y el ángulo comprendido A • Datos: a = 10 dm., b = 7 dm. C = 30º. b c C a B • Con el teorema del Coseno calculamos c: • Con el teorema del Seno hallamos B: • Como el único ángulo obtuso es A, B = 41º 36’ 20’’: y A = 180º- 30º - B = 108º 23’ 40’’ • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

  25. III. Conocer dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos • Conocemos los lados a y b y el ángulo A. • En este caso hemos de contemplar tres posibilidades. • Es conveniente comenzar calculando la altura, h=b.senA, del futuro triángulo. Puede ocurrir: • III.3 a > h b • III.2 a = h • III.1 a < h h a b b a A h a h • III.3.1 a > h y a < b A A b • III.3.2 a > h y a > b b h a a h a A b h A A • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

  26. Ejemplo III.1 a<h • Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 7 m., b = 20 m. y A = 30º • Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. • Como a = 7 < 10 = h, NO EXISTE EL TRIÁNGULO a=7 20=b 10=h 30º=A c • Volver al caso III • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

  27. Ejemplo III.2 a=h • Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 10 m., b = 20 m. y A = 30º • Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. • Como a = 10 = 10 = h, TRIÁNGULO RECTÁNGULO. C B = 90º, C = 90º-A = 60º cosA = c/b = c/20 c = 20.cosA = 17.32 m. 20=b 10=h a=10 A=30º c B • Volver al caso III • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

  28. Ejemplo III.3.1 a > h y a < b • Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 15 m., b = 20 m. y A = 30º • Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. • Como a = 15 > 10 = h, a < b HAY DOS SOLUCIONES. 20=b 20=b h=10 h=10 a=15 15=a c c A=30º A=30º B B B agudo C = 180-A-B = 108º11’23’’ c=(a.senC)/senA= 28.50 m. B obtuso C = 180-A-B = 11º48’37’’ c=(a.senC)/senA= 6.14 m. • Volver al caso III • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

  29. Ejemplo III.3.2 a > h y a > b C • Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 30º • Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. • Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. b a h A c B C a b • Resuelve el triángulo del que se conoce: a = 25 m., b = 20 m. y A = 150º • Calculamos h = b.senA = 20.(1/2) = 10 m. • Como a = 25 > 10 = h, a > b HAY UNA SOLUCIÓN. h B c A • Volver al caso III • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

  30. IV. Conocer un lado y los dos ángulos adyacentes • Datos: a = 10 dm., B = 45º, C = 30º. B a c • Calculamos A = 180º – B – C = 105º A b C • Con el teorema del Seno: • Volver a resolución de triángulos cualesquiera

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