TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD.

1. TEMAS 5 y 6 - FUNCIONES. LÍMITES Y CONTINUIDAD. MATEMÁTICAS CCSS. 2º BACHILLERATO

2. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

3. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Función real de variable real: Regla que asigna a cada número x un único f(x). Las funciones de una variable real se pueden representar gráficamente sobre el plano (dos dimensiones). Recorrido (valores de y) Dominio (valores de x)

4. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Función real de variable real: Regla que asigna a cada número x un único f(x). Cada valor de x sólo tiene un posible valor de f(x).

5. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Función real de variable real: Regla que asigna a cada número x un único f(x). No son funciones porque a un valor de x le corresponden dos o más valores de y. Son CURVAS.

6. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 1.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Input 1 Output 1 Fórmula Regla Método Input 2 Output 2 Input 3

7. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 1.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Ejemplo 1: Una compañía produce una cantidad x de un producto. El ingreso recibido por cada unidad del producto son 2 unidades monetarias. Escribe la función ingresos. Calcula el ingreso para diferentes cantidades de producción. Ejemplo 2: Una compañía produce tres productos en cantidades x, y, z. El ingreso recibido por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 unidades monetarias, respectivamente. Escribe la función ingresos. Calcula el ingreso para diferentes cantidades de producción. Ejemplo 3: Una compañía produce tres productos en cantidades x, y, z. El ingreso recibido por cada unidad de estos productos son 2, 3 y 5 unidades monetarias, respectivamente. Los costes unitarios son 1, 2.5 y 3 unidades monetarias, respectivamente. Escribe la función ingresos y la función costes. Escribe ambas funciones en una sola. Calcula el ingreso y los costes para diferentes cantidades de producción.

8. 1. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 1.1 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

9. 2. FUNCIONES ELEMENTALES

10. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 2.1.1 GRADO 1: LA RECTA pasa por (0,1) Cada unidad que avanza horizontalmente, sube dos verticalmente Dom(f)=(-∞,+∞)

11. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 2.1.1 GRADO 1: LA RECTA pasa por (0,-1) Cada tres unidades que avanza horizontalmente, sube cuatro verticalmente Dom(f)=(-∞,+∞)

12. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 2.1.2 GRADO 2: LA PARÁBOLA pasa por (0,0) Vértice en el punto (0,f(0)), es decir, (0,0) Rec(f)=[0,+∞) cóncava Sólo una solución: un punto de corte con el eje x: (0,0) Dom(f)=(-∞,+∞)

13. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 2.1.2 GRADO 2: LA PARÁBOLA pasa por (0,-5) Vértice en el punto (3,f(3)), es decir, (3,4) Rec(f)=(-∞,4] convexa Dos soluciones: puntos de corte con el eje x en: (1,0) y (5,0) Dom(f)=(-∞,+∞)

14. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 2.1.3 GRADO 3 pasa por (0,0) Una solución: corta al eje x en (0,0) Rec(f)=(-∞,+ ∞) Dom(f)=(-∞,+∞)

15. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 2.1.3 GRADO 3 pasa por (0,-15) cóncava/convexa Rec(f)=(-∞,+ ∞) Tres soluciones: puntos de corte con el eje x en: (-3,0) ; (1,0) ; (5,0) Regla de Ruffini: Dom(f)=(-∞,+∞)

16. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.1 FUNCIONES POLINÓMICAS 2.1.4 GRADO 4 pasa por (0,0) Rec(f)=[0,+ ∞) Una solución: corta al eje x en (0,0) Dom(f)=(-∞,+∞)

17. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.2 FUNCIONES a/xn n par Rec(f)=(0,+ ∞) asíntota horizontal y=0 asíntota vertical x=0 Dom(f)=(-∞,+∞)-{0}

18. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.2 FUNCIONES a/xn n impar Hipérbola Rec(f)=(-∞,+ ∞)-{0} asíntota horizontal y=0 asíntota vertical x=0 Dom(f)=(-∞,+∞)-{0}

19. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.3 FUNCIÓN RADICAL n par Rec(f)=[0,+ ∞) Dom(f)=[0,+∞)

20. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.3 FUNCIÓN RADICAL n impar Rec(f)=(- ∞,+ ∞) Dom(f)=(- ∞,+∞)

21. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL: ax (a>0) Rec(f)=(0,+ ∞) asíntota horizontal y=0 Dom(f)=(- ∞,+∞)

22. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.4 FUNCIÓN EXPONENCIAL: ax (a>0) 2.4.1 Caso particular f(x)=ex Rec(f)=(0,+ ∞) Dom(f)=(- ∞,+∞)

23. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: logb(x) Rec(f)=(- ∞,+ ∞) asíntota vertical x=0 Dom(f)=(0,+∞)

24. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.5 FUNCIÓN LOGARÍTMICA: logb(x) 2.4.1 Caso particular f(x)=ln(x) Rec(f)=(- ∞,+ ∞) Dom(f)=(0,+∞)

25. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Rec(f)=(- 1,1) Dom(f)=(- ∞,+∞)

26. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Rec(f)=(- 1,1) Dom(f)=(- ∞,+∞)

27. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.7 FUNCIONES A TROZOS Extremos absolutos Máximo absoluto: No tiene. Mínimo absoluto: (0,0) Extremos relativos Máximo relativo: No tiene. Mínimo relativo: (0,0) Continuidad Presenta una discontinuidad de salto finito en x=1 Trozo 1 (-∞ -,1] Trozo 2 (1,+ ∞)

28. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.7 FUNCIONES A TROZOS Extremos absolutos Máximo absoluto: (2,4) y (4,4) Mínimo absoluto: (0,2) Extremos relativos Máximo relativo: (2,4) y (4,4) Mínimo relativo: (3,3) Continuidad Presenta una discontinuidad de salto finito en x=4 Trozo 1 Trozo 2 Trozo 3

29. 2. FUNCIONES ELEMENTALES 2.7 FUNCIONES A TROZOS Extremos absolutos Máximo absoluto: No tiene. Mínimo absoluto: No tiene Extremos relativos Máximo relativo: No tiene. Mínimo relativo: No tiene asíntota vertical x=3 Continuidad Presenta discontinuidades de salto finito en x=-1 y x=1 Presenta una discontinuidad de salto infinito en x=3 Trozo 1 Trozo 2 Trozo 3

30. 3. ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

31. 3. ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO Dominio Es una función racional, por lo que buscamos dónde se anula el denominador: por tanto: asíntota vertical x=-1 asíntota vertical x=5

32. 3. ESTUDIO ANALÍTICO DEL DOMINIO Dominio Es una función con una raíz cuadrada que existirá cuando cuando el radicando sea positivo o cero. por tanto: Entre 2 y 8 la función no existe: Tiene en x=2 y x=8 discontinuidades de 2ª especie.

33. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL DE UNA FUNCIÓN

34. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL Ejemplo 1 Una empresa fabrica x unidades de un producto. Los ingresos, en euros, que recibe al venderlo vienen dados por la función I(x)=120x. Los gastos que suponen la fabricación se rigen mediante la función G(x)=x2+3200. a) Realiza una tabla comparando ingresos, gastos y beneficio para diferentes cantidades de x (de 0 a 100). b) ¿Para cuántas unidades vendidas los ingresos igualan a los gastos? c) Escribe la función beneficio y comprueba que coincide con los valores de la tabla. d) Calcula el beneficio que obtiene por cada unidad vendida para diferentes valores de x. Escribe la función beneficio unitario.

35. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL Ejemplo 1

36. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL Ejemplo 2 El número de alumnos afectados por una epidemia de gripe se obtiene a partir de la función A(t)=30t/(t+2), siendo t el número de días transcurridos desde el comienzo de la epidemia. a) ¿Cuántos afectados hubo el primer día? b) ¿En qué el número de afectados fue 15? c) Si transcurren una gran cantidad de días, ¿tiende a estabilizarse el número de afectados? ¿o crece indefinidamente? nº afectados t(días)

37. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL Ejemplo 3 El porcentaje de IRPF atribuido a un trabajador depende del sueldo. Si el sueldo es menor que 2000 €, el porcentaje será de 15%. Si el sueldo está entre 2000 y 5000 € se aplicará un coeficiente de 0,01 al sueldo y se le restarán 5 puntos porcentuales. Para sueldos superiores a 5000 € el porcentaje será siempre de un 45%. a) Escribe la función que determina el porcentaje de IRPF en función del sueldo. b) Calcula el porcentaje de IRPF para los siguientes sueldos: 1800 €, 2700 €, 4500 € y 6000 €. IRPF (%) s(€)

38. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL Ejemplo 4 Una empresa estima que el precio de venta de un artículo en función de los artículos fabricados viene dado por la función p(n)=12-0,01n. Halla la función que determina los ingresos totales de la empresa por la venta de n artículos.

39. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL 4.1 FUNCIONES LINEALES CASO 1: Conozco m y n Ejemplo 1: El alquiler de un coche cuesta 60€ más 15€ por cada día de alquiler. Ejemplo 2: El precio de una llamada de teléfono de una compañía es: 15 céntimos por establecimiento de llamada y 8 céntimos por minuto. CASO 2: Conozco dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) Ejemplo 1: Halla la función coste de una llamada si 1 min son 28 céntimos y 2 minutos cuestan 36 céntimos. Ejemplo 2: Ídem si 7min 45s son 82 céntimos y 1min 21s son 30,8 céntimos. Ejemplo 3: En una universidad, en el 2002 había matriculados 10400 alumnos y en el año 2007, 13200. Halla la función que da el número de alumnos según el año. ¿Cuántos había en 2005? ¿Y en 2013? Ejemplo 4: Si el precio de una entrada de cine es 6€ acuden 320 personas. Por cada 0,25€ de aumento en la entrada, acuden 10 personas menos. Halla la función que determina el número de espectadores en función del precio y la función que determina los ingresos del cine en función del precio.

40. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL 4.2 FUNCIÓN NO LINEAL A PARTIR DEL ENUNCIADO Ejemplo 1 Una empresa dispone de 15 comerciales que proporcionan unos ingresos por ventas de 5750 euros mensuales cada uno. Se calcula que por cada nuevo comercial que contrate la empresa los ingresos de cada uno disminuyen en 250 euros. Escribe la función que determina los ingresos totales si se contratan x comerciales más.

41. 4. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Y VERBAL 4.2 FUNCIÓN A PARTIR DEL ENUNCIADO Ejemplo 2 Una empresa tiene plantadas 1200 cepas de vid, produciendo cada cepa una media de 16 kg de uva. Según un estudio, por cada cepa que se añade, las cepas producen de media 0,01 kg menos de uva cada una. Escribe la función que determina la producción de uvas en función de las cepas que se añaden. http://www.cadenaser.com/sociedad/articulo/enigma-mes-junio/csrcsrpor/20120607csrcsrsoc_2/Tes