Geometria analitica del piano

1. Geometria analitica del piano Le coniche I parte

2. Definizione di conica • Si chiama conica una curva del piano rappresentata da un ‘equazione di secondo grado nelle variabili x ed y: dove a, b, c, d,e, f sono numeri reali e almeno uno dei coefficienti a, b e c è diverso da zero

3. Classificazione delle coniche • Si dimostra che con un’opportuna rototraslazione Oxy O’XY è sempre possibile trasformare l’equazione generale di una conica in una delle forme seguenti: • Le (1) e (2) sono dette forme canoniche.

4. Le coniche • Una conica si dice non degenere se nella sua forma canonica, tutti i coefficienti , ,  e p sono tutti diversi da zero. • Una conica non degenere, in forma canonica (1) o (2) si può rappresentare con un’equazione di questo tipo:

5. Simmetrie di una figura • Una figura F si dice simmetrica rispetto all’asse x se tutte le volte che un punto P(a,b) appartiene ad F, anche il simmetrico di P rispetto all’asse x, cioè P’(a, -b), appartiene ad F. Analogamente si definisce la simmetria rispetto all’asse y, e rispetto all’origine. Se una figura è simmetrica rispetto ai due assi coordinati è anche simmetrica rispetto all’origine.

6. L’ellisse Ha equazione canonica: Se a=b l’ellisse è la circonferenza di centro l’origine e raggio a. Siccome la variabili X ed Y compaiono solo al quadrato l’ellisse è simmetrica rispetto all’asse X, rispetto all’asse Y e rispetto all’origine. Infatti se il punto P(a,b) appartiene all’ellisse anche P’(-a,b), P’’(a,-b), P’’’(-a,-b) appartengono all’ellisse. Gli assi coordinati sono dunque assi di simmetria e l’origine O è centro di simmetria per l’ellisse ed il punto O è detto centro dell’ellisse.

7. Regione in cui si svolge il grafico dell’ellisse Dall’equazione: essendo due numeri non negativi la cui somma è 1, si ha: Quindi l’ellisse è contenuta nel rettangolo delimitato dalle rette X=a, X= -a, Y=b, e Y= -b. Tale rette hanno in comune con l’ellisse un solo punto d’intersezione, contato due volte, pertanto sono tangenti all’ellisse. Le rette X= c tagliano l’ellisse in due punti reali distinti per –a<c<a, mentre non la intersecano se c<-a o c>a. Analogamente le rette di equazione Y=d tagliano l’ellisse in due punti distinti se –b<d<b, mentre non la intersecano se d<-b o b>d.

8. Grafico dell’ellisse • Con a>b • Con a<b

9. Nomenclatura relativa all’ellisse • I punti A(a, 0), A’(-a,0), B(0,b) e B’(0,-b) si chiamano vertici dell’ellisse e le rette X= a, X=-a, Y=b e Y=-b sono le tangenti nei vertici. I segmenti AA’ e BB’ si chiamano assi dell’ellisse; le loro lunghezze sono rispettivamente 2a e 2b. Vi sono due punti notevoli situati sull’asse maggiore dell’ellisse, che si chiamano fuochi. Se a>b essi sono F(c,0) ed F(-c,0) dove Se a<b essi sono F(0,c) e F’(0,-c), con • Si può dimostrare che l’ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano tali che d(P,F)+d(P,F’)=2a dove a è il semiasse maggiore.

10. Ellisse traslata • L’equazione rappresenta un’ellisse di centro C(p,q) con assi di simmetria x=p e y=q, paralleli agli assi coordinati, e semiassi a e b. Ciò si vede effettuando la traslazione:

11. Rappresentazione parametrica dell’ellisse L’ellisse di equazione si può rappresentare parametricamente tenendo conto che Ponendo si ottiene un’altra rappresentazione parametrica dell’ellisse

12. Esercizi • Trovare l’ellisse E di centro O, avente semiassi 5 e 6 e con l’asse maggiore sull’asse delle x. • Verificare che l’equazione rappresenta un’ellisse e trovarne i semiassi, i vertici ed i fuochi.

13. L’iperbole Ha equazione canonica: Simmetrie: Come per l’ellisse gli assi coordinati sono assi di simmetria per l’iperbole e l’origine delle coordinate è centro di simmetria ed è detto centro dell’iperbole. Regione in cui si svolge il grafico: Intersechiamo l’iperbole con le rette parallele agli assi coordinati e con le rette passanti per l’origine. La retta Y=h interseca l’iperbole in due punti reali e distinti qualunque sia h.

14. Regione in cui si svolge il grafico dell’iperbole • La retta X=h taglia l’iperbole in due punti reali e distinti se h<-a oppure h>a; in due punti coincidenti se h=a oppure h=-a; e non interseca l’iperbole se –a<h<a, In particolare X=0 non interseca l’iperbole. • La retta Y=mX taglia l’iperbole in due punti distinti se e non la interseca se

15. Grafico dell’iperbole • I punti reali dell’iperbole sono contenuti nella regione di piano individuata dal sistema di disuguaglianze:

16. Nomenclatura dell’iperbole • Il grafico dell’iperbole è formato da due parti staccate dette rami. • I punti A(-a,0) e A’(a,0) si chiamano vertici dell’iperbole. La retta AA’, che è uno degli assi di simmetria, si chiama asse di simmetria trasverso dell’iperbole. Per analogia col caso dell’ellisse a e b si chiamano semiasse trasverso e b semiasse non trasverso. • Se i semiassi sono uguali, cioè se a=b, l’iperbole si dice equilatera. • Le rette si chiamano asintoti dell’iperbole. • L’iperbole è equilatera se e solo se gli asintoti sono tra loro ortogonali.

17. Equazione complessiva dei due asintoti • L’equazione complessiva dei 2 asintoti dell’iperbole è • Si ottiene uguagliando a zero il complesso dei termini di secondo grado dell’equazione dell’iperbole.

18. Fuochi dell’iperbole • Sono i punti F(c,0) e F’(-c,0), dove Poiché si ha c>a, e quindi ciascuno dei fuochi è interno ad uno dei due rami dell’iperbole. Si dimostra che l’iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che dove a è il semiasse trasverso. Si ottiene

19. Iperbole traslata • L’equazione rappresenta un’iperbole di centro C(p,q) con assi di simmetria x=p e y=q, paralleli agli assi coordinati, e semiassi a e b. Ciò si vede effettuando la traslazione:

20. Osservazione • L’equazione rappresenta ancora un’iperbole di centro O, con assi di simmetria coincidenti con gli assi coordinati e asintoti ma l’asse focale, cioè l’asse che incontra l’iperbole è l’asse delle y. I fuochi sono F(0,c) e F’(0,-c) dove • Ciò si vede effettuando il cambiamento di coordinate X= y, Y= -x.

21. Iperbole con asintoti paralleli agli assi coordinati • La curva di equazione xy=c (dove c è una costante diversa da zero) è un’iperbole equilatera di centro O, avente per asintoti gli assi coordinati. Ciò si vede con il cambiamento di riferimento (rotazione antioraria di /4): • L’equazione xy=c diventa

22. Iperbole con asintoti paralleli agli assi coordinati • Quest’ultima è l’equazione di un’iperbole nel sistema OXY, e poiché c è diverso da zero, rappresenta un’iperbole equilatera con asintoti Y=X e Y=-X (nel sistema OXY). Nel sistema Oxy, xy=c è l’equazione di un’iperbole equilatera di centro O, i cui asintoti sono gli assi coordinati.

23. Grafici dell’iperbole equilatera xy=c • Con c>0 • Con c<0

24. Iperbole traslata • Più in generale l’equazione rappresenta un’iperbole equilatera di centro C(p,q) e avente per asintoti le rette x=p, y=q. Infatti con la traslazione ricadiamo nel caso precedente.

25. Esercizio • Provare che l’equazione rappresenta un’iperbole. Trovare la distanza tra i vertici, i fuochi e gli asintoti.

26. La parabola • Ha equazione canonica • Simmetrie: Poiché la variabile y compare solo al quadrato, l’asse x è asse di simmetria per la parabola e non vi sono altri assi di simmetria, né vi è centro di simmetria.

27. Regione in cui si svolge il grafico della parabola • Intersechiamo la parabola con rette parallele agli assi coordinati e con rette passanti per l’origine. • Le rette y=h intersecano la parabola in un unico punto. • Le rette x=c, con c diverso da zero e avente lo stesso segno di p tagliano la parabola in due punti reali e distinti. • Le rette x=c, con c diverso da zero e avente segno opposto a quello di p non intersecano la parabola. • La retta x=0 interseca la parabola in due punti coincidenti, pertanto è tangente alla parabola nell’origine. • Le rette del tipo y=mx, con m diverso da zero, intersecano la parabola in due punti distinti.

28. Grafici della parabola • Se p>0 la parabola è contenuta nel semipiano • Se p<0 la parabola è contenuta nel semipiano

29. Nomenclatura relativa alla parabola • L’unico asse di simmetria è l’asse x che si chiama asse della parabola. • Il punto V(0,0) si chiama vertice ed è l’unico punto di intersezione della parabola con il suo asse. • Il punto F(p/2,0) si chiama fuoco della parabola e la retta x =-p/2 si chiama direttrice della parabola.

30. La Parabola come luogo geometrico • La parabola è il luogo dei punti P tali che d(P,F)=d(P,r), dove r è la direttrice. Se consideriamo un riferimento in cui F(p/2,0) è il fuoco, la direttrice r ha equazione x = -p/2 e quindi p è la distanza tra F ed r, si ottiene l’equazione

31. Parabola traslata • La curva di equazione con a diverso da zero. Infatti, completando il binomio ad un quadrato, l’equazione precedente si può scrivere:

32. Parabola traslata e con la traslazione diventa

33. Parabola con asse parallelo all’asse y L’equazione rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse delle y. Infatti col cambiamento di riferimento (rotazione antioraria di /2) l’equazione diventa rappresenta una parabola con asse parallelo all’asse X, cioè parallela all’asse y.

34. Parabola in forma parametrica • La parabola di equazione si può porre in forma parametrica La parabola è una curva razionale.

35. Esercizi • Si riconoscano le seguenti coniche: