Geometria analitica del piano

1. Geometria analitica del piano La circonferenza

2. Equazione della circonferenza Siano C(,) un punto del piano ed R un numero reale positivo. La circonferenza di centro C e raggio R è il luogo dei punti P(x,y) del piano la cui distanza da C è uguale al raggio R: d(P,C)=R. Elevando al quadrato la relazione precedente si ha: (1) La (1) si dice equazione cartesiana della circonferenza di centro C e raggio R.

3. Equazione della circonferenza Svolgendo i calcoli si ha: (2) È un’equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y con le seguenti caratteristiche: • i coefficienti di x2, y2 sono uguali a 1; • mancano i termini misti in xy.

4. Esempio Trovare la circonferenza di centro C(1,1) e passante per P(2,1). Soluzione. La distanza del centro da P e uguale al raggio L’equazione della circonferenza cercata è

5. Un’equazione del tipo (2) rappresenta sempre una circonferenza? Ogni equazione polinomiale di II grado nelle incognite x, y con coefficienti di x2, y2 uguali a 1 e priva di termini misti rappresenta sempre una circonferenza? Consideriamo l’equazione che si può riscrivere utilizzando il metodo del “completamento dei quadrati”:

6. Centro e raggio di una circonferenza Se in questo caso il centro ed il raggio della circonferenza sono: Se R=0 la circonferenza ha un solo punto reale il centro. Se la circonferenza non ha punti reali e si chiama circonferenza immaginaria.

7. Esercizio 1 Si stabilisca se l’equazione rappresenta una circonferenza. In caso affermativo se ne trovino centro e raggio. Soluzione. Dividendo per 2 e utilizzando il metodo del completamento dei quadrati si ha: che è l’equazione di una circonferenza di centro C(0,-1) e raggio 1.

8. Esercizio 2 Si studi per quale valore del parametro k l’equazione: Rappresenta una circonferenza. Soluzione Il raggio è reale qualunque sia k quindi l’equazione rappresenta sempre una circonferenza.

9. Intersezioni tra una retta ed una circonferenza Sia C: la circonferenza di centro C(,) e raggio R, e sia r la retta di equazione ax+by+c=0. I punti comuni a C ed r sono quelli le cui coordinate soddisfano il sistema di II grado Si possono presentare 3 casi • d(C, r)=R la retta è tangente alla circonferenza • d(C, r)<R la retta è secante • d(C, r)>R la retta è esterna

10. Retta tangente ad una circonferenza in un suo punto Sia : la circonferenza di centro C(,) e raggio R, e sia P0 (x0,y0) un punto di . La retta tangente a  in P0 è la retta per P0 ortogonale al raggio CP0, cioè ortogonale al vettore P0 –C ed ha equazione:

11. Rette tangenti ad una circonferenza uscenti da un punto del piano Sia : la circonferenza di centro C(,) e raggio R, e sia P0 (x0,y0) un punto del piano, e consideriamo le rette passanti per P0 che sono tangenti a . Si presentano tre casi: • P0 è esterno a , cioè d(P0,C)>R, in questo caso vi sono due tangenti; • P0 appartiene a , cioè d(P0,C)=R, in questo caso vi è una retta tangente a  per P0. • P0 è interno a , cioè d(P0,C)<R, non c’è nessuna retta reale per tangente a  per P0.

12. Intersezione di due circonferenze • Consideriamo due circonferenze distinte 1 e 2 di centri C1 e C 2 e raggi R1 e R 2 di equazioni: I punti comuni alle due circonferenze si trovano risolvendo il sistema formato dalle equazioni di 1 e 2. Sottraendo la seconda equazione dalla prima si ottiene il sistema equivalente che può avere al più due soluzioni reali.

13. Mutua posizione di due circonferenze • 1 e 2 non si intersecano  d(C 1,C 2)>R 1 +R 2 (circonferenze esterne) oppure (una circonferenza è interna all’altra). • 1 e 2 si intersecano in un solo punto  d(C 1,C 2)=R 1 +R 2 (circonferenze tangenti esternamente), oppure (circonferenze tangenti internamente).

14. Mutua posizione di due circonferenze • 1 e 2 si intersecano in due punti distinti  (circonferenze secanti)

15. Asse radicale • Se le circonferenze1 e 2 non sono concentriche essendo Almeno uno dei due numeri è non nullo, e quindi l’equazione ottenuta come differenza delle equazioni delle due circonferenze rappresenta una retta r detta asse radicale delle due circonferenze. Poiché il vettore C 2 –C 1 è uguale a la retta r è ortogonale a C 2 –C 1 e passa per i punti comuni alle due circonferenze. Quindi se le due circonferenze si intersecano in due punti distinti A e B, l’asse radicale r è la retta passante per A e B. Se invece le due circonferenze si intersecano in un solo punto A (e quindi sono tra loro tangenti) l’asse radicale è la retta tangente ad entrambe le circonferenze in A.

16. Fasci di circonferenze Fasci di circonferenze secanti • Siano A e B due punti distinti del piano. L’insieme di tutte le circonferenze passanti per A e B si chiama fascio di circonferenze con punti base A e B. La circonferenza di raggio minimo del fascio è quella avente il segmento AB come diametro, ossia avente per centro il punto medio C del segmento AB e raggio R=1/2 d(A,B). Si osserva che il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è l’asse del segmento AB.

17. Fasci di circonferenze secanti Teorema Sia una qualunque circonferenza passante per A e B, e sia r: dx+ey+f=0 la retta passante per A e B. Le circonferenze del fascio con punti base A e B sono tutte e sole quelle aventi equazione del tipo: dove k è un parametro reale. Per ogni k reale la (1) rappresenta una circonferenza per A e B, ed ogni circonferenza per A e B ha un’equazione del tipo (1) per un opportuno valore del parametro k. La retta r si chiama asse radicale e la (1) si chiama equazione del fascio.

18. Fascio di circonferenze secanti • Consideriamo due circonferenze distinte secanti 1 e 2 di equazioni: Siano A e B i punti comuni alle due circonferenze. La retta per A e B (cioè l’asse radicale) è Pertanto l’equazione del fascio delle circonferenze per A e B si può scrivere senza calcolare A e B, ma usando l’equazione di r e quella di 1 o 2. Con abuso di notazione scriviamo: 1 +k r=0 o 2 + k r =0.

19. Esercizi • Si scriva l’equazione del fascio di circonferenze con punti base A(3,6) e B(-1,2), e si trovi la circonferenza del fascio passante per P(2,1). • Date le circonferenze 1 e 2 di equazioni: Si trovino le equazioni delle circonferenze passanti per i punti comuni alle due circonferenze 1 e 2 e aventi raggio 2.

20. Fasci di circonferenze tangenti ad una retta data in un punto dato • Sia A un punto del piano e sia r una retta per A. L’insieme di tutte le circonferenze tangenti ad r in A si chiama fascio di circonferenze con punto base A appartenente ad r. La circonferenza di raggio minimo del fascio è quella di centro A e raggio nullo. Si osserva che il luogo dei centri delle circonferenze del fascio è la retta passante per A ortogonale ad r. • Teorema Siano r: ax+by+c=0 e A (x0,y0) un punto di r. Le circonferenze del fascio con punto base A sono tutte e sole quelle aventi equazionedel tipo: dove k è un parametro reale.

21. Fasci di circonferenze tangenti ad una retta data in un punto dato • Per ogni k reale la (2) rappresenta una circonferenza tangente ad r in A. • Ogni circonferenza tangente ad r in A ha un’equazione del tipo (2) (per un opportuno valore di k). La retta r si chiama asse radicale del fascio, e la (2) si chiama equazione del fascio.

22. Esercizio • Data r: x-y=0, si trovino tutte le circonferenze tangenti ad r in O, e tra queste si trovi quella passante per B(1,2).