Determinazione analitica del momento di inerzia

1. Determinazione analitica del momento di inerzia anello sottile,disco,sfera,guscio sferico,asta sottile rispetto all’asse di simmetria o ad un asse notevole

2. Momento di inerzia di un anello sottile, o uno strato cilindrico omogeneo,di spessore trascurabile e di raggio R rispetto al suo ad un asse perpendicolare alla sezione circolare dell’anello e passante per il suo centro la formula generale • simmetria cilindica, coordinate cilindriche • densità superficiale costante ; quindi dm = dA proiezione dello strato sottile cilindrico esempio 1

3. esempio 2 momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M , raggio R e spessore l che ruota rispetto al suo asse il volume “ elementare” di integrazione è un anello cilindrico, di altezza l e che ha per base la corona circolare di raggio r e spessore dr

4. momento di inerzia di una sfera omogenea • si vuol determinare il momento di inerzia di una sfera omogenea di massa M e raggio R rispetto ad un asse passante per il centro • consideriamo la terna ortogonale Oxyz della figura, dove O coincide con il centro della sfera. • Per ragioni di simmetria il momento di inerzia rispetto ad un generico asse passante per 0 concide con quello rispetto all’asse x, o a quello rispetto all’asse y o z. • questi momenti di inerzia sono rispettivamente • sommando membro a membro si ottiene

5. simmetria sferica, coordinate sferiche o polari volume elementare dV lo strato sferico di raggio r e spessore dr, dove r varia da 0 a R la superficie dello strato sferico di raggio r è dato da: da cui si ricava ricordando che il volume della sfera è e che la massa della sfera omogenea è

6. momento di inerzia di un guscio sottile sferico omogeneo, rispetto ad un asse passante per il centro