NELINEARNE JEDNA ČINE

1. NELINEARNE JEDNAČINE

2. Etape: 1) izolovanje rešenja (korena) 2) nalaženje približne vrednosti rešenja

3. Teorema: Neka je Tada postoji za koje je Jedinstvenost rešenja:

4. Teorema(o oceni greške): Neka je tačna, a približna vrednost korena jednačine i Tada je Dokaz: Oznake:

5. NUMERIČKE METODE: 1) metode sužavanja intervala 2) metode zasnovane na teoremi o fiksnoj tački

6. METODA POLOVLJENJA INTERVALA

7. Teorema: Neka je gde je interval izolacije korena jednačine Tada niz konvergira korenu jednačine i važi Dokaz:

8. METODA REGULA FALSI

10. 1. Teorema (izbor fiksne tačke): Neka je na segmentu funkcija neprekidno diferencijabilna i u svakoj tački postoji Dalje neka su ispunjeni uslovi: 2. i su stalnog znaka na segmentu . Neka su dalje tačke za koje su zadovoljeni uslovi: (1) Tada niz definisan rekurentnom fomulom (2) konvergira ka korenu jednačine

11. Dokaz: Pretpostavka: Iz (1) sledi: i . Zbog toga što je f monotono rastuća je , i . Matematičkom indukcijom dokazujemo da je tj. da je niz ograničen odozgo. n=0 : (tačno) n=k : (pretpostavka) n=k+1 : ako je onda je (dokazati ili zapamtiti)

12. Tada je , : Sledi: jer su funkcije i monotono rastuće i . Specijalno je , pa je odnosno (Kraj dela dokaza matematičkom indukcijom)

13. Takođe je jer je Niz je konvergentan: Pri tome je Prelaskom u (2) na graničnu vrednost kad dobija se Odavde sledi da je , a pošto je jedini koren jednačine biće , odnosno Kraj dokaza.

14. Ocena greške: Primenom Lagranžove teoreme dobija se: Iz prethodnog sledi odnosno

15. Metode zasnovane na teoremi o nepokretnoj tački

16. TEOREME O NEPOKRETNOJ TAČKI Definicija 1: Neka . Kažemo da je x fiksna ili nepokretna tačka preslikavanja ako je

17. Teorema 1 (Šauderova): Neka je i neka je g neprekidno preslikavanje. Tada funkcija g ima bar jenu nepokretnu tačku. Dokaz: Ako je ili onda je odnosno nepokretna tačka. U protivnom je i , pa je Obzirom da je neprekidna funkcija, postoji takvo da je tj. .

18. Teorema 2: Neka je diferencijabilna fukcija za koju postoji tako da je Tada g ima tačno jednu nepokretnu tačku. Dokaz: Funkcija g je neprekidna (jer je diferencijabilna) pa ima bar jednu nepokretnu tačku. Dokažimo da funkcija ne može imati dve nepokretne tačke. Naime, ako pretpostavimo da g ima dve nepokretne tačke, i , bilo bi METODA ITERACIJE Jednačina se na zamenjuje ekvivalentnom

19. Generiše se niz :

20. Teorema 3 (dovoljni uslovi konvergencije): Neka diferencijabilna funkcija zadovoljava uslov Tada niz konvergira ka fiksnoj tački funkcije g i za svaki prirodan broj n važi ocena Dokaz: Važi Posle n koraka dobija se pa je

21. Iz sledi pa je Napomena: Ocena greške može se dobiti iz poslednje dve iteracije. Iz sledi specijalno za je

22. Neka je fiksna tačka funkcije , i neka je neprekidna u otvorenom intervalu koji sadrži . Ako je , onda postoji tako da niz definisan sa konvergira nepokretnoj tački funkcije g. Dokaz: Neka . Tada postoji tako da je zbog neprekidnosti na . Funkcija g preslikava segment na samog sebe: Teorema 4 (dovoljan uslov lokalne konvergencije):

23. NJUTN – RAFSONOVA METODA ( METODA TANGENTI ) Teorema ( o lokalnoj konvergenciji ): Neka je neprekidna funkcija i u nekom otvorenom intervalu koji sadrži gde je Tada postoji tako da niz definisan sa (1) konvergira ka ako je .

24. Dokaz: Obzirom da je i neprekidna funkcija, postoji i , i takvo da je . Na osnovu teoreme 3 sledi da je . Geometrijska interpretacija:

25. Teorema ( o izboru početne aproksimacije ): Neka je dva puta neprekidno diferencijabilna i neka je . Ako su i stalnog znaka na i : , onda niz konvergira rešenju jednačine . Dokaz: Pretpostavimo da je . Niz je ograničen odozdo sa : jer je i je monotono rastuća pretpostavka: ( za neko k) Obzirom da je i sledi da je

26. . ( kraj dela dokaza mat. indukcijom ) Niz je monotono opadajući: Postoji . Ako u (1) pređemo na graničnu vrednost kad , dobijamo odnosno jer je jedinstven koren jednačine na intervalu (a,b)

27. Teorema ( o oceni greške ): Ako je dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija, onda je Dokaz:

28. KOMBINOVANA METODA