B-III Loi de Laplace

1. B-III Loi de Laplace B-III.1 Charges en mouvement dans un champ magnétique Considérons une charge électrique q en mouvement à la vitesse dans un champ d’induction magnétique . Cette charge est soumise à la force dite force de Lorentz La force de Lorentz est perpendiculaire à la vitesse, donc elle ne travaille pas. Il en résulte que l’énergie cinétique se conserve sous le seul effet de cette force. Donc le module de la vitesse se conserve également, ce qui veut nullement dire que le vecteur vitesse soit constant.

3. z O xo t=0, Mo y x Orientation de la force : donnée par le produit vectoriel Exemple N°1 : Mouvement dans un champ magnétique uniforme Pour une charge q > 0 (pour fixer les dessins) de vitesse la force de Lorentz dans un champ choisi sur Posons rayon position complexe projetée dans le plan xy. L’équation du mouvement devient Soit aussi Mouvement suivant donc suivant Vitesse constante et mouvement de translation uniforme Mouvement dans le plan xy En notations complexes

4. z y Mo x x A t = 0 nous avons r = xo et il vient Calculons l’équation de la trajectoire dans le plan xy à partir du module de Soit équation d’un cercle de centre et de rayon Le module de la vitesse projetée dans le plan xy est constant

5. y x z + + + + + + + + + + + + I -e a d - - - - - - - - - - - - Exemple N°2 : Effet Hall Voici un exemple important utilisé pour le mesure du champ magnétique. Un conducteur métallique de type parallélépipède rectangle est soumis dans la direction de sa faible dimension (y) à un champ magnétique uniforme Sur les électrons mobiles associés au courant injecté dans le sens de la longueur (x), la force de Lorentz donne un déplacement suivant z et pour les sites lacunaires positifs un déplacement opposé. Il apparaît un champ électrique croissant en z qui crée une force opposée à celle de Lorentz. Le champ électrique en z croît jusqu’à l’égalité en module des deux forces, les charges se déplaçant alors en ligne droite. La différence de potentiel dans la direction z de dimension d est la tension Hall donnée par Le champ électrique est donné par l’égalité des forces soit Le courant est relié à la vitesse par la relation de la densité de courant soit La tension Hall s’écrit Elle permet des mesures de , de même que la détermination de la densité de porteurs n. n = densité de porteurs

6. Axe du champ Ceinture de Van Allen Interne Ceinture de Van Allen Externe Distance à la Terre en Rayons terrestres Exemple N°3 : Ceinture de Van Allen

7. Particules chargées venant du Soleil entrant dans le champ magnétique terrestre Protons piégés dans la ceinture interne Pôle Nord Pôle Sud Électrons piégés dans la ceinture externe Exemple N°3 : Ceinture de Van Allen

8. Exemple N°3 : Ceinture de Van Allen

10. B-III.2 La force de Laplace Si la charge q appartient à une famille de charges en mouvement dans un conducteur, charges contribuant à l’existence d’un courant I, il est possible de relier la force de Lorentz à la force qu’un champ magnétique crée sur un élément de courant. Soit n la densité de charges participant au courant électrique, animées d’une vitesse moyenne . Pendant le temps δt, la quantité de charges δq qui passe une section du fil est soumise à la force totale Si on écrit il vient Le résultat précédent constitue la loi de Laplace qui donne la force exercée par un champ magnétique sur un élément de courant (pris dans un circuit fermé qui n’est pas représenté à ce stade de la présentation)

11. Propriétés de la force de Laplace • Direction normale aux deux vecteurs courant et champ • Sens donné par l’orientation du produit vectoriel qui la définit (toute les méthodes d’orientation de la force sont bonnes si justes) • L’intensité de la force est proportionnelle à l’intensité du courant et à la valeur du champ • L’intensité de la force est donnée par le module du produit vectoriel dont on rappelle l’expression

12. B-IV Loi des actions électrodynamiques d’Ampère B-IV.1 Définition Après avoir constaté l’existence des charges électriques, nous avons mis l’interaction entre ces charges en tête du cours d’électrostatique, la fameuse loi de Coulomb. Se pose maintenant le problème de l’interaction entre les courants que nous allons développer grâce aux éléments de courant. Remarque: Nous avons vu dans le cours de S1 consacré aux Concepts de la Physique qu’il n’existait qu’une seule Interaction Fondamentale Électromagnétique: la force de Coulomb. La loi de force que nous allons introduire en Magnétostatique n’est pas une force supplémentaire mais une émanation de la force de Coulomb lorsque l’espace-temps est relativisé. La loi des actions électrodynamiques d’Ampère exprime la force d’un circuit filiforme C1 parcouru par un courant I1 sur un autre circuit filiforme C2 parcouru par un courant I2. Circuit filiforme 1 C1 I1 Circuit filiforme 2 C2 I2

13. Considérons, pris dans ces deux circuits, deux éléments de • courant de C1 au point M1 et de C2 au point M2. • Le vecteur qui les joint est • Par définition la force que l’élément de courant exerce sur • l’élément de courant est donnée par • Cette force élémentaire est mathématiquement plus compliquée que la force de Coulomb • Cette force élémentaire n’a pas de réalité physique. En effet la troisième loi de Newton (vue au Lycée), loi de l’action égale à la réaction, stipule que la force que l’élément de courant exerce sur l’élément de courant est donnée par l’opposée de la précédente, soit Or il est facile de montrer qu’il n’en est pas ainsi. Circuit filiforme 1 C1 I1 M1 C2 I2 Circuit filiforme 2 M2 Avec et il faudrait avoir Par exemple pour le deuxième membre est nul, ce qui n’implique pas la nullité du premier.

14. Bien que la force élémentaire ne soit pas physique elle reste valable tant qu’elle ne prétend pas représenter une réalité physique. La seule réalité physique ici est la force entre les deux circuits dans leur entier. Nous n’y sommes pas encore. • Calculons la force que l’ensemble du circuit C1 parcouru par I1 • crée sur l’élément de C2 . • Arrivé à ce stade on reconnaît • D’une part le champ magnétique créé par la spire (C1, I1) au point M2 • La force de Laplace que ce champ magnétique crée sur l’élément du circuit C2 Circuit filiforme 1 C1 I1 M1 C2 I2 Circuit filiforme 2 M2

15. Circuit filiforme 1 C1 I1 M1 C2 I2 Circuit filiforme 2 M2 Une deuxième sommation nous donne la force que l’ensemble du circuit C1 crée sur le circuit C2 . Soit aussi avec l’expression du champ magnétique C’est sous cette forme que la force répond aux exigences des principes physiques et en particulier à la troisième loi de Newton. Il faut que Bien que l’expression de la force ne semble pas donner aux deux circuits des rôles symétriques, cette expression satisfait au principe de Newton.

16. Propriétés de la force entre deux circuits • C’est une loi déduite de résultats expérimentaux (Ampère), loi de base de la Magnétostatique • L’intensité de la force varie globalement comme l’inverse du carré des distances • L’intensité de la force est directement proportionnelle à chacun des courants des circuits • Son orientation dépendant de la géométrie globale, celle des deux spires comme de leur relative disposition, elle n’est pas directement observable dans un cas quelconque. • Elle satisfait la troisième loi de Newton. Montrons cette dernière propriété. Considérons la relation entre trois vecteurs quelconques Appliquée dans l’expression de la force elle donne Considérons le premier terme écrit sous la forme Dans cette expression l’intégrale porte sur la fonction continue intégrée sur un contour fermé ce qui donne un résultat nul

17. A’ B’ q r d q q A B La force entre les deux circuits se trouve maintenant écrite sous la forme antisymétrique par échange des deux circuits B-IV.2 La force de Lorentz-Laplace est-elle une nouvelle force Ce qui suit n’a pas prétention à démonstration rigoureuse, mais cherche simplement à montrer que la seule force de Coulomb, moyennant quelques aménagements, fait apparaître une composante supplémentaire en tous points conforme à la force de Lorentz. Un calcul rigoureux devrait se faire dans le cadre de la Relativité Restreinte. Soit deux particules chargées, identiques, q > 0 pour fixer la figure, se déplaçant à la même vitesse sur des trajets parallèles espacés de d. A l’instant t = 0 elles sont en A et B. Si on suppose, et c’est là une hypothèse non contenue dans la loi de Coulomb, que l’interaction électrique ne se propage pas à une vitesse infinie mais à la vitesse de la lumière c, l’action issue de la charge A sur la charge B ne sera ressentie qu’en position B’, à une distance r et non d.

18. B’ d A’ q q Le temps de parcourt entre A et B’ pour l’action est le même que le temps de parcourt entre B et B’ pour la charge qui va subir l’action. La force de Coulomb modifiée peut s’écrire en module, force répulsive Nous reconnaissons, dans le premier terme, la force de Coulomb classique où les interactions sont supposées instantanées ayant parcouru une distance d Le deuxième terme peut prendre avec la relation la forme Nous savons que la quantité est assimilable à un élément de courant Le terme n’est autre que le champ magnétique créé en B’ par la charge A’ en mouvement avec le sens donné par la figure. Apparaît alors une force dont le module correspond bien au deuxième terme de la force de Coulomb modifiée et dont le sens est tel qu’il donne bien le signe négatif, deux courants de même sens s’attirent, alors que deux charges de même signe se repoussent.

19. (Dû à ia) B-IV.3 Force entre deux fils parallèles – Définition de l’Ampère A la distance d le fil (a) très long parcouru par un courant ia crée à la distance d un champ magnétique perpendiculaire au fil (b) de module Soit une force sur la longueur L du fil (b) La force par unité de longueur est Soit la définition de l’Ampère qui a prévalu pendant de très nombreuses années: « L’ampère est le courant qui traverse deux fils parallèles très longs situés à 1m l’un de l’autre et qui exercent entre eux une force de 2.10-7 N par mètre » Si les courants sont dans le même sens la force est attractive, répulsive dans le cas inverse.

20. Circuit filiforme C I M Sources de B-V Circuit dans un champ magnétique B-V.1 Retour sur la loi de force Nous avons à notre disposition une loi de force entre les circuits, loi des actions électrodynamiques d’Ampère, que nous n’avons pas beaucoup exploitée jusqu’à maintenant. La difficulté mathématique qu’elle porte justifiant cela. Soit un champ magnétique créé en tout point M par un ensemble de sources non précisé, si ce n’est que ces sources ont des propriétés indépendantes du circuit C , courant et position . La force que cet ensemble de sources crée sur le circuit C parcouru par le courant I est une résultante de la sommation de la loi de Laplace Au même titre que la loi de force de Coulomb peut être mise en évidence expérimentalement par la balance de Coulomb, la balance de Cotton permet de mesurer (entre autres dispositifs) la force qu’un champ magnétique provoque sur un circuit parcouru par un courant. Balance de Cotton

21. Circuit filiforme C I Sources de I C I C B-V.2 Énergie potentielle magnétique d’un circuit dans un champ créé par des sources extérieures Pour que le circuit C parcouru par un courant I soit à l’équilibre il faut lui appliquer une autre force due à un observateur mécanique extérieur avec Afin d’estimer l’énergie potentielle du circuit (C , I), calculons le travail de l’observateur qui est condamné à déplacer le circuit depuis un endroit très éloigné (nous pouvons dire l’infini), là où les sources exercent une force jugée négligeable, jusqu’à un endroit où les actions en question sont appréciables. Effectuons d’abord un déplacement infinitésimal du circuit Sur l’élément du circuit (C , I) s’exercent les forces avec un travail pour le déplacement expression qui peut prendre la forme

22.  C C C C Sources de Sources de I I I I  La quantité représente le vecteur surface élémentaire dont la norme est la surface infinitésimale balayée par l’élément du circuit C lors du déplacement . Ainsi Si on introduit le flux élémentaire coupé par lors du déplacement , il vient Si on considère le travail de l’observateur pour le déplacement infinitésimal de l’ensemble du circuit C , expression dans laquelle est le flux coupé par tout le circuit C . Considérons maintenant le déplacement du circuit depuis une zone éloignée des sources de . Lors de ce déplacement le circuit coupe un certain flux et C C I Si on considère la surface fermée constituée des deux surfaces s’appuyant sur C à  et en position finale Sf et par la surface latérale balayée, le flux à l’infini étant nul il reste que

23. I Sf Sur cette surface fermée la normale extérieure pour la surface finale Sf est inverse à celle de l’orientation conventionnelle. On en déduit que La quantité étant le flux à travers la surface S du circuit dans sa position finale avec la normale correctement orientée. L’énergie potentielle du circuit (C , I) dans le champ des sources extérieures est donnée par le travail de l’observateur, donc : En notations simplifiées A condition que l’on sache de quoi l’on parle

24. B-V.3 Actions sur un circuit dans un champ créé par des sources extérieures • L’expression de l’énergie potentielle du circuit dans le champ magnétique créé par un ensemble de sources nous permet de calculer les éléments d’action de ces sources sur le circuit. • Force qu’un ensemble de sources de champ magnétique crée sur un circuit • étant connu en chaque point du circuit il est possible de calculer directement la force avec l’expression intégrée • L’autre méthode consiste à prendre les variations de l’énergie potentielle Moment des forces dans la rotation autour d’un axe • Soit par un calcul direct en prenant la somme des moments des forces élémentaires • Soit en faisant une variation de l’énergie potentielle

25. b A D dX X I x B C Exemple d’application du calcul des actions sur un circuit Un cadre rectangulaire ABCD, parcouru par un courant I est placé dans le champ magnétique créé par un fil très grand, placé dans le plan du cadre, parallèle à AB = a et parcouru par un courant I’. Le repère géométrique est celui de la figure avec dans le plan du cadre qui est le plan de la figure perpendiculaire. Le champ magnétique créé par le fil à la distance X est Son flux sur la bande de surface élémentaire de largeur dX est attention à l’orientation de la surface du circuit. Le flux total est donné par avec x > 0 L’énergie potentielle prend la forme Le calcul de la force à partir de cette expression donne I’ a

26. x+b b A D I a x B C X Calcul direct de la force Le côté AB du circuit est placé dans l’induction constante La force s’écrit directement On en déduit la force Les deux forces sur BC et DA s’annulent par symétrie. Il reste pour la force totale Expression conforme avec celle trouvée par l’énergie.

27. Pour calculer le moment des forces de rotation du cadre il faut le sortir du plan qu’il faisait avec le fil. Soit donc un axe parallèle au fil, passant au milieu de BC et DA autour duquel le cadre peut tourner. Un dessin vu du dessus n’est pas inutile en complément du dessin en perspective. d D b A C,D c dc a r I I’ d A,B C Dans cette configuration le champ magnétique varie en norme et en direction à la surface du circuit. Suivant la figure et B Nous avons les relations géométriques et Il vient alors

28. Il vient pour le calcul du flux l’expression suivante obtenue en intégrant en c le long du cadre L’énergie potentielle s’écrit Le calcul du moment des forces donne Il est possible de retrouver cette expression par un calcul direct du moment des forces (exercice à faire). Tracé avec : d = 1 et b = 1 W

29. Tracé avec : d = 1 et b = 1.8 W

30. z S C y O x C B-VI Dipôle Magnétique Nous avons vu le dipôle électrique comme une entité physique constituée de deux charges électriques opposées ±q situées à une très courte distance l’une de l’autre. Un dipôle électrique est caractérisé par son moment dipolaire Un dipôle magnétique est schématisé par une petite boucle de courant C parcourue par un courant i, caractérisée par un moment magnétique On montre que l’intégrale de surface est indépendante de la surface qui s’appuie sur C. Considérons l’identité Valable pour toute surface S s’appuyant sur C . Si maintenant nous prenons il est facile de démontrer que Nous obtenons une nouvelle expression du moment magnétique

31. M z y O x i C M’ Potentiel magnétique vecteur Cherchons le potentiel magnétique vecteur créé à grande distance par une boucle de courant de petite dimension, dans les conditions suivantes Par définition Nous pouvons écrire le développement Il vient pour le potentiel magnétique vecteur La première intégrale est nulle puisque sur un parcours fermé Le potentiel magnétique vecteur peut alors s’écrire Considérons l’identité pour toute fonction dérivable f. Dans notre cas nous avons

32. Champ magnétique Nous y avons accès par la relation soit Le rotationnel se calcule au point M, extrémité de , lieu qui ne concerne pas . Utilisons l’identité générale avec Soit puisque Il vient Énergie potentielle d’un dipôle magnétique dans un champ magnétique extérieur. Nous connaissons l’énergie potentielle magnétique d’un circuit parcouru par un courant i, placé dans un champ magnétique extérieur qui produit dans le circuit un flux Ф Dans le cas du dipôle magnétique, de très petite dimension par rapport à l’échelle de grandeur de variation de , ce champ peut être considéré comme pratiquement constant sur la surface du dipôle Soit l’énergie potentielle recherchée M

33. z y O x C M i Action d’un champ magnétique extérieur sur un dipôle magnétique Expression de la force Comme pour un circuit fermé quelconque, la force dans un champ magnétique uniforme est nulle. Pour un champ localement non uniforme Transformons cette expression avec Comme le moment magnétique est un vecteur constant et que en l’absence de densité de courant locale la force prend une forme plus commode Moment des forces en un point O M En transformant les produits vectoriels Pour peu variable sur la petite spire du dipôle la deuxième intégrale donne avec sortie de quasiment constant Nous avons rencontré l’expression dans le calcul de

34. S1 Circuit filiforme 1 C1 I1 M1 M S2 C2 I2 Circuit filiforme 2 M2 B-VI Deux circuits filiformes en interaction B-VI.1 Coefficients d’inductance mutuelle Cherchons à exprimer le flux que le circuit (C1, I1) envoie dans le circuit C2. En un point M de l’espace le champ créé par (C1, I1) est Le flux au travers d’une surface S2 qui s’appuie sur C2 est Soit en combinant les deux expressions Nous voyons que le flux envoyé par le circuit (C1, I1) dans le circuit C2ne dépend électriquement que du courant I1 les autres paramètres étant géométriques. Nous pouvons écrire le coefficient M12 étant l’inductance mutuelle existant entre le circuit C1 et le circuit C2 . Ce coefficient M12 a une forme compliquée Si on cherche à calculer le flux que le circuit (C2, I2) envoie dans le circuit au travers de la surface S1 on trouve une expression équivalente avec W

35. Symétrie des coefficients d’inductance mutuelle (complément) Les formes trouvées pour les coefficients M12 et M21 ne permettent pas de voir directement que M12 = M21 Procédons autrement en utilisant le potentiel magnétique vecteur jusqu’à présent peu mis en œuvre. La potentiel magnétique vecteur créé par le circuit (C1, I1) au point M est Le flux du champ magnétique créé par (C1, I1) au travers de la surface S1 portée par C2 est Soit avec la relation de définition L’introduction de l’expression de dans cette dernière expression donne Une forme symétrique de M12 est déductible de cette formule L’inversion des indices ne souffrant d’aucune difficulté. Hormis les difficultés mathématiques du calcul des coefficients d’inductance mutuelle, la formule de Neumann ci-dessus ne souffre pas de définition de principe. Il n’en va pas de même pour le calcul direct de ce que l’on appelle l’inductance propre d’un circuit, que ce dernier soit filiforme ou pas. Il est malheureux de trouver dans de nombreux ouvrages des définitions erronées qui, voulant faire simple, masquent totalement la réalité des difficultés posées à la mise en équation de l’auto-induction. Nous ne chercherons pas à définir trop hâtivement le fameux coefficient L d’un circuit sachant que son calcul n’a rien de trivial, bien que son usage soit très répandu.

36. I’ b A D I x B C Exemple du fil et du cadre Nous avons trouvé que le flux envoyé par le fil dans le cadre est Soit un coefficient d’inductance mutuelle Le fil étant refermé à l’infini, il est moins évident d’en calculer le flux reçu par le cadre pour prouver la symétrie des coefficients. Il est toutefois possible de retrouver ce résultat moyennant quelques calculs élémentaires mais laborieux (voir le complément qui suit) a

37. c I’ c b D A I I a x B C c Coefficient d’inductance mutuelle entre cadre et fil (complément) Le fil est considéré comme le côté d’un cadre rectangulaire se refermant à l’infini. Avant de passer à l’infini, considérons un grand cadre de côtés c et 2c placé dans le même plan que le cadre ABCD (voir figure). Il est possible de calculer le flux envoyé par le cadre ABCB dans ce grand cadre. Il est facile de se convaincre que le flux du champ créé par les deux segments symétriques BC et DA est nul. Pour les deux autres segments des intégrales classiques donnent avec f(c) = Un passage à la limite c (excellent exercice pour des étudiants de premier cycle) redonne le coefficient d’inductance mutuelle entre le fil et le cadre. Expression dans laquelle e = a/2

38. Courant total I uniformément réparti Rayon a r M B-VII Circuit dans son propre champ L’étude d’un circuit filiforme dans son propre champ n’est pas sans poser problème puisque dans l ’approximation d’un fil de section négligeable, portant un courant fini, le champ créé au voisinage du fil n’est pas défini. D’autre part si le circuit est de section non nulle, il sera impossible de lui associer une surface définie pour y en calculer le flux. Par exemple nous savons que le champ à la distance r d’un fil rectiligne très grand parcouru par un courant I est en norme quantité qui diverge lorsque r tend vers 0. Il est donc nécessaire de considérer des fils de section finie lorsqu’il faut se rapprocher d’eux. B-VII.1 Champ créé par un très grand fil de section finie • Pour r > a l’application du théorème d’Ampère sur un cercle de rayon r, passant par M, et centré sur l’axe du fil, donne directement soit • Pour r < a la même application du théorème d’Ampère Donne soit La variation du champ en fonction de r est donnée sur la courbe suivante

39. B r 0 a Ce calcul est important car il montre que le champ ne diverge pas au voisinage du fil et tend vers zéro au centre du fil.

40. Se pose alors le problème du calcul du flux propre créé par un circuit, non filiforme. Comme il n’est pas possible de définir une surface S qui s’appuie sur ce circuit puisqu’il n’est pas réductible à une seule courbe, nous ne chercherons pas à définir le flux propre à un circuit donné. Nous reviendrons sur cette question par une méthode énergétique pour définir le coefficient d’inductance propre L d’un circuit.