Referent: Christoph Dreesen

1. Finanzmathematik Die immunisierende Eigenschaft der Duration - Duration und ConvexityBonn, 10 Juni 2011 Referent:Christoph Dreesen

2. Gliederung • Exkurs: Zinsänderungsrisiko • Duration als Maß für das Zinsänderungsrisiko • Problemstellung und Zielsetzung • Immunisierungswirkung der Duration • Duration und Konvexität • Übungsaufgaben

3. 1. Exkurs: Zinsänderungsrisiko • Zinsänderungsrisiko im engeren Sinne: Endwertänderungsrisiko, Wiederanlagerisiko Bei einer Änderung des für die Wiederanlage relevanten Marktzinses während der Laufzeit kann ein fixierter, geplanter Endwert bzw. geplante Rendite bis zu einem bestimmten Planungszeitraum nicht erzielt werden. Der Anlageerfolg der ausgeschütteten Zinsen verändert sich entsprechend (=Wiederanlagerisiko). Bezugsbasis für die Bewertung des ZÄR ist ein zukünftiger Zeitpunkt (= endwertoriertierte Betrachtung).

4. 1. Exkurs: Zinsänderungsrisiko (2)Marktwertänderungsrisiko (in der Praxis) Wenn sich der Marktzins verändert , verändert sich der Barwert der Anleihe. Bezugsbasis für die Bewertung des ZÄR ist der gegenwärtige Zeitpunkt (=barwertorientierte Betrachtung). • Marktzinsänderungen wirken sich auf • die zukünftigen Wiederanlagebedingungen (1) • und den gegenwärtigen Kurswert (2) gegenläufig aus.

5. 2. Duration als Maß für das Zinsänderungsrisiko Die Duration bezeichnet denjenigen Zeitraum, den die Zahlungen aus einem Investitions-/Finanzierungsprojekt im gewogenen Durchschnitt bis zum Rückfluss benötigen. „durchschnittliche Kapitalbindungsdauer bspw. eines festverzinslichen Wertpapiers “

6. 2. Duration als Maß für das Zinsänderungsrisiko Exkurs: Prämissen des Durationsmodells: • Es existiert eine flache Zinsstrukturkurve • Es findet (nur) eine einmalige Zinsänderung in t = 0+statt • Dieser Zinssprung bewirkt eine Parallelverschiebung der flachen Zinsstrukturkurve • Investoren haben einen festen Planungshorizont; es werden zwischenzeitlich keine Beträge entnommen • Zwischenzeitliche Zahlungen werden zum Marktzinssatz wieder angelegt • Keine Steuern und Transaktionskosten • Der theoretische Kurs ergibt sich aus dem Barwertkonzept

7. 3. Problemstellung und Zielsetzung Gibt es eventuell eine Zeitspanne/Laufzeit für festverzinsliche Wertpapiere, die - wenn sie als Haltedauer für das Papier interpretiert wird - die genannten unterschiedlichen Effekte aufwiegt/überkompensiert; zu diesem Zeitpunkt dem Wertpapierinhaber also mindestens dasselbe Endvermögen garantiert, als hätte keine Zinsschwankung stattgefunden? Kurz:Kann man ein festverzinsliches Wertpapier oder ein entsprech-endes Wertpapier-Portfeuille gegen Zinsschwankungen (egal in welche Richtung) „immunisieren“?

8. 4. Immunisierungswirkung der Duration Denkbar sind folgende Szenarien bei Veräußerung einer Kuponanleihe während der Restlaufzeit (z.B. T Jahre, (T < n)): • Hat sich der Zinssatz in t = 0+erhöht, so konnten zwar die ersten Kuponzahlungen zu dem höheren Zinssatz angelegt werden; die im Zeitpunkt T noch ausstehenden Zahlungen werden jedoch stärker abgezinst und liefern einen geringeren Barwert. (Z ; Kurs ) • Ist hingegen der Zinssatz in t = 0+gesunken, so konnten zwar die ersten Kupons zu einem geringeren Zinssatz angelegt werden, dafür erzielt der Investor in T für die noch ausstehenden Zahlungen einen höheren Preis, da weniger stark abgezinst werden muss. (Z ; Kurs ) • Gibt es einen optimalen Haltepunkt T, so dass unabhängig von Ausmaß und Richtung der Zinsänderung das Gesamtergebnis WT so ausfällt, als habe es überhaupt keine Zinssatzänderung gegeben?

9. 4. Immunisierungswirkung der Duration Betrachten wir dazu ein Beispiel: Der Zeitwert WTder Anleiheim Zeitpunkt T ist eine Funktion WT(q) des Zinsfaktors q = (1 + i) im betrachteten Zeitraum: WT(q) = (10q-1+10q-2+110q-3)*qT = 10*(q-1+q-2+11q-3)*q2,75

10. 4. Immunisierungswirkung der Duration Stellt man die vorgenannte Funktion grafisch dar, ergibt sich folgendes Bild: • Zeitwert WThat ein Minimum an der Stelle q = 1,0575 • für das Marktzinsniveau 5,75% p.a. ist der Gesamtwert WT der Anleihe in t = T =2,75 minimal • Ist der Zinssatz mit 5,75% p.a. als geplanter, noch nicht geän- derter Marktzins vorgegeben, so führt jeder andere Zinssatz in T = 2,75 zu einem höheren Gesamtwert als geplant • „Immunisierung“

11. 4. Immunisierungswirkung der Duration Wir können das Beispiel verallgemeinern: A priori errechnet der Investor sein Gesamtvermögen WTnach Ablauf seiner individuell geplanten Haltedauer T (d.h. im Zeitpunkt T) als (auf- bzw. abgezinster) Zeitwert sämtlicher Zahlungen aus der Anleihe.

12. 4. Immunisierungswirkung der Duration Um das Minimum zu erreichen wendet man die entsprechende notwendige Extremalbedingung W‘T(q) = 0 der Differentialrechnung an: !

13. 4. Immunisierungswirkung der Duration Ergebnis = Immunisierende Eigenschaft der Duration • Wenn die Haltedauer T mit der Duration der Anleihe übereinstimmt, dann ist der (mit dem ursprünglichen Marktzinsfaktor q ermittelte) Zeitwert WT(q) der Anleihe kleiner als für jeden anderen Marktzins. • Angenommen der Investor plane eine Haltedauer genau in der Höhe der Duration, dann führt jede Zinsschwankung (t = 0+) zu einem höheren Gesamtzeitwert W (q*) der Anleihe in T = D, als hätte keine Zinsänderung stattgefunden - die ursprünglich geplante Rendite i ist daher die Mindestrendite, die der Investor im Zeitpunkt T realisieren kann.

14. 4. Immunisierungswirkung der Duration • Wie gezeigt („Exkurs: Zinsänderungsrisiko“), wirken sich Zinsänderungen auf Endwert und Barwert gegenläufig aus • Die Duration beschreibt daher den Zeitpunkt, in dem sich die beiden Effekte vollständig kompensieren. • Sie gibt an, wann der Wert einer Anleihe gegen Zinsänderungen „immun“ ist • Eine Haltedauer T in Höhe der Macauly-Duration D führt also zur Immunisierung des Anleihewertes WT(q) gegenüber Zinssatzschwankungen (in t = 0+)

15. 4. Immunisierungswirkung der Duration

16. 4. Immunisierungswirkung der Duration Immunisierende Eigenschaft der Duration für ein Wertpapierportfolio • Berechnung der Duration für jedes Wertpapier im Portfolio • Gewichtung der Duration mit dem Anteil des entsprechenden Wertpapiers • Summe der gewichteten Einzeldurationen ergibt die Duration des Portfolios

17. 4. Immunisierungswirkung der Duration Allgemeiner Beweis für zwei beliebige Wertpapiere A1 und A2: (1) (2)

18. 4. Immunisierungswirkung der Duration Allgemeiner Beweis für zwei beliebige Wertpapiere A1 und A2: (3) • Für mehr als zwei Papiere verläuft der Beweis analog

19. 4. Immunisierungswirkung der Duration Für den Investor eines Wertpapierportfolios lassen sich somit insbesondere folgende zwei Fragestellungen beantworten: (1) Mit der Investition von C0 [€] soll in t = 0 ein WP-Portfolio aufgebaut werden. Der Investor habe eine Planungshorizont von T Jahren. Also wird er - um gegen Zinsänderungsschwankungen geschützt zu sein - aus den am Markt vorhandenen Anleihen im Rahmen seines Budgets eine Auswahl treffen, dass die Gesamtduration DP des Portfolios genau seinem Planungshorizont T entspricht. (2) Der Investor besitze bereits in t = 0 ein aus verschiedenen Wertpapieren bestehendes Portfolio. Wie lange soll er an diesem Portfolio festhalten, um gegen Zinsänderungen geschützt zu sein? Lösung durch Ermittlung der Gesamtduration DP seines Portfolios und Anpassung des Anlagehorizonts T = DP

20. 5. Duration und Konvexität • Die Duration D bzw. die modifizierte Duration MD kann als Maß für die Zinssensivität des Anleihekurses verwendet werden • Die Anwendung der MD ermöglicht eine einfache Annäherung der Kursschwankungen einzelner Titel oder ganzer Portfolios für verschiedene Marktzinsänderungen nach der Formel: • „Convexity-Problem“: D bzw. MD unterstellt einen linearen Zusammenhang zwischen Anleihekurs C0 und Marktzins i. Tatsächlich ist die Funktion C0(i) jedoch nichtlinear,sondern linksgekrümmt (konvex)!

21. 5. Duration und Konvexität

22. 5. Duration und Konvexität • Folgen von Marktzinserhöhungen werden überschätzt; von Marktzins-senkungen unterschätzt • Der Investor steht immer besser dar, als es die Duration anzeigt (unter dem Aspekt der vorsichtigen Bewertung kann dies auch positiv gesehen werden) • Aber: Aufgrund der Konvexität entsteht ein Fehler, der umso größer ist, je größer die Zinsänderung ausfällt • Alternative zur Reduzierung des „Schätzfehlers“ durch nichtlineare Näherungen, bspw. durch quadratische Approximationen: • An Stelle i0 soll - als „Näherungsersatz“ für die Originalfunktion C0(i) - ein quadratisches Näherungs-Polynom C0N (i) (Funktion zweiten Grades) erzeugt werden, das die Originalfunktion besonders gut approximiert.

23. 5. Duration und Konvexität • Ein quadratisches Polynom C0N (i) stellt - in der Umgebung einer ausgewählten Stelle i0 - eine besonders gute Näherung für die Originalfunktion C0(i) dar, wenn an der Stelle i0 gilt: • C0N (i) hat die allgemeine Form: C0N (i) = a + bi + ci². Da für uns die Stelle i0 bedeutsam ist, verwenden wir zweckmäßigerweise anstelle von i die Differenz i – i0, so dass das Näherungspolynom C0N (i) lautet:

24. 5. Duration und Konvexität (1) (2)

25. 5. Duration und Konvexität (3)

26. 5. Duration und Konvexität Herleitung der Konvexität: (1) 1. Ableitung (2) 2. Ableitung (3) (4)

27. 6. Übungsaufgaben Beispiele 7.3.10 - 7.3.12; 7.4.12

28. Quellen • Doerks, W./ Hübner, S.: Portfoliomanagement, Konvexität festverzinslicher Wertpapiere, in: Die Bank 2/93, S. 102-105 • Steiner, P./ Uhlir, H.:Wertpapieranalyse, 4. Auflage, Heidelberg 2001 • Süchtig, J.: Finanzmanagement: Theorie und Politik der Unternehmensfinanzierung, 6. Auflage, Wiesbaden 1995 • Tietze, J.: Einführung in die Finanzmathematik, 9. Auflage, Wiesbaden 2009

29. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!