La symétrie

1. La symétrie

2. La symétrie

3. LAVAL

4. LAVAL

5. SHINZOX

6. SHINZOX

7. ININI

8. ININI

9. ININI

10. ININI

11. andin basnoda a une epouse qui pue

12. andin basnoda a une epouse qui pue

13. and inb asnoda aun e epouseq uipue Georges Pérec

14. b dp q

15. b dp q

16. b dp q

17. Définitions • Symétrie (symmetry): • Du grec (sun) "avec" (metron) "mesure" • Même étymologie que "commensurable" • Jusqu'au mi-XIXe : symétrie "gauche-droite" • Transformation, Groupe • Évariste Galois 1831, 1846. Symétrie : Propriété d'invariance d'un objet sous une transformation de l'espace.

18. Définitions Symétrique : Invariant par au moins deux transformations de l'espace. Asymétrique : Invariant par une transformation de l'espace. Dissymétrique…

19. Transformation • Bijection (d’une partie) d’un ensemble géométrique dans lui-même M f(M)=M’ • Transformation affine : deux points (P,P’) et O linéaire f(M) = P’ + O(PM) P’ P P f : positions O : vecteurs

20. Transformation affine Conserve droites, plans, parallélisme • Translation : O identité • Homothétie : O(PM)=k.PM • Affinité : Homothétie une direction • Isométrie : Conserve les distances • Similitude : Conserve les rapports P’ P P P P P P P P P P

21. Translation • Réseaux périodiques infinis

22. Homothétie • Objets auto-similaires • Fractals infinis

23. Similitude • -> q+q’ r -> re-bq’ e-bq’ q’ Fractals infinis Spirale logarithmique (r=aebq)

24. Les isométries f(M) = P’ + O(PM) • Isométrie ||O(u)||=||u|| • Deux types d’opération de symétrie : • Symétries de position : f(M) • Agissent sur de points. • Propriétés microscopiques des cristaux (structure électronique) • Symétries d’orientation O(PM) • Agissent sur des vecteurs (directions) • Propriétés macroscopiques des cristaux (fonctions de réponse) • Hélice de pas P • (a, Pa /2p) • Translation • Rotations • Réflexions 60° E ? • Rotations • Réflexions

25. Symétrie d’orientation - 2D • Transformation linéaire • ||O(u)|| = ||u|| • Dans le plan (2D) • Symétries orthogonales • (réflexions par rapport à une droite) • Rotations q q/2 • Déterminant -1 • Valeurs propres -1, 1 • Déterminant +1 • Valeurs propres eiq, e-iq

26. Symétrie d’orientation - 3D • ||O(u)|| = |l| ||u|| • Valeurs propres |l | = 1 • l : équation 3edegré à coefficients réels • ±1, eiq, e-iq (dét. = ± 1) • Dans l’espace (3D) : • dét. = -1 • Symétrie indirectes • dét. = 1 • Symétrie directes Rotations Réflexions rotatoires a) Rotation d’angle q b) Réflexion rotatoire q q q c) Inversion (p) d) Inversion rotatoire (p+q ) c) Réflexion (0) q

27. Projection stéréographique • Représentation des directions • Conservation des angles sur la sphère N N Direction OM M O P’ P P’ M’ P P, projection de OM : Intersection de SM et l’équateur S • Transformation conforme (conserve les angles) mais pas affine

28. Les opérations de symétrie principales • Conventionnellement • Rotations (An) • Réflexions (M) • L’inversion (C) • Inversions rotatoires (An) • Directes • Rotation An d’ordre n (2p/n) • Représentée par un polygone de même sym. _ . . . . . . . . . . . . . . . A2 vertical A2 horizontal A5 A3 A4 • Indirectes • Réflexions rotatoires (An) • Réflexion (M) • Inversion (C) • Inversions rotatoires (An) ~ • Élément de symétrie • Ensemble des points invariants _ . . . . . . . . . M horizontal M vertical M de biais A4 Inversion

29. Composition de symétries AN2 AN3 AN1 p/N2 p/N1 • Produit de deux réflexions faisant un angle a = rotation 2a M 2a M’M=A M’ a • Construction d’Euler • Produit de deux rotations • = rotation AN2AN1=AN3 • Ne donne pas de relations entre N1, N2 et N3

30. Les groupes ponctuels : définition • L’ensembles des éléments de symétrie d’un objet • muni de la loi de composition des symétries • possède une structure de groupe G • Si A et B à G, AB à G (ensemble est fermé) • La loi produit est associative (AB)C=A(BC) • Il existe un élément neutre E (rotation d ’ordre 1) • Chaque élément A à un inverse A-1 • Pas de commutativité en général (rotation 3D) 1 2  2 1 • Exemple groupe de symétrie d’une table rectangulaire 2mm Mx My A2 2mm • Multiplicité du groupe : nombre d’éléments

31. Composition de rotations Contraintes : AN2 AN3 AN1 p/N2 p/N1 234 Triangle sphérique, vérifie l’inégalité : 22N (N qcq), 233, 234, 235 Groupes diédraux Groupes multiaxiaux

32. Les groupes ponctuels ... Orthorhombique Groupes limites Monoclinique de Curie Triclinique Tétragonal Hexagonal Trigonal Cubique • Classés par • degré de symétrie • Groupes limites de Curie • Chiraux, propres • Impropres • Centrosymétriques A n ¥ 1 2 3 4 6 A A n 2 222 32 422 622 ¥ 2 _ A n _ _ _ _ _ 1 2=m 3 4 6=3/m ¥ A /M /m n 2/m 4/m 6/m A M n 2mm 3m 4mm 6mm ¥ m _ A M n _ _ _ _ _ 3m 42m (4m2) 62m (6m2) ¥ /mm A /MM’ n mmm 4/ mmm 6/ mmm A A n n’ 23 432 ¥ ¥ _ A A n n’ _ _ _ ¥ ¥ m3 43m m3m /m /m

33. Les groupes multiaxiaux 532 23 432 _ _ _ _ _ m3 43m m3m 53m Icosaèdre Tétraèdre Octaèdre Cube Dodécaèdre

34. Groupes ponctuels : Notations • Hermann-Mauguin • (Notations internationales) • Donne les éléments générateurs du groupe (pas le mini.) • Notion de direction de symétrie • Direction d’une réflexion ( _ ) : normale au plan de réflexion Direction primaire : de plus haute symétrie Direction secondaire : de degré inférieur 422 4 Notation réduite m m m m m m Direction tertiaire : de degré inférieur • Schönflies : Cn, Dn, Dnh

35. Les 7 groupes limites de Pierre Curie ¥ ¥ 2 ¥ /m ¥ m ¥ /mm ¥ ¥ ¥ ¥ /m /m Cône tournant Vecteur axial + polaire Cylindre tordu Tenseur axial d’ordre 2 Cylindre tournant Vecteur axial (H) Cône Vecteur polaire (E, F) Cylindre Tenseur polaire d’ordre 2 (susceptibilité) Sphère tournante Scalaire axial (chiralité) Sphère Scalaire polaire (pression, masse)