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Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas. Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas. Objetivo Definições Cálculo do teste Exemplo Comentários Bibliografia. Objetivo.
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Evidência e Credibilidade:Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas
Evidência e Credibilidade:Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas • Objetivo • Definições • Cálculo do teste • Exemplo • Comentários • Bibliografia
Objetivo • Apresentar uma medida de evidência bayesiana (bayesiana porque trabalha com priores e posteriores) para hipótese nula precisa. • A intenção é dar uma alternativa bayesiana para testes de significância.
Definições • Hipóteses precisas: Temos uma hipótese precisa quando Ho (que chamamos de hipótes nula) apresenta um valor fixo. Exemplo: Ho : = 0.3 vsH1:0.3 , (onde representa a média de uma população) • P-valor: medida de evidência dos dados ,dado que a hipótese nula é verdadeira • Probabilidade posteriori: probabilidade condicional de (parâmetro da distribuição) depois que observamos os dados .
Definições • Fator de Bayes: O fator de Bayes consiste na divisão entre a razão das densidades posteriores de 0 e 1 pela razão das priores 0 e 1 .Essa medida é usada em favor da hipótese nula, como veremos abaixo: B= (0/x)/(1/x) 0 / 1
Definições • Confiabilidade de um conjunto: Seja C um subconjunto de tal que, C= : (/x) K(),onde K() é a maior constante tal que, P(C/x) 1- P(C/x)= c (/x)d ,caso contínuo e = (/x) , caso discreto C P(C/x) é a medida de confiabilidade do conjunto C.
Definições • Medida de evidência bayesiana - Ev (H) É uma medida de evidência dos dados a favor da hipótese nula, ou seja, quanto podemos acreditar que a hipótese nula proposta pelo teste é verdadeira. Ev (H)=1 – K*
Cálculo de Ev (H) • Definimos o teste de hipótese: Ho : = 0vs H1: 0 , 0Rn, - representa a média de uma população X - espaço paramétrico • Observamos uma amostra aleátoria de tamanho n da população X = (x1 , x2 ,...... , xn ) • Consideramos como uma variável aleatória e definimos uma priori para que chamamos de 0
Cálculo de Ev (H) • Depois de observar os dados calculamos a função densidade posteriori , (/x).Discutiremos nesse trabalho testes de hipótese precisa sob absoluta continuidade do modelo de probabilidade posteriore. • Definimos um conjunto Tcomo sendo um subconjunto do espaço paramétrico,cuja a densidade posteriori é maior que .
Cálculo de Ev (H) • Calculamos a confiabilidade de T : K*= T(/x), (integramos em todo cuja posteriore é maior que ) • Calculamos f* (f*=f(*) ) que é o máximo da densidade posteriore sob a hipótese nula, ou seja, encontramos o * que maximiza a posteriore de , o valor f* será o definido anteriormente.
Cálculo de Ev (H) • Temos então o nosso Tcomo o conjunto tangente à hipótese nula,cuja confiabilidade é K*, ou seja , temos o conjunto dos ’s, cuja posteriore é maior que f*= . • Calculamos Ev (H)=1- K* e podemos concluir que : se temos T com alta probabilidade, significa uma baixa probabilidade para a região da hipótese nula.
Cálculo computacional de Ev (H) • Calculamos a medida de evidência em dois passos: 1. Calculamos * que maximiza a posteriori sob a hipótese nula . 2. Calculamos K*= (/x) , onde (/x) é igual a zero para todo , cuja (/x) f(*) ou .
Exemplo Mostraremos um teste de proporção: Seja uma variável aleatória X com distribuição binomial (20,) , seja “S” o número de sucessos observados. O espaço paramétrico será = 0 1 Usaremos como priori Pr =p=0.5 e a densidade Uniforme para sob a hipótese alternativa. Teste : H0: = 0.5 vs H1: 0.5 Avaliaremos a medida de evidência apresentada no trabalho, o fator de Bayes, p-valor e PP(probabilidade posteriori de H0)
Exemplo Tabela de resultados:
Comentários • A Medida de evidência em relação a Hipótese nula Ev(H) traz • grandes vantagens por ter ser cálculo baseado nos dados da • amostra, ou seja, dados observados, porém devemos levar em • consideração a definição da priori dos parâmetros que deve ser • adequada. • O p-valor tem a restrição de supor que a hipótese nula é • verdadeira e não temos garantias para esta suposição.
Comentários • O valor da probailidade posteriori está diretamente ligada a • priori definida para o parâmetro, tendo como vantagem ser uma • medida calculada depois de observar os dados. • O fator de Bayes quando definimos uma priori igual a 1 pode ser • considerada como uma razão de verossimilhanças que é bem aceito • pela teoria frequentista,caso contrário precisamos definir prioris • adequadas.
Bibliografia • James O. Berger: Statistical Decision Theory and Bayesian • Analysis. • Carlos alberto de Bragança Pereira and Julio Michael Ster: • Evidence and Credibility-Full Bayesian Significance Test for • Precise. • José M Bernardo and Raúl Rueda: Hypotheses Bayesian Hypothesis • testing.