Evidência e Credibilidade: Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas

1. Evidência e Credibilidade:Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas

2. Evidência e Credibilidade:Teste Bayesiano de significância para Hipóteses precisas • Objetivo • Definições • Cálculo do teste • Exemplo • Comentários • Bibliografia

3. Objetivo • Apresentar uma medida de evidência bayesiana (bayesiana porque trabalha com priores e posteriores) para hipótese nula precisa. • A intenção é dar uma alternativa bayesiana para testes de significância.

4. Definições • Hipóteses precisas: Temos uma hipótese precisa quando Ho (que chamamos de hipótes nula) apresenta um valor fixo. Exemplo: Ho : = 0.3 vsH1:0.3 , (onde  representa a média de uma população) • P-valor: medida de evidência dos dados ,dado que a hipótese nula é verdadeira • Probabilidade posteriori: probabilidade condicional de  (parâmetro da distribuição) depois que observamos os dados .

5. Definições • Fator de Bayes: O fator de Bayes consiste na divisão entre a razão das densidades posteriores de 0 e 1 pela razão das priores 0 e 1 .Essa medida é usada em favor da hipótese nula, como veremos abaixo: B= (0/x)/(1/x) 0 / 1

6. Definições • Confiabilidade de um conjunto: Seja C um subconjunto de  tal que, C=    : (/x)  K(),onde K() é a maior constante tal que, P(C/x)  1-  P(C/x)= c (/x)d ,caso contínuo e =  (/x) , caso discreto C P(C/x) é a medida de confiabilidade do conjunto C.

7. Definições • Medida de evidência bayesiana - Ev (H) É uma medida de evidência dos dados a favor da hipótese nula, ou seja, quanto podemos acreditar que a hipótese nula proposta pelo teste é verdadeira. Ev (H)=1 – K*

8. Cálculo de Ev (H) • Definimos o teste de hipótese: Ho : = 0vs H1: 0 , 0Rn,  - representa a média de uma população X  - espaço paramétrico • Observamos uma amostra aleátoria de tamanho n da população X = (x1 , x2 ,...... , xn ) • Consideramos como uma variável aleatória e definimos uma priori para que chamamos de 0

9. Cálculo de Ev (H) • Depois de observar os dados calculamos a função densidade posteriori , (/x).Discutiremos nesse trabalho testes de hipótese precisa sob absoluta continuidade do modelo de probabilidade posteriore. • Definimos um conjunto Tcomo sendo um subconjunto do espaço paramétrico,cuja a densidade posteriori é maior que .

10. Cálculo de Ev (H) • Calculamos a confiabilidade de T : K*= T(/x), (integramos em todo  cuja posteriore é maior que ) • Calculamos f* (f*=f(*) ) que é o máximo da densidade posteriore sob a hipótese nula, ou seja, encontramos o * que maximiza a posteriore de , o valor f* será o  definido anteriormente.

11. Cálculo de Ev (H) • Temos então o nosso Tcomo o conjunto tangente à hipótese nula,cuja confiabilidade é K*, ou seja , temos o conjunto dos ’s, cuja posteriore é maior que f*=  . • Calculamos Ev (H)=1- K* e podemos concluir que : se temos T com alta probabilidade, significa uma baixa probabilidade para a região da hipótese nula.

12. Cálculo computacional de Ev (H) • Calculamos a medida de evidência em dois passos: 1. Calculamos * que maximiza a posteriori sob a hipótese nula . 2. Calculamos K*= (/x) , onde (/x) é igual a zero para todo , cuja (/x)  f(*) ou .

13. Exemplo Mostraremos um teste de proporção: Seja uma variável aleatória X com distribuição binomial (20,) , seja “S” o número de sucessos observados. O espaço paramétrico será  = 0    1 Usaremos como priori Pr =p=0.5 e a densidade Uniforme para sob a hipótese alternativa. Teste : H0:  = 0.5 vs H1:   0.5 Avaliaremos a medida de evidência apresentada no trabalho, o fator de Bayes, p-valor e PP(probabilidade posteriori de H0)

14. Exemplo Tabela de resultados:

15. Comentários • A Medida de evidência em relação a Hipótese nula Ev(H) traz • grandes vantagens por ter ser cálculo baseado nos dados da • amostra, ou seja, dados observados, porém devemos levar em • consideração a definição da priori dos parâmetros que deve ser • adequada. • O p-valor tem a restrição de supor que a hipótese nula é • verdadeira e não temos garantias para esta suposição.

16. Comentários • O valor da probailidade posteriori está diretamente ligada a • priori definida para o parâmetro, tendo como vantagem ser uma • medida calculada depois de observar os dados. • O fator de Bayes quando definimos uma priori igual a 1 pode ser • considerada como uma razão de verossimilhanças que é bem aceito • pela teoria frequentista,caso contrário precisamos definir prioris • adequadas.

17. Bibliografia • James O. Berger: Statistical Decision Theory and Bayesian • Analysis. • Carlos alberto de Bragança Pereira and Julio Michael Ster: • Evidence and Credibility-Full Bayesian Significance Test for • Precise. • José M Bernardo and Raúl Rueda: Hypotheses Bayesian Hypothesis • testing.