CECHY PODZIELNOŚCI LICZB NATURALNYCH

1. CECHY PODZIELNOŚCI LICZBNATURALNYCH

2. Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej cyfra w rzędzie jedności jest parzysta. Podzielność przez 2 Przykład: • 145741290:2=72870645wynika z tego, że liczba 145741290 jest podzielna przez 2. • 167448783:2=83724391,5 czyli liczba 167448783 nie dzieli się bez reszty przez 2.

3. Podzielność przez 3 Dana jest liczba 1946 Budujemy sumę cyfr S tej liczby: 4 6 20 S = 1 + 9 + + = Dzielimy powyższą sumę S przez 3 : 20 3 = 6 reszta 2 Jeśli podzielimy daną liczbę 1946 przez 3, to otrzymamy: 1946 : 3 = 648 reszta 2 Liczba 1946 nie jest podzielna przez 3, bo reszta z dzielenia jest różna od zera. Przeanalizujemy kolejny przykład:

4. Podzielność przez 3 c.d. Weźmy liczbę 2691 Tym razem suma cyfr S tej liczby wynosi: 9 1 18 S = 2 + 6 + + = Iloraz sumy S przez 3 jest równy: : 18 3 = 6 reszta 0 Dzieląc daną liczbę 2691 przez 3, otrzymamy: 2691 : 3 = 897 reszta 0 Liczba 2691 jest podzielna przez 3, bo reszta z dzielenia jest równa zero. Łatwo zauważyć w powyższych przykładach, że...

5. Podzielność przez 3 c.d. ... podzielność przez 3 jest ściśle związana z sumą cyfr danej liczby. • Czy liczba 987 897 789 jest podzielna przez 3? Obliczamy sumę cyfr S = 9 + 8 + 7 + 8 + 9 + 7 + 7 + 8 + 9 = =3 . 9 + 3 . 8 + 3 . 7=3 . (9+8+7).Znaczy to, że liczba 987 897 789 jest podzielna przez 3. • Czy liczba 12 345 678 910 111 213 141 516 jest podzielna przez 3? Suma cyfr wynosi 73. Z kolei suma cyfr liczby 73 wynosi 10 i nie jest liczbą podzielną przez 3, więc 73 nie jest podzielne przez 3. Stąd wyjściowa liczba nie jest podzielna przez 3.

6. Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3. Podzielność liczb przez 3 - podsumowanie Przykład:14363853 : 3 = ? Wniosek: Liczba 14363853 jest podzielna przez 3.Można sprawdzić, np. przy użyciu kalkulatora, że wynikiem tego dzielenia jest liczba 4787951.

7. Podzielność przez 9 Tak samo, jak z podzielnością przez 3 będzie z podzielnością przez 9! Przez 9 są podzielne liczby, których suma cyfr dzieli się bez reszty przez 9. • Przykłady: • Liczba 8784 jest podzielna przez 9, bo suma jej cyfr wynosi 8+7+8+4=27, a 27 dzieli się bez reszty przez 9. • Liczba 17213 nie jest podzielna 9, bo suma jej cyfr 1+7+2+1+3=14, a 14 nie jest podzielna przez 9.

8. Podzielność przez 4 Liczbę 731, gdzie  jest jej cyfrą dziesiątek, a  cyfrą jedności, można zapisać w postaci: 7.104 + 3.103 + 1.102+ .10+  Podkreślone składniki są podzielne przez 4. Aby liczba 731 była podzielna przez 4 suma .10+ , tzn. liczba utworzona z cyfr dziesiątek i jedności naszej liczby, musi być podzielna przez 4. Na przykład: Liczba 73120 jest podzielna przez 4, bo 20 jest podzielne przez 4; Liczba 73118 nie jest podzielna przez 4, bo 18 nie jest podzielne przez 4.

9. Podzielność przez 4 c.d. Liczba jest podzielna przez 4, jeżeliliczba utworzona z jej cyfrdziesiątek i jedności jest podzielna przez 4. Ponieważ 2 . 2 = 4, więc liczba podzielna przez 4 jest również podzielna przez 2. Czy liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 4? Nie musi być! Na przykład 6 jest podzielne przez 2, A nie jest podzielne przez 4. A czy liczba podzielna przez 10 jest podzielna przez 4? Może być podzielna, jak liczba 40. Ale nie musi, jak 30. Ale liczba podzielna przez 100, jest też podzielna przez 4!

10. Podzielność przez 5 Oto kilka wielokrotności liczby 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70,... 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70,... 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70,... Przez 5 podzielne są liczby, które w rzędzie jedności mają0 lub 5.

11. Podzielność przez 25 Przykład: 7.104 + 3.103 + 1.102+ .10+  Podkreślone składniki danej liczby są podzielne przez 25. Liczba 731 jest podzielna przez 25, gdy liczba utworzonaz jej cyfr dziesiątek i jedności jest podzielnaprzez 25.Oznacza to, że dwie ostatnie cyfry liczbypodzielnej przez 25 tworzą liczbę 25,lub 50, lub 75, lub są zerami. Liczba jest podzielna przez 25, jeżeli jejcyfry dziesiątek i jedności tworzą liczbę podzielną przez 25 lub są zerami.

12. Podzielność przez 100 Liczby podzielne przez 100 łatwo rozpoznać! Cyfry dziesiątek i jedności w takiej liczbie są zerami. Liczba jest podzielna przez 100, gdy dwie ostatnie cyfry tej liczby są zerami. SPRAWDŹ SIĘ ! • Szukamy najmniejszej liczby, która jest jednocześnie podzielna przez 2, 5, 10 i przez 100. Czy już wiesz, co to za liczba? • Znajdź taką liczbę, która jest podzielna przez 2 i przez 10, ale nie jest podzielna ani przez 100, ani przez 5. Czy to trudne zadanie? 

13. Podzielność przez 10 Liczbę 4876, gdzie  oznacza pewną cyfrę, można przedstawić w postaci sumy: 4 . 104 + 8 . 103 + 7 . 102 + 6 . 10 +  Każdy z podkreślonych składników jest podzielny przez 10. Aby więc liczba 4876 była podzielna przez 10, musi być podzielna przez 10 liczba oznaczona , co jest możliwe tylko wtedy, gdy znak  oznacza cyfrę 0.

14. Podzielność przez 10 c.d. Przez 10 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają zero. Gdy mam napisać liczbę podzielną przez 10, to w rzędzie jedności piszę zero! Jeżeli liczba ma w rzędzie jedności zero, to musi być podzielna przez 10.

15. Podzielność przez 10 c.d. Bez wykonywania działań sprawdź, czy liczba 17 . 31 + 288 . 81 + 7 . 35 jest podzielna przez 10. Czy prawdą jest, że : • Liczba, która w rzędzie jedności ma 5, nie jest podzielna przez 10? • Liczba, która nie jest podzielna przez 10, • ma w rzędzie jedności 5? • Liczba, która w rzędzie jedności ma zero • jest podzielna przez 10? • Liczba, która jest podzielna przez dziesięć • ma w rzędzie jedności zero?

16. Podzielność przez 6,12,15, itp. Znamy już cechy podzielności przez 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 i 100. Zastanówmy się, czy istnieje sposób na sprawdzenie, czy dana liczba dzieli się przez 6? Ponieważ 6 = 2 . 3, więc liczba podzielna przez 6 jest też podzielna przez 2 i przez 3. Jeżeli stwierdzimy, że liczba dzieli się jednocześnie bez reszty przez 2 i przez 3, to możemy być pewni, że dzieli się też przez 6.

17. Podzielność przez 6,12,15 c.d. Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest podzielna jednocześnie przez 2 i przez 3. Podobnie będzie z podzielnością przez 12, bo 12 = 3 . 4 oraz przez 15, bo 15 = 3 . 5.

18. Podzielność przez 6,12,15 c.d. Liczba jest podzielna przez 12, jeżeli jest podzielna jednocześnie przez 3 i przez 4. Liczba jest podzielna przez 15, jeżeli jest podzielna jednocześnie przez 3 i przez 5. Wiemy, że 12 = 2 . 6. Czy prawdziwe jest zdanie:”Liczba dzieli się przez 12, jeżeli dzieli się równocześnie przez 2 i przez 6”? Nie! Bo na przykład liczba 18 dzieli się przez 2 i przez 6, a nie dzieli się przez 12!

19. Liczba Szeherezady (1001) Liczba Szeherezady widnieje w tytule jej nieśmiertelnych bajek: „Z tysiąca i jednej nocy”. „Tysiąc i jedna noc” (Kitab alf lajla wa-laj-la) to popularny w świecie zbiór bajek i podań ludowych. Są to opowieści o królu Szahrijarze i wróżce Szeherezadzie, jej bohaterami są też Aladyn, Ali Baba, Sindbad Żeglarz. Księga ta zawiera ciekawe opowieści o demonach i złych duchach, czarodziejskich talizmanach i przedmiotach (latający dywan), rycerzach, zbójcach i miłości.

20. Własności liczby 1001 Liczba 1001 ma bardzo ciekawe własności: • Jest najmniejszą, czterocyfrową liczbą naturalną, którą można przedstawić w postaci sumy sześcianów dwóch liczb naturalnych (1001 = 103 + 13); • Składa się z 77 feralnych trzynastek; • Składa się ze 143 siódemek; • Składa się z 91 jedenastek; • Jest iloczynem trzech kolejnych liczb pierwszych 1001 = 7 . 11 . 13. Na własnościach liczby 1001 oparty jest sposób badania podzielności liczb przez 7, 11, 13.

21. Podzielność przez 7,11 i 13 Czy liczba 348285 jest podzielna przez 7? 348285 = 348 . 1000 + 348 + 285 – 348 = 348 . 1001 – (348 – 285) Podkreślony składnik jest podzielny przez 7. Musimy tylko sprawdzić, czy różnica 348 – 285 jest podzielna przez 7. 348 – 285 = 63 = 7 . 9, więc liczba 348285,jako suma liczb podzielnych przez 7, jest podzielna przez 7. Aby sprawdzić, czy dana liczba jest podzielna przez 7, należy od tej liczby bez trzech ostatnich cyfr odjąć liczbę utworzoną przez trzy ostatnie cyfry. Jeżeli ta różnica jest podzielna przez 7, to dana liczba dzieli się przez 7.

22. Podzielność przez 7,11 i 13 c.d. W ten sam sposób możemy sprawdzić podzielność przez 11 i 13. Wystarczy, aby badana różnica była podzielna odpowiednio przez 11 lub przez 13. Aby sprawdzić, czy dana liczba jest podzielna przez 11 (przez 13) należy od tej liczby bez trzech ostatnich cyfr odjąć liczbę utworzoną przez trzy ostatnie cyfry. Jeżeli ta różnica jest podzielna przez 11 (przez 13), to dana liczba jest podzielna przez 11 (przez 13).

23. Podzielność przez 11(inna cecha) Czy liczba 28258527 jest podzielna przez 11? Biorąc do ręki kalkulator łatwo sprawdzić, że liczba: 28258527 jest podzielna przez 11. : = 28258527 11 2568957

24. Podzielność przez 11 c.d. Bez użycia kalkulatora podzielność liczby 2 8 2 5 8 5 2 7 możemy sprawdzić w następujący sposób: Budujemy sumę S1 z cyfr danej liczby, stojących na miejscach nieparzystych licząc od cyfry jedności, czyli: 7 + 5 + 5 + 8 = 25 S1= W analogiczny sposób tworzymy sumę S2 z cyfr stojących na miejscach parzystych licząc od cyfry dziesiątek, czyli: 2 + 8 + 2 + 2 = 14 S2 =

25. Podzielność przez 11 c.d. Jeżeli różnica sum S1 i S2 jest podzielna przez 11, to dana liczba jest podzielna przez 11. Ponieważ w rozpatrywanym przypadku S1=25 i S2=14, więc różnica S1 - S2 = 25 – 14 = 11 jest podzielna przez 11.

26. Rozkład liczby na czynniki pierwsze

27. Czynnik pierwszy danej liczby naturalnej złożonej, to dowolna liczba pierwsza, która dzieli tę liczbę. Jedna z podstawowych obserwacji dotyczących liczb naturalnych mówi, że każdą liczbę złożoną można przedstawić za pomocą iloczynu liczb pierwszych, czyli rozłożyć na czynniki pierwsze. To wiedział już Euklides w IV w. p. n. e., który w słynnym dziele Elementy w księdze IX stwierdza, że każdą liczbę można jednoznacznie przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych.

28. Każda liczba naturalna (n > 1) jest albo liczbą pierwszą albo iloczynem liczb pierwszych.

29. Każdą liczbę zatem można jednoznacznie zapisać za pomocą iloczynu liczb pierwszych, a kolejność zapisu tych liczb nie ma znaczenia. Zasada Euklidesa mówi, że liczba pierwsza dzieli iloczyn liczb tylko wtedy, gdy dzieli przynajmniej jedną z nich. Wynika z niej, że liczba nie może mieć dwóch różnych rozkładów na iloczyn liczb pierwszych.

30. Elementarnym sposobem rozkładu liczb na czynniki pierwsze jest kolejne dzielenie. Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę i dzielimy. Powstały iloraz jest nową liczbą, dla której szukamy następną liczbę pierwszą ją dzielącą i powtarzamy tą czynność aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby.

31. Przykład Rozłożymy na czynniki pierwsze liczbę 56. Szukamy najmniejszej liczby pierwszej dzielącej daną liczbę (56). Jest to 2. Dzielimy: 56 przez 2 = 28. Powtarzamy tę czynność dla kolejnych wyników aż do uzyskania w ilorazie liczby 1. Otrzymujemy wówczas wszystkie dzielniki pierwsze szukanej liczby. 56 2 Liczbę 56 rozłożyliśmy na czynniki pierwsze. Na schemacie znajdują się one po prawej stronie. 28 2 2 14 7 7 Możemy zatem liczbę 56 zapisać: 56 = 2 . 2 . 2 . 7 1

32. Największy Wspólny Dzielnik (NWD) dwóch liczb naturalnych

33. Dokonujemy w słupku rozkładu liczb na czynniki pierwsze, dla których szukamy NWD, rozpoczynając od czynnika 2 przez sprawdzenie, czy dana liczba dzieli się na konkretny czynnik bez reszty. Jeśli dzieli się, to pod daną liczbą wpisujemy iloraz, jeśli nie, to sprawdzamy kolejne czynniki pierwsze jako dzielniki. Dalej postępujemy analogicznie dopóki nie otrzymamy ilorazu równego 1. Następnie wyliczamy iloczyn liczby 1 i tych czynników, które występują w obu rozkładach, ale tak, że dany czynnik pierwszy w iloczynie występuje tyle razy ile razy występował w rozkładzie, w którym pojawił się mniejszą liczbę razy. Wynika z tego, że NWD dwóch liczb pierwszych jest liczba 1.

34. Przykład Znajdźmy NWD(192, 348) 192 ; 348 2 Widzimy, że wspólnymi dzielnikami liczb 192 oraz 348 były: 2, 2 i 3, zatem: 2 96 ; 174 48 ; 87 2 24 ; 87 2 12 ; 87 2 NWD(192, 348) = 2 . 2 . 3 = 12 6 ; 87 2 3 ; 87 3 1 ; 29 29 1 ; 1

35. PODZIELNOŚĆ LICZBNATURALNYCH • ROZKŁAD LICZB NATURALNYCH NA CZYNNIKI PIERWSZE KONIEC