1 / 19

BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS

BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS. Yulvi Zaika. Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = ( x,y ), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,  ). BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS. x = r cos  , y = r sin  ,

edmund
Download Presentation

BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS YulviZaika

  2. Selaindinyatakandalambentuk z = x+iy = (x,y), bilangankompleks z dapatdinyatakan pula dalambentukkoordinatkutubatau Polar, yaitu z = (r,). BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS

  3. x = r cos , y = r sin, sehingga = arc tan adalahsudutantarasumbu x positifdengan oz didapatjuga Jadi, bentukkutubbilangankompleks z adalah z = (r, ) = r(cos + i sin ). dansekawandari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ). Hubungan (x,y) dengan (r,)

  4. Selainpenulisanbilangankompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis, makadapatmenuliskan z dalamrumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dansekawannyaadalah re-i. Tugas:Buktikanbahwaei = cos + i sin , denganmenggunakanderetMacLaurinuntukcos , sin dan etdenganmengganti t = i.

  5. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

  6. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Jawab : z = 1 + i, r = , tan  = 1, sehingga  = 45⁰=  Jadi z = (cos  + i sin ) = cis  =

  7. 2. Betuk Polar • Pembagian Dilakukandengancaramembagipembilangdenganpenyebutdanmengurangisudutpembilangdengansudutpenyebut. Misaldan Maka : • PenambahandanPengurangan Tidakdapatdilakukankecualimemilikisudut yang samaatauhanyaberbedaphasakelipatan 1800 • Misaldan Maka z1= r1 (cos1+i sin1) Z2= r2 (cos2+i sin2) Z2= r2 (cos2+i sin2) z1= r1 (cos1+i sin1) Z1.z2 = r1r2[cos(1+2) + i sin (1+2)

  8. Perkalian Telahkitaketahuibahwabilangankompleksdalambentukkutubadalah z = r(cos + i sin ). Jika z1 = r1(cos1 + i sin 1) & z2 = r2(cos2 + i sin 2), makakitaperolehhasilperkaliankeduanyasebagaiberikut : z1 z2 = [r1(cos1 + i sin 1)][r2(cos2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos1cos2 - sin1sin 2) + i (sin 1cos2 + cos1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)] Dari hasilperkaliantersebutdiperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2

  9. Pembagian: Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)] Dari rumus di atas diperoleh: arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

  10. Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ), maka: Untuk: . Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat : . . . . . . . 2

  11. Perpangkatan

  12. Contoh: Hitunglah : Jawab : Misalkan maka karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

  13. Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis . Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +2k , k bulat. Akibatnya dan Jadi . . .

  14. Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

  15. Contoh : Hitunglah (-81)1/4 Jawab : Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81. Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800), sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800), diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan . Jadi z= 3[cos( )+i sin( )] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

  16. 1. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i. Tentukan z1 +z2, z1 -z2 ,z1z2, dan z1 / z2 2. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 3. Hitungjarakantara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. 4. Nyatakanbilangankompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar daneksponen 5. . Hitunglah (-2+2i)15

More Related