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Retas

Retas. Equação Vetorial. Sejam um ponto A=(x 1 ,y 1 ,z 1 ) e um vetor não nulo v=(a,b,c) Teorema: Existe somente uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP = (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP = tv, para todo t є R.

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Presentation Transcript

  1. Retas

  2. Equação Vetorial • Sejam um ponto A=(x1,y1,z1) e um vetor não nulo v=(a,b,c) • Teorema: Existe somente uma reta r que passa por A e tem direção de v. Um ponto P=(x,y,z) є r se, e somente se, o vetor AP = (x-x1,y-y1,z-z1) é paralelo a v, isto é AP = tv, para todo t є R

  3. Equação Vetorial • Daí, P-A= tv ou P = A + tv • Ou em coordenadas • (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) que é chamada de equação vetorial da reta r

  4. Exemplo • Encontre a equação vetorial da reta que passa por A=(1,-1,4) e tem a direção de v=(2,3,2). Verifique também se o ponto P=(5,5,8) pertence a esta reta

  5. Equações Paramétricas • Sabemos que a equação vetorial da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e tem direção de v=(a,b,c) é: • (x,y,z)= (x1,y1,z1)+t(a,b,c) ou ainda • (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc)

  6. Equações Paramétricas • Usando a igualdade de dois vetores na expressão (x,y,z)= (x1+ta,y1+tb,z1+tc) temos as seguintes equações paramétricas

  7. Exemplo 2 • Dado o ponto A(2,3,-4) e o vetor v=(1,-2,3) pede-se: • A) escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v • B) Encontrar dois pontos B e C de r de parâmetros t=1 e t=4 respectivamente

  8. Exemplo 2 • C) determinar o ponto de r cuja abscissa é 4 • D) verificar se os pontos D=(4,-1,2) e E=(5,-4,3) pertencem a r • E) Determinar para que valores de m e n o ponto F=(m,5,n) pertence a r

  9. Exemplo 2 • F) escrever outros dois sistemas de equações paramétricas de r • G) Escrever equações paramétricas da reta s que passa por G=(5,2,-4) e é paralela a r • H) Escrever equações paramétricas da reta u que passa por A e é paralela ao eixo y

  10. Reta Definida por 2 Pontos • A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou B) e tem direção do vetor v=AB

  11. Exemplo 3 • Escreva as equações paramétricas da reta r que passa por A=(3,-1,2) e B(1,2,4)

  12. Equação Paramétrica de um Segmento de Reta • Considere um segmento de reta cujos pontos extremos sejam A=(x1,x2,x3) e B = (y1,y2,y3). Assim as equações paramétricas do segmento de reta tendo por direção o vetor AB, são • Para t є [0,1]

  13. Nota • Quando t=0 nas equações anteriores (x,y,z)=A • Quando t=1 (x,y,z)=B

  14. Equações Simétricas • Das equações paramétricas tem-se • Supondo que a ≠0, b ≠0 e c ≠ 0 tem-se

  15. Equações Simétricas • Como, para cada ponto da reta corresponde um só valor de t obtemos igualdades

  16. Notas • As equações do slide anterior são chamadas de equações simétricas da reta que passa por A=(x1,y1,z1) e é paralela ao vetor (a,b,c)

  17. Exemplo • Encontre as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A=(3,0,-5) e tem a direção do vetor v=(2,2,-1)

  18. Equações Reduzidas • Seja a reta r definida pelo ponto A=(x1,y1,z1) e pelo vetor diretor v=(a,b,c) as equações simétricas da reta são:

  19. Equações Reduzidas • A partir destas equações, pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. Vamos isolar as variáveis y e z e expressá-las em função de x • Estas duas últimas equações são chamadas equações reduzidas da reta

  20. Exemplo • Dadas as equações reduzidas da reta y=mx+n, z=px+q, encontre um vetor diretor

  21. Retas paralelas aos planos coordenados • Uma reta é paralela a um dos planos x0y ou y0z se seus vetores diretores forem paralelos ao plano correspondente. Neste caso, uma das componentes do vetor é nula

  22. Exemplo • Seja a reta r que passa pelo ponto A=(-1,2,4) e tem o vetor diretor v=(2,3,0) • Note que a terceira componente de v é nula e a reta é paralela a x0y

  23. Analogamente, uma reta r1 com vetor diretor do tipo v=(a,0,b) é paralela a x0z e uma reta r2 com vetor diretor do tipo v=(0,a,b) é paralela a y0z

  24. Retas paralelas aos eixos coordenados • Uma reta é paralela a um dos eixos coordenados 0x,0y ou 0z se seus vetores diretores forem paralelos a i=(1,0,0), j=(0,1,0) ou k=(0,0,1) • Neste caso, duas das componentes do vetor são nulas

  25. Exemplo • Desenhe a reta que passa por A=(2,3,4) e tem a direção do vetor v=(0,0,3)

  26. Ângulo de duas retas • Sejam as retas r1 e r2 com as direções v1 e v2, respectivamente • Chama-se ângulo de duas retas o menor ângulo formado pelos vetores diretores • Logo, sendo teta este ângulo tem-se:

  27. cosθ = |(u . v)| /( | u | | v |) • Com 0<= θ<= pi/2

  28. Exemplo • Calcule o ângulo entre as retas • r1=: x=3+t,y=t,z=-1-2t • r2: (x+2)/-2=(y-3)/1=z/1

  29. Exemplo • Verifique se as retas são ortogonais • r1: y=-2x+1,z=4x • r2: x=3-2t,y=4+t,z=t

  30. Reta ortogonal a duas retas • Sejam r1 e r2 duas retas não paralelas com vetores diretores v1 e v2 respectivamente • Seja r uma reta com vetor diretor v de tal forma que r é ortogonal a r1 e r é ortogonal a r2

  31. Assim, sabemos que v.v1 =0 e v.v2=0 • Um vetor v que satisfaz o sistema anterior é dado por v=v1 x v2

  32. Definido, então, o vetor diretor v, a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos

  33. Exemplo • Determinar a equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A=(3,4,-1) e é ortogonal às retas • r1:(x,y,z)=(0,0,1)+t(2,3,-4) • r2: x=5, y=t, z=1-t

  34. Retas coplanares • Duas retas r1 :a1(x1,y1,z1),v1=(a1,b1,c1) e r2:a2(x2,y2,z2),v2=(a2,b2,z2) são coplanares se os vetores v1, v2 e a1a2 forem coplanares, isto é, se [v1,v2,a1a2]=0

  35. Exemplo • Determine o valor de m para que as retas sejam coplanares • R1:y=mx+2,z=3x-1 • R2:x=t,y=1+2t,z=-2t

  36. Posição Relativa de duas Retas • Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser: • Paralelas: v1//v2 interseção r1 e r2 é vazia • Concorrentes: a interseção de r1 e r2 é {I} onde I é o ponto de interseção. Neste caso as retas tem que ser coplanares

  37. Posição Relativa de duas Retas • Reversas: não coplanares. Neste caso a interseção de r1 e r2 é vazia

  38. Exemplo • Estudar a posição relativa das retas • Primeiro caso • R1:y=2x-3,z=-x • R2:x=1-3t,y=4-6t,z=3t • Segundo caso • R1:x/2=(y-1)/-1=z • R2:x=2-4t,y=2t,z=-2t+1

  39. Terceiro caso • R1:(x-2)/2=y/3=(z-5)/4 • R2:x=5+t,y=2-t,z=7-2t • Quarto caso • R1:y=3,z=2x • R2:x=y=z

  40. Interseção de duas retas • Se duas retas se interceptam, elas são coplanares, isto é, estão situadas no mesmo plano. Neste caso, são ditas concorrentes • Se duas retas não são coplanares, elas são ditas reversas. Supõe-se que as retas não são paralelas

  41. Exemplo • Verifica se as retas r1 e r2 são concorrentes e, em caso afirmativo, determinar o ponto de interseção • Primeiro caso • r1:y=-3x+2,z=3x-1 • r2:x=-t,y=1+2t,z=-2t

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