M atematičko modeliranje kvadratnom funkcijom

1. Matematičko modeliranje kvadratnom funkcijom dr Duška Pešić Gimnazija “J.J.Zmaj” andpesic@Eunet.yu

2. Proces matematičkog modeliranja Formulacija Problem iz svakodnevnog života Matematički model Interpretacija

3. Koji broj nedostaje? 1 2 5 6 7 9 1 4 ? 36 49 81 Odabrati rešenje: 15 21 25 16 Tačno!

4. Koji broj nedostaje? 1 3 5 7 8 9 0 8 ? 48 63 80 Odabrati rešenje: 13 24 32 15 Tačno!

5. Koji broj nedostaje? 1 2 5 6 7 9 -2 1 ? 33 46 78 Odabrati rešenje: 15 9 22 -4 Tačno!

6. Koji broj nedostaje? 1 2 4 6 7 8 4 9 ? 49 64 81 Odabrati rešenje: 25 24 16 32 Tačno!

7. Koji broj nedostaje? 1 2 3 4 5 6 2 8 ? 32 50 72 Odabrati rešenje: 18 24 16 25 Tačno!

8. Koji broj nedostaje? 1 2 5 6 7 9 3 4 ? 28 39 67 Odabrati rešenje: 15 21 19 10 Tačno!

9. Koji broj nedostaje? 1 2 4 5 6 7 -3 -1 ? 29 47 69 Odabrati rešenje: 22 9 15 -4 Tačno!

10. 1 red 2 reda 3 reda 4 reda Kvadratni obrazac Razmotriti sledeću šemu kockica sa slike: • Naći vezu između broja kockica K i broja redova R.

11. 4 reda 4 reda 4 reda Kvadratni obrazac

12. Veza između poluprečnika kruga r ipovršine kruga P • Jednačina: r

13. Veza između vremena u sekundama kada pada neki objekat t i rastojanja u metrima koje je taj objekat prešao d • Jednačina:

14. y 9 x Još jedan primer kvadratne veze veličina • Izračunati zapreminu kutije visine 9cm, i dužine dva puta veće nego širine.

15. Koordinatna šetnja -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

16. Grafik kvadratne funkcije PARABOLA

17. Grafik kvadratne funkcije

18. Koordinate temena se ne menjaju T(0,0)

19. Faza 1 Faza 2 Faza 3 Faza 4 Kvadratni obrazac Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike: • Naći vezu između broja kvadratića K i faze F.

20. F-1 F+1 Kvadratni obrazac Prvi način:

21. F F Kvadratni obrazac Drugi način:

22. Grafik ove kvadratne veze

23. T Koordinate temena se menjaju T(0,n)

24. Faza 5 Faza 2 Faza 3 Faza 4 Kvadratni obrazac Razmotri sledeću šemu kvadratića sa slike: • Naći vezu između broja kvadratića K i faze F.

25. F-1 F-1 Kvadratni obrazac Faza 5

26. Grafik ove kvadratne veze

27. T Koordinate temena se menjaju T(m,0)

28. Spojiti svaki grafik sa odgovarajućim funkcijama a) b) c) d) e) f)

29. n=4 n=3 n=5 .... n=8 ... Koliko dijagonala ima konveksan n-tougao

30. T(m,n) Koordinate temena se menjaju

31. Kvadratna funkcija

32. Poveži funkcije sa njihovim grafikom

33. Koje još veličine imaju kvadratnu vezu? Vreme i visina tela bačenog u vis Broj godina vozača i broj automobilskih udesa Cena i ukupni prihod

34. Strela Vatromet Telo bačeno sa krivog Tornja u Pizi

35. y 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Telo bačeno u vis • Telo bačeno vertikalno uvis ima visinu gde jeubrzanje zemljine teže, početna brzina ipočetna visina. • Lopta je bačena u vis sa vrha tornja u Pizi, visine 58m sa prosečnom brzinom 30m/s. Odrediti posle koliko vremena će lopta dodirnuti zemlju. Rešenje Visina na kojoj je lopta može se izraziti kao s t

36. y s 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Putanja tela bačenog u vis 1. Odrediti maksimalnu visinu lopte. Nakon koliko vremena je lopta dostigla maksimalnu visinu?Rešenje Maksimum date funkcije može se odrediti kao teme parabole:

37. y s 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 0 0 t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x Putanja tela bačenog u vis 1. Kada je lopta bila na visini od 20m i u kom vremenu je lopta iznad te visine?Rešenje Vrednost funkcije s=20 se uvrsti u jednačinu i dobija se:

38. y s1 4 0 3 0 2 0 1 0 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 t x Putanja tela bačenog u vis Ako se telo baci u vis istom brzinom ali sa zemlje, koliko i kada će ono biti najviše udaljeno od zemlje i kada će ono udariti zemlju? Rešenje Matematički model ove pojave je Teme parabole, je nule su t=0 i t=6.1224 *Ako se telo baci sa zemlje pod navedenim uslovima tada će dostići najveću visinu 45.918m za 3.0612 s (isto vreme kao i kod Pize), a pogodiće zemlju posle 6,1224s.

39. Broj automobilskih udesa u zavisnosti od godina vozača

40. Broj udesa • Funkcija je matematički model broja saobraćajnih udesa na pređenih 200 hiljada kilometara u zavisnosti od godina vozača.

41. Broj udesa • U kojim godinama čovek ima najmanje udesa.Rešenje • Parabola ima minimum za što znači da ljudi sa 45 godina imaju najmanje saobraćajnih udesa. • Ispitati monotonost funkcije f i na osnovu toga dati odgovarajuće tumačenje. Rešenje • Data kvadratna funkcija opada kada a raste kada je x>45. Na osnovu toga može se reći da se broj udesa smanjuje sa povećanjem godina života od 18 do 45, a raste posle 45 godina.

42. VATROMET

43. Raketa je ispaljena sa zemlje. • Visina rakete zavisi od početne brzine i vremena. • Ako je početna brzina 40m/s, tada je visina rakete:

44. Mali biznis Maksimalna dobit

45. Maksimalna dobit Ako funkcija opisuje neku ekonomsku pojavu, ispitujući njene osobine i skicirajući grafikmogu se rešiti mnogi zadaci optimizacije poslovanja.

46. Primer: • Neka je data funkcija tražnje i funkcija prosečnih troškova . Odrediti: А) Optimalni obim prodaje za maksimalnu dobit; B) Maksimalan ukupni prihod; C) Interval rentabiliteta; D) Grafike funkcija ukupnih prihoda, ukupnih troškova i dobiti.

47. Rešenje: * Funkcija ukupnih prihodaP(x) se dobija množenjem cenepi tražnjex.

48. y 0 100 200 300 400 • x • x Grafik funkcije ukupnog prihoda: P(x)

49. Funkcija ukupnih troškova se dobija množenjem funkcije prosečnih troškova i tražnje: • Odatle je funkcija dobiti:

50. y 0 100 200 300 400 x * Na osnovu dobijenih grafika mogu se rešiti svi postavljeni problemi. P(x) C(x) D(x)