LE PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE

1. LE PROPRIETA’ DELLE FUNZIONI E LA LORO COMPOSIZIONE a cura del prof. G. de Ruvo - IPSIAM Molfetta

2. FUNZIONI A TRATTI Una funzione è a tratti se per definirla nel suo dominio occorrono due o più equazioni. Ad es. y Tale funzione non si può definire (0;1) mediante una sola equazione ma si potrebbe fare tramite due: x se x>0 (0;-1)se x<0 Funzioni a tratti possono essere funzioni in cui compaiono dei moduli. Ad es. così definita se x>0 se x<0

3. FUNZIONE PARI La funzione è pari se e solo se In tal caso la curva ha come asse di simmetria l’asse y, infatti i punti P(x;f(x)) e Q(-x;f(-x)) sono simmetrici rispetto all’asse y. Verifichiamo che la funzione è pari e costruiamone il grafico. Secondo la definizione deve essere Sappiamo che calcoliamo y(-x): Q P f(-x)=f(x)

4. FUNZIONE DISPARI La funzione è dispari se e solo se In tal caso la curva ha centro di simmetria nell’origine, infatti i punti P(x;f(x)) e Q(-x;f(-x)) sono simmetrici rispetto all’ origine. Stabiliamo se la funzione y=x3è dispari e costruiamone il grafico. Secondo la definizione deve essere y(-x)=-y(x) Sappiamo che y(x)=x3, calcoliamo y(-x)=(-x)3=-x3=-y(x) Pertanto la funzione assegnata è dispari f(x) P -x x Q -f(x)

5. pari Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari o dispari: pari né pari né dispari pari Poiché l’espressione di y(x) è già data, basta calcolare l’espressione y(-x) e confrontarla con y(x).

6. ALCUNE OSSERVAZIONI • Se una funzione è pari o dispari si può limitare lo studio delle sue caratteristiche alla parte positiva del suo dominio. • Se la funzione è definita da un polinomio, essa è pari se nella sua espressione analitica compaiono solo potenze pari di x, mentre è dispari se compaiono solo potenze dispari di x, per es. pari dispari né pari né dispari

7. FUNZIONI PERIODICHE Sia f una funzione definita da R in R, tale funzione è periodica di periodo T se: y -2 0 2 4 x T T T Tale funzione ha periodo T=2 Se una funzione periodica è nota su un intervallo di ampiezza T, è nota ovunque, pertanto è sufficiente studiare una funzione periodica in un intervallo pari al suo periodo.

8. FUNZIONI MONOTO’NE Sia I intervallo • f è costante in I se si ha f(x1)=f(x2) a x1 x2 b • f è strettamente crescente in I se con • x1<x2 si ha f(x1) f(x2) a x1 x2 b

9. se x<1 se 1<x<3 se x>3 • f è non decrescente o crescente debolmente (crescente in senso lato) in I se con x1<x2 allora Ad esempio la funzione: è non decrescente in R Il grafico di una funzione non decrescente può salire o stabilizzarsi. • f è strettamente decrescente in I se con • x1<x2 si ha f(x1) f(x2) Il grafico di una funzione decrescente “scende” se lo si osserva da sinistra verso destra x1 x2

10. f è non crescente o decrescente debolmente (decrescente in senso lato) in I se con x1<x2 allora La funzione se x<-1 se x>-1 è non crescente in R. Il grafico di una funzione non crescente può scendere o stabilizzarsi Le funzioni che godono di una delle proprietà indicate (sempre strettamente crescente o sempre strettamente decrescente in un intervallo) si dicono monotòne che significa di tono o andamento uniforme.

11. In alcuni casi è molto importante stabilire se in un certo intervallo una funzione assume un valore più grande o più piccolo di tutti gli altri: Sia e I intervallo x0 è un punto di minimo relativo per f in I se esiste un intorno sferico B di centro x0 (Bxo), tutto contenuto in I, tale che, comunque si scelga un x appartenente a Bxo, f(x) è maggiore o uguale di f(xo); in simboli: Un punto di minimo relativo non può cadere in uno degli estremi dell’intervallo perché sarebbe impossibile trovare un intorno sferico di centro xo contenuto nell’intervallo considerato. f(x) f(xo) a x xo b

12. xo è un punto di minimo assoluto per f in I se, comunque si scelga x appartenente ad I, f(xo) è minore o uguale a f(x): f(xo) si dice minimo o valore minimo di f. I punti di minimo assoluto possono anche cadere negli estremi dell’intervallo considerato. Se cadono all’interno possono anche essere punti di minimo relativo. a=x0 b a=x0 punto di minimo assoluto, non è minimo relativo x0 è un punto di minimo assoluto e anche di minimo relativo a x0 b

13. x0 è un punto di massimo relativo per f in I se esiste un intorno sferico B di centro x0 (Bxo), tutto contenuto in I, tale che, comunque si scelga un x appartenente a Bxo, f(x) è minore o uguale di f(xo); in simboli: f(x0) f(x) a x x0 b xo è un punto di massimo assoluto per f in I se, comunque si scelga x appartenente ad I, f(xo) è maggiore o uguale a f(x): f(x0) si dice massimo o valoremassimo di f

14. ALCUNE CONSIDERAZIONI • Un punto di massimo relativo non può cadere in uno degli estremi dell’intervallo considerato (fig.a); • Un punto di massimo assoluto può cadere in uno degli estremi dell’intervallo considerato (fig.b); • Un punto di massimo relativo può essere un punto di massimo assoluto (fig.c). f(x0) a x0 b a b=x0 fig.a) fig.b) I punti di massimo o minimo sono anche detti punti estremanti fig.c) a x0 b

15. FUNZIONI COMPOSTE Sia ed A,B,C sono tre insiemi f, g sono due funzioni, allora esiste una funzione che associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di C, ossia: h è la funzione composta f(g(a) si legge f di g di a si legge g composto con f di a e si scrive da destra a sinistra in quanto la funzione che compare a sinistra è la funzione esterna. f g A f(g(a)) a g(a) B C

16. OSSERVAZIONI Per comporre due funzioni f e g, occorre che il codominioCgdi g, coincida con il dominioDf di f ma la composizione di funzioni ha significato anche quando si supponga soltanto che: o Risalire alle funzioni componenti: pensa di dare un effettivo valore a x e di calcolare con la calcolatrice la funzione assegnata. in tal caso Cg=Df

17. in tal caso quindi ha significato per cioè per dunque

18. Si possono comporre anche più di due funzioni f:A B g:B C k:C D è così definita A B C D f g k x f(x) g(f(x)) k(g(f(x)))