Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit

1. Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

2. Prozesskontrolle Anwendung der Statistik zur Kontrolle (Beobachtung und Regelung) des Prozesses in Gegenwart von Prozessvariabilität • Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) • Änderungen der Prozessvariabilität Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)? Prozesskontrolle

3. Zielsetzung der Prozesskontrolle • Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“ • Qualitätsverbesserung Prozesskontrolle

4. Shewhart-Karte Prozesskontrolle

5. Kontrollkarten • Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder Produktcharakteristika • Graphische Hilfe um festzustellen, ob Prozess „in Kontrolle“ • Variabilität durch common (usual) causes vs. Variabilität durch special (assignable) causes • Alarm => Suche nach Ursachen • Mittel, den Prozess (1) besser zu verstehen und (2) zu verbessern Prozesskontrolle

6. Funnel-Experiment • Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! • Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk • Strategien: • Trichter unverändert • Verschiebe Trichter um –zk • Verschiebe Trichter nach –zk • (Verschiebe Trichter nach zk) Prozesskontrolle

7. Bedeutung der Kontrollkarten • Anwendung heißt: Analyse (und Verstehen) des Prozesses oder Produktes • Produktentstehung ist wichtiger als fertiges Produkt; Produktionsprozess umfasst common causes und special causes (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“) • Einfache Technik Prozesskontrolle

8. Anwendung der Kontrollkarte Das Beantworten der zu lösenden Fragen gibt wichtige Einsichten: • Was (welche Charakteristika) soll kontrolliert werden? • Welche Standards sind zu erfüllen? • Welche Messungen? • Welcher Messvorgang? • Welche Verarbeitung der Messungen? Prozesskontrolle

9. Prozess- vs. Annahmekontrolle • Prozesskontrolle (PK) reduziert Fehler und Kosten, Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät • PK gibt Hinweise auf Ursachen für Mängel, bei AK kaum rekonstruierbar • PK erlaubt Verbesserungen • PK erlaubt Anpassen an Anforderungen • PK erlaubt Robustifizierung Prozesskontrolle

10. Kontrollkarten bei Dienstleistungen Anwendungen bei IBM Kingston • Vorschlagswesen (Dauer bis zur Reaktion auf Vorschlag) • Medizinische Einstellungsuntersuchung (Dauer) • Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) • Etc. Prozesskontrolle

11. Typen von Kontrollkarten • Mittelwerts-Karte ( Karte) • s-Karte (Standardabweichung) • R-Karte (range) • c-Karte (counts) • p-Karte (proportion) Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s- und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden! Prozesskontrolle

12. Aufbau einer Kontrollkarte • Mittellinie (center line) • untere Kontrollgrenze (lower control limit, LCL) • obere Kontrollgrenze (upper control limit, UCL) • Als Kontrollgrenzen sind 3s-Grenzen üblich (siehe unten) Prozesskontrolle

13. Verwendung einer Kontrollkarte • In regelmäßigen Intervallen: Ziehen einer Stichprobe (n=4 oder 5) • Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk • Eintragen in Kontrollkarten Prozesskontrolle

14. Beispiel: Mittelwerts-Karte • nach zGWS gilt (näherungsweise): bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall • Ersetzen von m durch , s durch gibt Prozesskontrolle

15. Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts. • Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der Tabelle) • Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt Prozesskontrolle

16. Prozesskontrolle

17. s-Karte • Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Standardabweichungen sk zwischen • B3 und B4 aus der Tabelle Prozesskontrolle

18. R-Karte • Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der Spannweiten Rk zwischen • D3 und D4 aus der Tabelle • ist der Mittelwert der Rk aus der Initialisierungsphase • R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher Änderung an Prozesskontrolle

19. Bewertung von Kontrollkarten • Lauflänge(run length) RL: Zahl der Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt) • Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL: P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ... • mit w = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen) Prozesskontrolle

20. ARL, mittlere Lauflänge • ARL (average run length) ARL = E(RL) = 1/w Prozesskontrolle

21. Beispiel: Mittelwerts-Karte • Prozess in Kontrolle mit m0 und s w = 1 P(LCL  UCL) = 0.0027 und ARL = 1/0.0027 = 370 • Prozess außer Kontrolle: m = m0 + ds w = 1 P( 3 dn Z 3 dn) Prozesskontrolle

22. Praxis der Kontrollkarten • Konstruktion: • Auswahl des Stichproben-Intervalls • Auswahl des Stichproben-Umfanges • Art der Stichprobe • Verwendung: • Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert kleine d • Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt • Stichproben unter homogenen Bedingungen Prozesskontrolle

23. Kontrollkarten für Attribute • p- und np-Karte: zur Kontrolle des Anteils von defekten Stücken • c-Karte: bei komplexen Produkte (zB ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück • u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten Prozesskontrolle

24. Variablen- vs. Attributkontrolle • Variablenkontrolle: • berücksichtigt mehr Information • reagiert „rechtzeitig“ • kleinere Stichproben • Attributkontrolle • auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar (brauchbar ja/nein) • einfacher • mehrere Merkmale gemeinsam • robuster Prozesskontrolle

25. Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen Bedingungen für „außer Kontrolle“ • eine Beobachtung außerhalb 3s-Grenze • mindestens zwei von drei Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2s-Grenze • mindestens vier von fünf Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1s-Grenze • mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL Prozesskontrolle

26. Warngrenzen: weitere Bedingungen • mindestens 15 Beobachtungen in Reihe innerhalb 1s-Grenze ("hugging") • mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess) • lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn") • Zyklen, Trend Prozesskontrolle

27. Effekte der Warngrenzen • Prozess außer Kontrolle wird rascher entdeckt (ARL kleiner) • Achtung! Auch ARL bei Prozess in Kontrolle wird kleiner! Prozesskontrolle

28. Beispiel: Mittelwertskarte • Entscheidung nach 1.: ARL(0) = 370 ARL(s) = 33.9 • Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100 ARL(s) = 9 Prozesskontrolle

29. Prozessüberwachung • Ermittlung von und nur mit Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle • Kontrollgrenzen nachjustieren! • Beispiel: Gewicht von Brotlaiben • Aus Beobachtungen 1 bis 25: = 100.92 kg, = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41 • Aus Beobachtungen 1 bis 20: = 100.17 kg, = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60 Prozesskontrolle

30. Spezielle Kontrollkarten • Kontrollkarten für Einzelwerte • Gleitende Spannweiten (moving range, MR) Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar • Karte für individuelle Beobachtungen, LCL =  3 (MR-bar/1.128), UCL = … • CUSUM-Karte • EWMA-Karte (l: Glättungsparameter) EWMAi = l xi + (l -l) EWMAi-1 Prozesskontrolle

31. EWMA- und CUSUM-Karten • Vorteil: kleines ARL bei kleinen Störungen • Nachteil: komplizierter Prozesskontrolle

32. Neuere Entwicklungen • Kontrollkarten für seriell korrelierte Qualitäts-Charakteristika • Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-Charakteristika • Kosten-optimale Kontrollkarten Prozesskontrolle

33. Prozessfähigkeit • Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses, die Anforderungen des Kunden zu erfüllen • Anforderungen des Kunden • Zielwert (Tg, target value) • Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower specification limit) • Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper specification limit) Prozesskontrolle

34. Prüfen der Prozessfähigkeit • Graphische Darstellung des Prozesses zB Histogramm: optischer Eindruck • der Prozessfähigkeit • des Anteils, der die Anforderungen nicht erfüllt • Fähigkeitsindizes • Pre-control Karte Prozesskontrolle

35. Fähigkeitsindizes sind Indexzahlen, die das Ausmaß messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt. • Cp-Fähigkeitsindex • Cpk- Fähigkeitsindex • Cpm- Fähigkeitsindex • CR- Fähigkeitsindex Engl.: capability indices Prozesskontrolle

36. Cp-Fähigkeitsindex Cp = (USL − LSL)/(6s) misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung Prozesskontrolle

37. Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel • Normalverteilte Qualitätsvariable • wenn m = Tg, enthält der ±3s-Bereich 99.73% der Produkte • Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt wenn m = Tg • Achtung! Cp sagt nichts darüber aus, wie groß der Anteil der defekten tatsächlich ist! Prozesskontrolle

38. Cpund Anteil der Defekten Prozesskontrolle

39. Cp-Fähigkeitsindex: Forts. • Viele Unternehmen verlangen ein Cp von 1.33! • Schätzung von Cp: s wird durch s ersetzt Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) • Beispiel: • Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; • Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) = 1.19. Prozesskontrolle

40. Cpk-Fähigkeitsindex Cpk = Min {USL − m, m − LSL}/(3s) • geschätzter Cpk: m und s werden durch x-bar und s ersetzt Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s) Prozesskontrolle

41. Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel • Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) = Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03 • Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10. Prozesskontrolle

42. Cpm-Fähigkeitsindex Cpm = (USL − LSL)/(6s*) • mit (s*)2 = s2 + (m − Tg)2 • Es gilt Cpm = Cp /√[1 + (m − Tg)2/ s2] • je größer |m − Tg|, umso kleiner wird Cpm gegenüber Cp Prozesskontrolle

43. Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s*) • mit (s*)2 = Si (xi − Tg)2/(n − 1), oder Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 + (x-bar − Tg)2]} Prozesskontrolle

44. Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel • Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04 • Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15. Prozesskontrolle

45. CR-Fähigkeitsindex, Target-Z • Fähigkeitsverhältnis (capability ratio) CR = 1/Cp • Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt • Target-Z: Maß für Abweichung zwischen m und Tg Target-Z = (Tg− m)/s Prozesskontrolle

46. CR-Fähigkeitsindex, Target-Z • CR und Target-Z gemeinsam erlauben die Beurteilung der Prozessfähigkeit • je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|, umso besser • Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75 (entspricht Cp > 1.33); • |Target-Z| < 0.5 (m muss innerhalb von s/2 von Tg liegen) Prozesskontrolle

47. CR und Target-Z: Beispiel • CR-hat(Breite) = 0.8 • Target-Z-hat(Breite) = (4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66 • CR-hat(Stärke) = 0.84 • Target-Z-hat(Stärke) = (0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25 Prozesskontrolle

48. Six Sigma • Teil des TQM-Konzepts von Motorola • Anforderungen: • s so, dass LSL und USL mindestens 6s von Tg (USL−Tg,Tg−LSL ≥ 6s) • m höchstens 1.5s von Tg (|m – Tg| < 1.5s) • Prozess mit normalverteilter Qualitäts-variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million! Prozesskontrolle

49. Six Sigma: Forts. • Bei X ~ N(Tg + 1.5s, s2) P(defektes Stück) = 1 – P(Tg−6s X Tg+6s) = 1 – P(-7.5  X  4.5) • 1 – (4.5) = 0.0000034 • Beachte! Cp=2; Cpk = 1.5, wenn m = Tg + 1.5s Prozesskontrolle

50. Fähigkeitsindizes in der Praxis • Gutes Instrument zur Dokumentation • Wahl von LSL und USL entscheidend • Normalverteilungsannahme • Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess • Schätzung der Fähigkeitsindizes Prozesskontrolle