EE240/2009 Filtragem Estocástica

1. EE240/2009 Filtragem Estocástica

2. Unscented Kalman Filter Extended Kalman Filter Tempo Contínuo Filtro de Fujisaki-Kalliampur-Kunita Filtro de Wonham-Stratonovich Filtro de Zakai Filtro Robusto de Davis Tempo Discreto Sistema Linear Ruídos Gaussianos Sistema Não-Linear Ruídos Não Gaussianos Filtro de Kalman Filtro de Partículas

3. Filtro de Partículas

4. Estado: Observações: zk-2 zk zk-1 p(zk|xk) p(xk|xk-1) xk-2 xk xk-1 Obter: N = k  Filtragem N < k  Predição N > k  Suavização Dadas as equações de Estado e das Observações:

5. P( B | A ) P ( A ) = P( A | B ) P ( B ) P( A | B ) P ( B ) P( B | A ) = P ( A ) Regra de Bayes A A  B B P( B | A ) = P( A  B ) / P ( A ) P( A | B ) = P( A  B ) / P ( B ) Fórmula de Bayes

6. P( A | B ) P ( B ) P( B | A ) = P ( A ) z0 p(x0) Update p(x0|z0)

7. z0 p(x0) Update Propagate p(x0|z0) p(x1|z0)

8. z0 z1 p(x0) Update Propagate Update p(x0|z0) p(x1|z0) p(x1|z1)

9. z0 z1 p(x0) Update Propagate Update Propagate p(x0|z0) p(x1|z0) p(x1|z1) p(x2|z1)

10. z0 z1 zk-1 p(x0) Update Propagate Update Propagate Update Propagate … p(x0|z0) p(x1|z0) p(x1|z1) p(x2|z1) p(xk|zk-1) p(xk-1|zk-1)

11. x

12. t p(xk) xk

13. t = 0

14. t = 1

15. t = 2

16. z t = 0 pz z

17. Start! t = 0 pz z px x

18. t = 0 pz z px x

19. t = 0 pz z px x

20. z t = 0 pz z px x

21. z t = 0 pz z px x

22. t = 0 pz z px x

23. t = 1 pz z px x

24. t = 1 pz z px x

25. z t = 1 pz z px x

26. t = 1 pz z px x

27. t = 2 pz z px x

28. t = 2 pz z px x

29. Filtro de Kalman

30. Estimador g(.) Exemplos: Problema: Dados: { y1, .. .,yn } correlacionados com x Obter: uma estimativa de x a partir de { y1, .. .,yn }

31. Seja g(y) = K y Achar K de modo que Minimiza x y Projeção Ortogonal Critério para determinação do g(.): Achar g(.) de modo que se minimize: Projeção Ortogonal:

32. x . y

33. a, b ~ N(0,2) < a | b > = E [ a b ] Problema Original

34. Expressão para :

36. Estimação Recursiva Fórmula de Recursão para Projeções Ortogonais Suponha que y1, ... ,yn sejam dados seqüencialmente e que Problema: Calcular Proposta:

37. yk projetado sobre Lk-1 . yk Para um z genérico em L, Lk-1 z = z1 + z2 Lk = span { y1, ... , yk } Lk-1 é subespaço de Lk

38. = z1 + z2 x Em particular, se z = Lk z1 z2 Lk-1 z = z1 + z2 Portanto,

39. = z1 + z2 Portanto, Em particular, se z = -1 z = z1 + z2 x Lk z1 z2 Lk-1

40. ~ y = z1 + z2 - k k | 1 Fórmula de Projeção de x sobre Y inovações x Lk yk z2 Lk-1

41. Importante!

42. a partir de { y0 ,..., yk } Filtro de Kalman Filtro de Kalman Dado um sistema: Obter: xk+1 = Axk + Buk +Cwk yk = Hxk + Gvk Ruído de Estado x0 ~N(m,P0) Ruído de Medida y0 = 0 i.i.d. i.i.d.

43. Cálculo de Escrevendo xk no lugar de x na fórmula da projeção:

44. Cálculo de Escrevendo xk no lugar de x na fórmula da projeção:

45. Fórmula de Projeção de x sobre Y Por outro lado, xk+1 = Axk + Cwk Já calculado Já calculado

46. Cálculo de Fórmula para o estado:

47. Cálculo de

48. Kk+1 Kk-1 Kk xk-1|k-2 xk-1|k-1 xk|k-1 xk|k xk+1|k xk+1|k+1 yk-1 yk yk+1 Atualização Propagação

50. Propagação: Atualização: Mecanização do Filtro de Kalman: xk+1 = Axk + Buk +Cwk yk = Hxk + vk x0 ~ N(m,P0) y0 = 0 i.i.d. i.i.d.