Složité rozhodovací úlohy

Složité rozhodovací úlohy RNDr. Jiří Dvořák, CSc. dvorak@uai.fme.vutbr.cz Teorie systémů a operační analýza

Typy složitých rozhodovacích úloh • Úlohy s velkým počtem izolovaných lokálních extrémů (mnohoextremální úlohy) • Úlohy velkého rozsahu • Dynamické úlohy (optimalizace rozhodovacích procesů) • Úlohy s neurčitostmi (stochastické úlohy, fuzzy úlohy) • Vícekriteriální úlohy • Úlohy s více rozhodovateli (úlohy teorie her) TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Mnohoextremální úlohy Metody pro řešení úloh s mnoha izolovanými lokálními extrémy: • Metody pro nalezení globálního extrému, např. • metoda vnější aproximace a sečných nadrovin • metoda větví a mezí • tunelovací metoda • Heuristické metody, např. • simulované žíhání (simulated annealing) • zakázané hledání (tabu search) • genetické algoritmy TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Rozsáhlé úlohy LP U rozsáhlých úloh lineárního programování je matice A obvykle řídká, což znamená, že má nejvýše několik procent nenulových prvků. Existují speciální metody lineární algebry pro efektivní implementaci operací s řídkými maticemi. Pro řešení úloh LP s řídkou maticí je možné použít odpovídající implementaci revidované simplexové metody. V revidované simplexové metodě se nepočítá celá simplexová tabulka, ale pouze údaje nezbytně nutné pro jednotlivé iterace. Klíčovým bodem algoritmu je inverze bázické matice B. Některé rozsáhlé úlohy LP mají navíc speciální strukturu určenou vzájemně provázanými dílčími úlohami. Pro řešení takových úloh mohou být použity dekompoziční metody (např. Dantzig-Wolfeho metoda nebo Bendersova metoda). TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Diskrétní dynamické úlohy Diskrétní rozhodovací proces můžeme definovat jako množinu vektorů {y0, y1, … , x0, x1, … }, kde yi je stav v i-té etapě procesu, xi je rozhodnutí v i-té etapě procesu, přičemž y0 je počáteční stav a pro ostatní stavy platí yi+1 = fi (yi, xi). Cílem je nalezení takové rozhodovací strategie {x0, x1, … }, která optimalizuje kriteriální funkci F(y0, y1, … , x0, x1, … ) sdruženou s daným procesem, přičemž jsou splněny dané omezující podmínky. K řešení diskrétních dynamických rozhodovacích úloh se používají metody dynamického programování. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Spojité dynamické úlohy Spojitý rozhodovací proces můžeme definovat jako dvojici , kde x(t) je vektorová rozhodovací funkce, y(t) je vektorová stavová funkce a t je čas, přičemž platí Cílem je nalezení takové rozhodovací funkce x(t), která optimalizuje nějaký funkcionál sdružený s daným procesem, přičemž jsou splněny dané omezující podmínky. K řešení spojitých dynamických rozhodovacích úloh se používají metody dynamického programování a metody variačního počtu. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Stochastické programování Úloha stochastického programování v nerovnicovém tvaru: kde  je náhodný vektor definovaný na pravděpodobnostním prostoru (, , P) a jeho rozdělení pravděpodobnosti nezávisí na rozhodnutí x; funkce f : Rn×   R a g : Rn×   Rmjsou měřitelné pro každé x  Rn. Řešením této úlohy se rozumí řešení deterministického ekvivalentu, který je definován tak, aby byla korektně odstraněna náhodnost z původní úlohy. Při konstrukci deterministického ekvivalentu je nutné rozhodnout, co budeme považovat za přípustné řešení a co budeme považovat za optimální řešení. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Příklady konstrukce množiny přípustných řešení • Použití středních hodnot: nebo • Použití scénářů: kde S  je konečná množina významných realizací nazývaných scénáře. • Použití pravděpodobnostních omezení: nebo TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Příklady konstrukce účelové funkce • Použití střední hodnoty náhodného vektoru : • Použití střední hodnoty funkce f(x; ): • Kombinace střední hodnoty a rozptylu funkce f(x; ): kde  > 0. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Vícekriteriální úlohy Problém vícekriteriálního rozhodování: Je dána nějaká množina možných variant (rozhodnutí, řešení) a máme vybrat variantu, která je co nejlepší vzhledem k dané množině kritérií (hledisek, charakteristik). Typy vícekriteriálních úloh: • Úlohy vícekriteriálního hodnocení variant (přípustné varianty jsou vymezeny explicitně). • Úlohy vícekriteriálního programování (přípustné varianty jsou vymezeny implicitně soustavou podmínek a všechna kritéria jsou kvantitativní). TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Typy kritérií Uvažovaná kritéria bývají obvykle konfliktní. Mohou se mezi nimi vyskytnout jak kritéria kvantitativní (kardinální), tak kritéria kvalitativní (ordinální). V případě současného výskytu kvalitativních i kvantitativních kritérií se provádí přechod k jednomu typu kritérií, buď ke kvalitativním nebo ke kvantitativním. Kvantitativní kritéria umožňují pro každou variantu stanovit hodnoty kritérií. Tato kritéria bývají často nesouměřitelná v důsledku vyjádření v různých jednotkách. U některých metod pro řešení vícekriteriálních úloh je třeba tuto nesouměřitelnost odstranit určitou normalizací (např. přechodem k ukazatelům, které vyjadřují procenta plnění původních ukazatelů). Kvalitativní kritéria dovolují pouze stanovit, zda je nějaká varianta podle určitého kritéria lepší či horší než jiná, nebo zda jsou podle tohoto kritéria obě srovnávané varianty rovnocenné. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Úloha vícekriteriálního programování kde Tento zápis neurčuje úlohu vícekriteriálního programování jednoznačně, neboť význam operátoru max pro vektory není přesně definován. Úkolem je najít takový vektor x, který splňuje omezující podmínky a v němž kriteriální funkce f1(x), f2(x), … , fp(x) nabývají co možná největších hodnot. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Dominovaná a nedominovaná řešení Nechť x1 a x2 jsou přípustná řešení. Řekneme, že řešení x1dominuje řešení x2 , jestliže pro všechna k = 1, … , p platífk(x1)  fk(x2), přičemž existuje r takové, že fr(x1) > fr(x2). To znamená, že x1 musí být lepší alespoň podle jednoho kritéria, přičemž podle žádného není horší. Řekneme, že řešení x je nedominované(paretovsky optimální), jestliže neexistuje žádné přípustné řešení, které by je dominovalo. Řešení splňuje podmínku paretovské optimality, jestliže žádné kritérium nelze zlepšit, aniž by došlo ke zhoršení jiného kritéria. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Metody vícekriteriálního programování Tyto metody jsou založeny na jednorázovém nebo opakovaném použití metod jednokriteriální optimalizace a můžeme je členit takto: • Metody založené na apriorních informacích o preferencích rozhodovatele: • agregace kritérií • lexikografická optimalizace • minimalizace vzdálenosti od ideálního vektoru • Interaktivní metody: • doplňující informace o preferencích rozhodovatele jsou zadávány až v průběhu řešení úlohy TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Metody agregace kritérií Ze zadaných kritérií se pomocí vhodné agregační funkce konstruuje skalární kritérium. Nejčastějším případem agregační funkce je vážený součet kritérií: kde vk > 0 jsou váhy kritérií. Obvykle se ještě požaduje, aby TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Lexikografická optimalizace Předpokládejme, že je dáno pořadí kritérií podle klesající důležitosti. Množinu přípustných řešení zužujeme tak, že na ni postupně aplikujeme jednotlivá kritéria v daném pořadí. Tedy nejprve řešíme úlohu jednokriteriální optimalizace při použití prvého kritéria, na získanou množinu optimálních řešení této úlohy pak aplikujeme druhou účelovou funkci, atd. Tento postup končí získáním jediného optimálního řešení, nebo vyčerpáním všech kritérií, nebo zjištěním, že optimální řešení neexistuje. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Minimalizace vzdálenosti od ideálního vektoru (cílové programování) Je dán vektor ideálních hodnot jednotlivých kritérií (tento vektor může být také určen optimalizací jednotlivých účelových funkcí na množině přípustných řešení). Při použití nějaké vhodné metriky se hledá takové řešení, v němž je vzdálenost vektoru hodnot kritérií od ideálního vektoru h minimální. Řešíme tedy úlohu Příklady metrik (vk > 0 jsou váhy kritérií): TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Úloha vícekriteriálního hodnocení variant Předpokládejme, že všechna kritéria jsou kvantitativní. Pak je úloha vícekriteriální hodnocení variant charakterizována kriteriální maticí kde yij je hodnota j-tého kritéria pro i-tou variantu. Ideální varianta (nemusí reálně existovat) je reprezentována vektorem nejlepších hodnot jednotlivých kritérií. Bazální varianta (nemusí reálně existovat) je reprezentována vektorem nejhorších hodnot jednotlivých kritérií. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Dominované a nedominované varianty Nechť všechna kritéria jsou maximalizační a nechť ai = (yi1, yi2, … , yip) a aj = (yj1, yj2, … , yjp) jsou dvě varianty. Řekneme, že varianta aidominuje variantu aj, jestliže pro všechna k = 1, … , p platíyik  yjk, přičemž existuje r takové, že yir > yjr. To znamená, že ai musí být lepší alespoň podle jednoho kritéria než aj, přičemž podle žádného není horší. Řekneme, že varianta a je nedominovaná(paretovsky optimální), jestliže neexistuje žádné jiná varianta, která by ji dominovala. Varianta splňuje podmínku paretovské optimality, jestliže žádné kritérium nelze zlepšit, aniž by došlo ke zhoršení jiného kritéria. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Metody vícekriteriálního hodnocení variant Metody vícekriteriálního vyhodnocování variant můžeme členit obdobně jako metody vícekriteriálního programování podle toho, zda jsou či nejsou dány nějaké doplňující informace a zda jsou dány předem nebo až v průběhu výpočtu. Je zde také možno najít obdobné výpočetní metody (metoda agregace kritérií, lexikografická metoda, metoda minimalizace vzdálenosti od ideálního vektoru). Kromě toho zde však existují i metody specifické, využívající konečnost množiny variant a schopné pracovat s kvalitativními kritérii. K takovým patří také metody založené na teorii fuzzy množin (mlhavých množin). V těchto metodách se na základě dílčích preferencí rozhodovatele konstruuje mlhavá relace, z níž se pak pomocí prahů preference a indiference resp. dispreference získává výsledná nemlhavá preferenční relace, podle které lze pak varianty nějakým způsobem uspořádat. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Metoda TOPSIS Jedná se o výběr varianty, která je co nejblíže k ideální variantě reprezentované vektorem (H1, H2, … , Hp) a co nejdále od bazální varianty reprezentované vektorem (D1, D2, … , Dp). 1. Konstruuje se normalizovaná kriteriální matice R = (rij), kde 2. Vypočteme váženou kriteriální matici W = (wij), kde wij = vj rij a vj je váhaj-tého kritéria. 3. Určíme ideální a bazální variantu: TSOA: Složité rozhodovací úlohy

4. Vypočteme vzdálenosti i-té varianty od ideální a bazální varianty: 5. Vypočteme relativní ukazatele vzdálenosti i-té varianty od bazální varianty: Varianty uspořádáme podle klesajících hodnot ukazatele ci. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Metody odhadu vah kritérií • Přímé určení vah • Ordinální srovnání kritérií • všech najednou (metoda pořadí) • párové (Fullerova metoda) • Kardinální srovnání kritérií • všech najednou (bodovací metoda) • párové (Saatyho metoda) • Srovnání variant (metoda entropie) TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Metoda pořadí Mějme p kritérií a q expertů. Kritéria jsou uspořádána přiřazením přirozených čísel p, p – 1, … , 1. Nejdůležitějšímu kritériu je přiřazeno číslo p, nejméně důležitém číslo 1. Nechť aij je číslo přiřazené i-tému kritériu j-tým expertem. Váha i-tého kritéria podle j-tého experta: Výsledná váha i-tého kritéria: TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Bodovací metoda Mějme p kritérií a q expertů. Pro zvolenou bodovací stupnici musí j-tý expert ohodnotit i-té kritérium hodnotou aij ležící v dané stupnici. Čím je kritérium důležitější, tím je bodové ohodnocení větší. Váha i-tého kritéria podle j-tého experta: Výsledná váha i-tého kritéria: TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Fullerova metoda Mějme p kritérií a q expertů. Každý expert postupně srovnává každá 2 kritéria mezi sebou, takže tedy provede srovnání. Srovnání se mohou provádět v tzv. Fullerově trojúhelníku, v němž jsou zachyceny všechny možné dvouprvkové kombinace kritérií. Experti u každé dvojice zakroužkují to kritérium, které pokládají za důležitější. Nechť aij je počet zakroužkování i-tého kritéria u j-tého experta. Váha i-tého kritéria podle j-tého experta: Výsledná váha i-tého kritéria: TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Úvod do teorie her Teorie her se zabývá modelováním konfliktních rozhodovacích situací. Tyto situace můžeme členit takto: • antagonistický konflikt (co jedni hráči ztrácejí, ostatní získávají) a neantagonistický konflikt (mohou existovat rozhodnutí výhodná pro všechny účastníky a jsou případně možné i kooperace mezi hráči) • hry s přenosnou výhrou (je možné přerozdělení výhry po ukončení hry) a hry s nepřenosnou výhrou • hry s úplnou informací (hráči mají před každým tahem přesnou informaci o dosavadním průběhu hry) a hry s neúplnou informací • konečné hry (všichni hráči mají konečně mnoho strategií) a nekonečné hry TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Hra v normálním tvaru Základní matematický model teorie her: {Q; X1 , X2 , … , XN; M1(x), M2(x), … , MN (x)} kde Q = {1, 2, … , N } je množina hráčů, Xi je prostor strategií i-tého hráče, Mi (x) je výplatní funkce i-tého hráče. Výplatní funkce jsou definovány na kartézském součinu X1  … XN. • Hra s konstantním součtem: M1(x) + M2(x) + … + MN (x) = konst pro všechna x Celkový objem výher tedy nezávisí na zvolených strategiích. Tyto hry mají výrazně antagonistický charakter. • Hra s nekonstantním součtem: M1(x) + M2(x) + … + MN (x) =  (x) TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Rovnovážné strategie v antagonistickém konfliktu Uvažujme antagonistický konflikt dvou hráčů: {Q = {1, 2}; X, Y; M1(x, y),M2(x, y)}, kde M1(x, y) +M2(x, y) = konst pro všechna x, y. Strategie x* X, y* Y nazveme rovnovážné, jestliže pro všechna x, y platí současně M1(x, y*) M1(x*, y*), M2(x*, y) M2(x*, y*) Podmínky pro rovnovážné strategie ve hře s nulovým součtem: M(x, y*) M(x*, y*) M(x*, y), kde M(x, y) = M1(x, y) = – M2(x, y). Hodnota M(x*, y*) se nazývá cenou hry. Hra s konstantním součtem je ekvivalentní hře s nulovým součtem, kde M(x, y) = M1(x, y) – M2(x, y). TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Maticová hra Maticová hra je konečná hra dvou hráčů s nulovým součtem, kde X = {1, 2, … , m}, Y = {1, 2, … , n} a M(i, j) = aij . Matice A = (aij ) typu (m, n) se nazývá maticí hry (tato matice je maticí výplat prvého hráče). Sedlový prvek: Řekneme, že prvek ars je sedlovým prvkem matice hry, jestliže je současně nejmenší v r-tém řádku a největší v s-tém sloupci, tj. pro všechna i X a j Y platí ais ars arj Pokud má matice sedlový prvek, pak tento prvek je cenou maticové hry a jemu odpovídající strategie jsou rovnovážnými strategiemi. Pokud matice neobsahuje sedlový prvek, hledáme rovnovážné strategie ve smíšeném rozšíření maticové hry. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Smíšené rozšíření maticové hry Mějme maticovou hru s prostory strategií X = {1, 2, … , m}, Y = {1, 2, … , n} (tyto strategie označujeme jako ryzí) a s maticí hry A = (aij ) typu (m, n). Smíšeným rozšířením této maticové hry nazýváme hru dvou hráčů s nulovým součtem s prostory strategií (tyto strategie nazýváme smíšené) a výplatní funkcí Smíšená strategie je rozložením pravděpodobnosti na prostoru ryzích strategií. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Řešení smíšeného rozšíření maticové hry Smíšené rozšíření každé maticové hry má řešení v rovnovážných strategiích. Rovnovážné strategie smíšeného rozšíření maticové hry se nezmění, přičteme-li ke každému prvku matice totéž kladné nebo záporné číslo c. Cena hry s takto pozměněnou maticí je potom rovna v + c, kde v je cena původní hry. Nechť matice A má všechny prvky kladné. Pak rovnovážné smíšené strategie lze najít řešením dvojice duálně sdružených úloh LP: kde 1 = (1, 1, … , 1)T. Cena hry w = 1/(*) = 1/ (*) a rovnovážné strategie x* = w*, y* = w*. Jestliže matice A vznikla z matice jiné hry přičtením konstanty c, pak cena původní hry v = w – c. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Hry proti přírodě Hrou proti přírodě rozumíme hru dvou hráčů s nulovým součtem, z nichž prvý hráč je racionální (inteligentní), tj. snaží se maximalizovat svou výhru, zatímco druhý hráč je indiferentní (neinteligentní), tj. je k výsledku hry lhostejný. Neinteligentního hráče nazýváme přírodou, protože často reprezentuje nějaký přírodní proces. • Rozhodování za rizika: Prvý hráč zná pravděpodobnostní rozdělení, podle něhož příroda volí své strategie (stavy). Pak je možno použít Bayesovo kritérium. • Rozhodování za neurčitosti: Prvý hráč nezná pravděpodobnostní rozdělení, podle nějž příroda volí své stavy. Pak je možno použít např. tato kritéria: Laplaceovo, Waldovo, Savageovo, Hurwiczovo. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Kritéria ve hrách proti přírodě Mějme maticovou hru proti přírodě s maticí hry A = (aij ) typu (m, n), přičemž prvý hráč je inteligentní. • Bayesovo kritérium: kde pj je pravděpodobnost j-tého stavu přírody. • Laplaceovo kritérium: • Waldovo kritérium: • Savageovo kritérium: • Hurwiczovo kritérium: kde   [0; 1] je jakýmsi ukazatelem optimismu prvého hráče. TSOA: Složité rozhodovací úlohy

Složité rozhodovací úlohy