1 / 19

Sebuah vektor

Definisi kombinasi linear. Sebuah vektor. dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor. , . , … , . jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :. dimana k 1 , k 2 , …, k n adalah skalar Riil. Misal . = (2, 4, 0), dan. = (1, –1, 3).

faunus
Download Presentation

Sebuah vektor

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Definisikombinasi linear Sebuahvektor dinamakankombinasi linear darivektor – vektor , , … , jika vektor – vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.

  2. Misal = (2, 4, 0), dan = (1, –1, 3) adalah vektor-vektor di R3. Contoh Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas a. = (4, 2, 6) = (1, 5, 6) b. c. = (0, 0, 0)

  3. Jawab : a. Tulis akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi. Ini dapat ditulis menjadi:

  4. dengan OBE, diperoleh: Dengan demikian, dan merupakan kombinasi linear dari vektor atau

  5. b. Tulis : ini dapat ditulis menjadi:

  6. dengan OBE dapat kita peroleh : • Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa • SPL tersebut adalah tidak konsisten • (tidak mempunyaisolusi). • Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi • b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v

  7. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, • maka dapat ditulis artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

  8. Definisimembangun/ merentang Himpunan vektor dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S. Contoh : Tentukan apakah = (1, 1, 2), = (1, 0, 1), dan membangun V??? = (2, 1, 3)

  9. Jawab : Ambil sembarang vektor di R2 misalkan . Tulis : . Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :

  10. Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh : Agar SPL itu konsisten haruslah u3 – u2 – u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian vektor – vektor tersebut tidak membangun R3

  11. Definisibebas linear Misalkan adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni ,..., , Jika solusinya tidak tunggal maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent)

  12. Contoh : dan Diketahui Apakah saling bebas linear di R3 Jawab : Tulis atau

  13. dengan OBE dapat diperoleh : dengandemikiandiperolehsolusitunggalyaitu : k1 = 0, dank2 = 0. Iniberarti ū dan ā adalahsalingbebas linear.

  14. Contoh 8 : Misal : Contoh : Misalkan , , Apakahketigavektordiatassalingbebas linear R3 Jawab : Tulis : atau =

  15. dengan OBE diperoleh : Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak Jadi adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

  16. Jika V adalah sembarang ruang vektor • dan S = { ū1, ū2, … , ūn} merupakan • himpunan berhingga dari vektor – vektor di V, • maka S dinamakan basis bagi V • Jika kedua syarat berikut dipenuhi : • S membangun V • S bebas linear Basis

  17. Contoh : Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut : merupakan basis bagimatriksberukuran 2 x 2 Jawab : Tuliskombinasi linear : atau

  18. denganmenyamakansetiapunsur padakeduamatriks, diperoleh SPL : Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK)  0  SPL memilikisolusi • untuksebarangnilaia,b,c,d, • Jadi,M membangun M2 x 2 • Ketikaa = 0, b = 0, c = 0, d = 0, • det(MK)  0 SPL homogenpunyasolusitunggal. • Jadi, M bebas linear.

  19. Karena M bebas linear danmembangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat… Basis untuksetiapruangvektoradalahtidaktunggal. Contoh : Untukruangvektordari M2 x 2, himpunanmatriks : jugamerupakanbasisnya.

More Related