1 / 48

VEKTOR

VEKTOR. b. R. a. BAB I : VEKTOR. Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

kaida
Download Presentation

VEKTOR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. VEKTOR Fisika I

  2. b R a BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuahbesaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal A) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal. Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor R Fisika I

  3. PENJUMLAHAN VEKTOR Penjumlahan vektor R yang menyatakan perpindahan a ke b dan vektor S yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor T yang menyatakan perpindahan a ke c. Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor R, dengan pangkal vektor kedua, vektor S. Maka resultan vektornya, vektor T, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. b S R T = R + S T c a Fisika I

  4. θ S R T = R + S T BESAR VEKTOR RESULTAN Jika besar vektor R dinyatakan oleh R dan besarvektor S dinyatakan oleh S, maka besar vektor T sama dengan : (1.1) Sudut θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor R dan vektor S Fisika I

  5. PENGURANGAN VEKTOR Untuk pengurangan vektor, misal A – B dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dari A + (-B). Vektor -B atau negatif dari vektor B adalahsebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor B tetapi arahnya berlawanan. D = A – B D -B B A Fisika I

  6. B 40 km U 10 km S 20 km CONTOH Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu ! Fisika I

  7. CONTOH 40 km Jawab : B 10 km C A 20 km 10 km D = A + B + C 40 km Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor A, perpindahan kedua dinyatakan vektor B, dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor C, maka perpindahan total dinyatakan vektor D. Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor D adalah : Fisika I

  8. VEKTOR SATUAN Vektor satuan didefenisikan sebagai : (1.2) • Vektor satuan r tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan r menyatakan arah dari vektor R. • Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan. • Vektor satuan i menyatakan arah sumbu X positif • Vektor satuan j menyatakan arah sumbu Y positif • Vektor satuan k menyatakan arah sumbu Z positif Fisika I

  9. PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS Rz R Ry Rx Vektor R dinyatakan oleh : R = Rxi + Ryj + Rzk Besar vektor R adalah : Vektor dalam 2 Dimensi Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. Fisika I

  10. CONTOH • Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : • Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis • Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X • Panjang vektor y Jawab : (-2,5) ujung Ry (2,2)  pangkal x Rx Vektor perpindahan : R = (xujung – xpangkal)i +(yujung – ypangkal)j R =(-2 – 2)i +(5 – 2)j = -4i + 3j a. Fisika I

  11. y (-2,5) ujung Ry (2,2)  pangkal x Rx CONTOH b. Sudut yang dibentuk : c. satuan Besar vektor R = Fisika I

  12. PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS Jika diketahui sebuah vektor A = xAi + yAj dan vektor B = xBi + yBj, maka penjumlahan vektor A + B = (xA + xB)i + (yA + yB)j. Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : R = (x0 + …+xi + …+xn)i + (y0 + …+yi + …+yn)j (1.3) yA + yB yB A + B B yA B A xB xA A xA + xB Fisika I

  13. CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 2j B = 2i 4j Tentukan : a. A + B dan A + B b. AB dan A  B -B A  B A Jawab : B a. A + B = 3i + 2j + 2i 4j = 5i 2j A + B = A + B b. AB = 3i + 2j (2i 4j)= i+ 6j A  B = Fisika I

  14. SOAL 1. Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya! • Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : • a. Vektor perpindahan benda tersebut • b. Jarak perpindahan • c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya • 3. Diketahui A = 3i + 4j. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan ! 4. Diketahui A = 2i + 4j,B = -7i, dan C = 8j.Tentukan : a. A + B - C b. A + B + C Fisika I

  15. Y R 60o  X SOLUSI R = Rxi + Ryj Diketahui : Rx = R cos  = 4 cos 60o = 2 satuan Ry = R sin  = 4 sin 60o = 2 satuan Dengan demikian R = 2i + 2 j satuan Vektor satuan : r = cos 60o + sin 60o = ½ i + ½ j 1. Fisika I

  16. Y 2 R X 1 5 SOLUSI 2. • R = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j. Titik awal (x1,y1) = (1,2) dan titik akhir (x2,y2) = (5,0). Dengan demikian vektor R = 4 i –2 j. • R = c. Fisika I

  17. Besar vektor A = = 5 satuan Dengan demikian nilai c = 2 satuan 3. SOLUSI a. A + B – C = 2i + 4j -7i -8j =-5i - 4j b. A + B + C = 2i + 4j -7i +8j =-5i + 12j -5i + 12j = = 13 satuan 4. Fisika I

  18. A  B PERKALIAN SKALAR Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku : A . B = AB cos  (1.4) Jika diketahui A = axi + ayj + azk dan B = bxi + byj + bzk, maka : A . B = axbx + ayby + azbz(1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain. Fisika I

  19. PERKALIAN SKALAR Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : i . i = j . j = k . k = 1 i . j = j . k = k . i = 0 Fisika I

  20. CONTOH Diketahui dua buah vektor, A = 3i + 4j dan B = 4i 2j.Tentukan sudut antara vektor A dan B! Jawab : Untuk menentukan sudut antara vektor A dan B dapat menggunakan persamaan (1.4). A  A . B = (3i + 4j) . (4i 2j)= 3.4 + 4.(-2) = 4 AB B Besar vektor A = Besar vektor B = Dengan demikian  = 79,7o Fisika I

  21. PERKALIAN VEKTOR Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku : AB = C (1.6) Besar vektor C adalah : C = AB sin (1.7) Arah vektor C selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan vektor B. Untuk menentukan arah vektor C dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil A B tidak sama dengan B A. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan. B C = A B  B C = -C’ A  C’ = B A A Fisika I

  22. PERKALIAN VEKTOR Perhatikan animasi di samping ini ! Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah : ii = jj = kk = 0 ij = k ; jk = i; ki = j ji = -k ; kj = -i; ik = -j Fisika I

  23. PERKALIAN VEKTOR Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan aturan tangan kanan. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal A B), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor A ke vektor B. Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut. Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini : Fisika I

  24. CONTOH Diketahui dua buah vektor. A = 3i + 4jB = 4i 2j + k Tentukan : a. AB b. Buktikan AB =-BA Jawab : AB = (3i + 4j)  (4i 2j + k) = 3.4(ii) + 3.(-2)(ij) + 3.1(ik) + 4.4(ji) + 4.(-2)(jj) + 4.1(jk) = 12.0 – 6k + 3(-j) + 16(-k) – 8.0 + 4i = 4i – 3j – 22k a. b. BA = (4i 2j + k)  (3i + 4j) = 4.3(ii) + 4.4(ij) +(-2).3(ji) + (-2).4(jj) + 1.3(ki) + 1.3(kj) = 12.0 + 16k – 6(-k)– 8.0 + 3j + 4(-i)= -4i + 3j + 22k = - AB terbukti Fisika I

  25. SOAL • Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor A = i + 2 j – k dan vektor B = 3 i – 4 k ! • Tentukan panjang proyeksi dari vektor A = 4 i + 2 j – k terhadap arah vektor B =i + 3 j – 4 k ! • 3.Diberikan tiga buah vektor : • A = 1 i + 2 j – k • B = 4 i + 2 j + 3 k • C = 2 j – 3 k • Tentukan : • a. A . (BC) • b. A . (B + C) • c. A (B + C) • 4. Buktikan vektor R = 3 i + 2 j - 4 k dan S =2 i + j + 2 k adalah tegak lurus ! Fisika I

  26. A AB B SOLUSI 1. Menurut persamaan (1.5) A . B = 1.3 + 2.0 + (-1).(-4) = 7. Besar vektor A : Besar vektor B : Nilai sudut antara A dan B ditentukan oleh : Dengan demikian  = 55,1o 2. Panjang ABmenyatakan panjang proyeksi A terhadap B yang besarnya : Fisika I

  27. SOLUSI B C =(4i + 2j + 3k) (2j – 3k) = 8(i  j) – 12(i  k) – 6(j  k) + 6(k  j) = 8k + 12j  12i A. (BC) = (i + 2j – k).(-12i + 12j +8k) = -12 + 24 – 8 = 4 3. a. B + C =4i + 4j. Nilai A. (B+C) = (i + 2j – k).(4i + 4j) = 12 b. c. A (B + C) = (i + 2j – k) (4i + 4j) = i – 4j – 4k Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90o. Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh : R . S = RS cos 90o = RS . 0 = 0 R . S =RxSx + RySy + RzSz Jika diketahui R = 3 i + 2 j - 4 k dan S =2 i + j + 2 k,maka : R . S = 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0 4. Fisika I

  28. BESARAN FISIS Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya. S = f(x1, x2, . . . , xn) (1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan xi menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q1, besar muatan kedua q2, jarak antar partikel r12, dan medium di mana kedua partikel tersebut berada. Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja. Fisika I

  29. BESARAN FISIS Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x. y Dari grafik di samping diketahui y1 = f(x1), y2 = f(x2), y3 = f(x3), dan y4 = y1. y1 y2 y3 x x1 x2 x3 x4 Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas. Fisika I

  30. BESARAN FISIS Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. x(t) = (t – 3)2 Fisika I

  31. BESARAN FISIS Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC. Fisika I

  32. CONTOH • Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x ! F F =kx x Fisika I

  33. CONTOH Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e-At) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t ! 2. Q Q = q(1 – e-At) q t Fisika I

  34. DIFERENSIAL Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM. Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu. Lihat gambar di samping. Gradien dari garis singgung pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan : f(x) (1.9) f(c+h) Garis singgung P f(c) x c c+h Fisika I

  35. DIFERENSIAL Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi : (1.10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f’(x) Dxy • Berlaku untuk turunan : • Dx(cf(x)) = c Dxf(x) c : konstanta (1.11a) • Dx(f(x) + g(x)) = Dxf(x) + Dxg(x) (1.11b) • Dx(f(x)g(x)) = (Dxf(x))g(x) + f(x)(Dxg(x)) (1.11c) • Dx(f(g(x))) = Dg(x)f(g(x)).Dxg(x) (1.11d) • Dx(xn) = nXn-1 (1.11e) Fisika I

  36. DIFERENSIAL Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk : Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh : Fisika I

  37. I(t) c. qA t CONTOH • Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : • Q(t) = q(1 – e-At) • dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : • Fungsi arus sebagai waktu • Besar arus saat t = 0 • Gambarkan grafik I(t) Jawab : a. Besar arus I : b. Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe-A.0 = qA Fisika I

  38. x x6 x0 x1 x2 x3 x4 x7 x5 INTEGRAL Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x. Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3)2 + 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai dengan x = 8. Fisika I

  39. INTEGRAL Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)x + f(2)x + f(3)x + f(4)x + f(5)x + f(6)x + f(7)x Nilai x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi. Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya. Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga. Fisika I

  40. INTEGRAL Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain. Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk : Sebagai contoh : Usaha = Gaya  jarak Fluks = Medan  luas Fisika I

  41. b. W W =½kx2 x CONTOH • Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : • Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas • Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : a. Usaha yang dilakukan : Fisika I

  42. V (volt) 8 4 x (m) 10 SOAL 1. • Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax  Bx2. Jika diketahui nilai A = 103 N/m dan B = 5.103 N/m2. Tentukan : • Grafik F terhadap x • Perubahan Gaya F terhadap jarak • Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak. 2. • Tentukan : • Fungsi potensial V sebagai fungsi x • Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x) • Gambarkan grafik E terhadap x Fisika I

  43. SOAL 3. • Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t – 2t2 m/s bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : • Gambarkan grafik v(t) • Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik • Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) • Gambarkan grafik a(t) • Fungsi posisi x(t) terhadap waktu • Posisi saat kecepatan v = 0 Fisika I

  44. F (N) x (cm) SOLUSI 1. a. 1. b. Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh = A – 2Bx = 103 – 104x Fisika I

  45. V (volt) 8 4 10 x (m) SOLUSI 1. c. Usaha yang dilakukan : W = 36.10-4A – 234.10-6B = 2,43 Joule 2. a. Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b. Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4 Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5. Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4 Fisika I

  46. E (V/m) 2,5 x (m) v (m/s) x (m) SOLUSI 2. b. Medan listrik E(x) = = 2,5 Dengan demikian nilai E(x) konstan. 2. c. 3. a. Fisika I

  47. SOLUSI 3. b. Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1 – 2.12 = 6 m/s. Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3 – 2.32 = 12 m/s. 3. c. Percepatan a(t) = = 10 – 4t a (m/s2) 3. d. x (m) Fisika I

  48. SOLUSI 3. e. Fungsi posisi x(t) = Saat v = 10t – 2t2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : 3. f. x(5) = Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m Fisika I

More Related