1 / 20

9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem

Bab 9. 9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem.

felix-weiss
Download Presentation

9.1 Nilai Optimum dan Nilai Ekstrem

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Bab 9 9.1 Nilai Optimum danNilaiEkstrem Dalamilmuekonomikitamengenaltentangmaksiminasidanminimasidenganistilahumumoptimasi, yang berarti“mencari yang terbaik” . Akantetapihaliniberbandingterbalikkarenaistilahtersebuttidakmemilikikaitannyadenganmatematikamurni. Olehkarenaitu, istilahkolektifuntukmaksimumdan minimum sebagaikonsepmatematikialahnilaiekstremum, yang berartinilaiekstrem 9.2 Maksimumdan Minimum Relatif : UjiDerivatif-Pertama EkstremRelativ Vs Absolut Maksimumabsolutpastimerupakanmaksimumrelatifatausalahsatutitikakhirfungsi . Jadi, bilakitamengetahuisemuamaksimumrelatif, makakitahanyaperlumemilih yang terbesardanmembandingkannyadengantitikakhirgunamenentukanmaksimumabsolut

  2. .Selanjutnya, nilai-nilaiekstrem yang dipertimbangkanakanmerupakanekstremrelatifatauekstremlokal, kecualibiladitentukan lain. UjiDerivatif-Pertama Derivatifpertamaadalahturunanpertamasuatufungsi. Misalfungsi y=f(x), maka f’(x) digunakandalammencarinilaiekstrem. Ujiderivatifpertamauntukekstremrelatif. Jikaderivatifpertamapadafungsi f(x) pada x=x0adalah f’(x0) = 0, makanilaifungsi x0,f’(x0) merupakan Maksimumrelatifjika f’(x) berubahtandadaripositifkenegatifdarisebelahkirititik x0kesebelahkanannya Minimum relatifjika f’(x) berubahtandadarinegatifkepositifdarisebelahkirititik x0kesebelahkanannya Tidakmaksimummaupun minimum relatifbila f’(x) mempunyaitanda yang samabaiksebelahkirimaupunsebelahkanantitik x0

  3. 9.3 DerivatifKeduadanDerivatif yang LebihTinggi Contohderivatifpertamasampaikelimasuatufungsi: Contohderivatifpertamasampaikeempatsuatufungsirasional:

  4. 9.4 UjiDerivatifKedua a) x = x0 merupakan titik relatif maksimum jika f "( x ) < 0 b) x = x0 merupakan titik relatif minimum jika f "( x ) > 0 c) x = x0 tidak dapat disimpulkan secara pasti atau uji derivatif kedua gagal jika f "( x ) = 0 Cara menguji kecekungan adalah sbb : a) Jika f "( x ) < 0 maka fungsi cekung ke bawah (concave) b) Jika f "( x ) > 0 maka fungsi cekung ke atas (convex) Titik belok (inflection point) adalah suatu titik dimana kecekungan berubah. Cara mencari titik belok adalah mencari solusi dari f "( x ) = 0

  5. Tabel kondisi relative ekstremum : y = f ( x ) • 9.5 DeretMaclaurin DeretMacLaurinadalahsebuahfungsi yangdapatdinyatakandalambentukderetpolinomial

  6. Tapitidaksemuafungsibisadinyatakandalambentuktersebut, contohnya Untukitu, Taylor membuatderet yang lebihumum,Deret taylor merupakan derivatif dari Deret Maclaurin.Dapat ditulis dengan Teorema Taylor dapat ditulis : Rn= F (n+1)(C) (X-X0 )n+1 (n+1)! Untuk suatu c diantara x dan x0 . Formula Rn disebut bentuk Lagrange (atau bentuk derivatif) dari sisa

  7. 11.1 Versi Diferensial dari Syarat Optimisasi Syarat Orde Pertama : Jika diketahui fungsi z=f(x), kita dapat menulis diferensialdz= f’(x) dx Kondisi derivatif orde pertama “f’(x) = 0” dapat diubah dalam kondisi diferensialorde pertama ; “dz = 0 untuk sembarang nilai dx yang tidak nol”. Syarat Orde Kedua : Syarat cukup orde kedua untuk titik ekstrem z adalah, dalam istilah derivatif, f”(x) < 0 (untuk suatu maksimum) dan f”(x) > 0 (untuk suatu minimum) pada titik stasioner. d2x d(dz) = d[f’(x) dx] = [df’(x)] dx =[f”(x) dx] dx = f”(x) dx2

  8. Dapat diterjemahkan masing – masing, menjadi untuk sembarang nilai. Syarat Diferensial versus Syarat Derivatif Secara lebih spesifik, syarat orde nilai pertama(nilai dz yang sama dengan nol) dan syarat orde kedua (untuk d2x negatif atau positif) dapat digunakan dengan validitas yang sama untuk semua kasus yang diberikan dengan umgkapan “untuk sembarang nilai dx yang tidak sama dengan nol” yang harus dimodifikasi untuk menggambarkan perubahan jumah variabel pilihan. dx ≠ 0

  9. 11.2 NilaiEkstremfungsiduavariabel SyaratOrde 1 • Suatufungsi 2 peubahmemilikinilaimaksimumrelatif pd titik (xo, yo) jikaterdapatlingkaranberpusatdi (xo, yo) s.d.hutksetiap (x, y) didlmlingkarandanf memilikinilaimaksimummutlakdi (xo, yo) bilautk semua titik (x, y) di domain f • Jika f memilikinilaiekstrimrelatifpadatitik (xo, yo) danbilaturunanparsialnyaadapadatitiktsbmakafx(xo , yo ) = 0 dan f y (xo , yo ) = 0

  10. SyaratOrde 2 Misalf fungsi 2 peubah dg turunanparsialorde 2 kontinudalambeberapalingkaranpadatitikkritis (xo, yo) danmisalkanD = f xx (xo , yo ) f yy (xo , yo )− f xy 2 (xo , yo ) a. Jika D > 0 dan f xx (xo , yo ) > 0 , maka f punya minimum relative b. Jika D > 0 danf xx (xo , yo ) < 0,maka f punyamaksimumrelatif c. If D < 0 , maka f memilikititikpelana (a saddle point) d. If D = 0 , makatdkadakesimpulanygdptdigambarkan

  11. 11.3 BentukKuadrat – SuatuEkskursi Setiapsukumempunyaiderajat yang sama- yaitu, dimanajumlaheksponendalamsetiapsukusama, plinominidisebutsebagisuatubentuk (form). Misal : 4x – 9y + z adalahbentuk linear dalamtigavaribel 4x2 – xy + 3y2adalahbentukkuadratdalam 2 variabel Kita jugaakanmenjupaikuadratdalamtigavariabelseperti x2 + 2xy – yw + 7w2, ataujugadalamnvariabel Diferensial Total OrdeKeduasebagaiSuatuBentukKuadrat Q = au2 + 2huv + bv2 dx = u dy = v Variabel

  12. 11.4 FungsiTujuandenganLebihdariDuaVariabel SyaratOrdePertamauntukTitikEkstrem Pembahasansebelumnyamenyatakanbahwa, untukmemperolehsuatu maximum atau minimum darizdiperlukandz= 0 untuksembarangnilaidx1, dx2, dandx3tidak nol. Karenanilaidzsekarang dz= f1 dx1 + f2 dx2 + f3 dx3 , f1 = f2 = f3 = 0 Jadi, syaratperluuntuktitikekstremadalah, bahwasemua derivative parsialordepertamaadalahnol, samasepertiuntukkasusdua variable

  13. SyaratOrdeKedua d2z = d (dz) = f11 dx12 dx1 + f12 dx1 dx2 + f13 dx1 dx3 + f21 dx2 dx1 + f22 dx + f23 dx2 dx3 + f31 dx3 dx1 + f32 dx3 dx2 + f33dx =|H| yang minor utamanyabisa dinyatakansbb |H1| = f11 |H2| = |H3| = |H| Jadi, berdasarkan criteria determinanuntukkedefinitan p[ositifdan negative, kitadapatmenyatakansyaratcukupordekeduauntuksuatutitikekstremdarizsebagaiberikut Z* adalahsuatubilad2z definit negative ataud2z definitpositif

  14. Kasus n-Variabel Z= f (x1, x2, … , xn) diferensialtotalnyaakanmenjadidz= f1 dx1 + f2 dx2 + … + fndxn Sehinggasyaratperluuntuktitikekstrem (dz = 0 untuksembarangdz, tidaksemuanyanol) berartibahwasemuan dserivatifpositifparsialordepertamaharussamadengannol

  15. 11.5 Syaratordekeduadalamhubungannyadengankecembungandankecekungan • Z* = f(x*1 ,……x*n) • d2z semi definitnegatifpada z* (syaratperluordekedua) • d2z adalahdefinitnegatifpada z* (syaratcukupordekedua) • z* adalahmaksimumrelatif • F adalah • cekung • sempurna • F adalah • cekung • z* adalahmaksimumabsolut • d2z • adalah • Definitnegatifdimanasaja • d2z adalah • Definitnegatifdimanasaja • z* adalahmaksimumabsolut yang tunggal

  16. Pengecekankecembungandankecekungan Suatufungsi f adalah (cembungataucekung) bila, untuksetiappasangantitik u dan v yang berbedadalam domain f, danuntuk 0 < 0 < 1 Daliluntukfungsi-fungsidenganjumlahberapapun: Dalil I (fungsi linear) : jikaf(x) = fungsilinear, maka f(x) = fungsicekungdanjugafungsicembung, tetapitidaksempurna Dalil II (negatifdarisuatufungsi) : jikaf(x) fungsicekung, maka f(x) adalahfungsicembung, dsb, demikianjuga, bila f(x) = fungsicekungsempurna, maka f(x) adalahfungsicembungsempurna, dsb. Dalil III (jumlahdarisuatufungsi) : jikaf(x) dan g(x) kedua-duanya= fungsicekung (cembung), maka f(x) + g(x) jugamerupakanfungsicekung (cembung) danbilasatuataukeduanyacekungsempurna (cembungsempurna), maka f(x) + g(x) adalahcekungsempurna (cembungsempurna)

  17. Fungsi yang dapatdideferensialkan Fungsiyang dapatdideferenialkan (fx) adalah (cekung, cembung) jika, untuksetiaptitiktertentu u dansetiaptitik lain v domain. FungsiCembungvsHimpunanCembung Kombinasi linear dariduavektorudanvdapatditulissebagai K1u + k2v, dimana k1dan k2adalahduaskalar Oquvmembentujkjajarangenjang, makadiperoleh u = q + v atauq = u – v Kombinasicembungdarivektor u dan v dapatdinyatakandelambentukvektor q W = Ɵu + (1-Ɵ)v = Ɵu + v – Ɵv = Ɵ(u –v) +v = Ɵq + v

  18. 11.6 PenerapanEkonomi PERMASALAHAN PERUSAHAAN MULTI PRODUK AusmsikanbahwaperusahaandenganduaprodukberadapadakeadaanpersaingansempurnaMaka, fungsipendapatannyaakanmenjadi : Denganmenetapkankeduanyasamadengannol,maka : R1 = P10Q1 +P20Q2 P = harga Qi = tingkat output produkke-i Fungsibiayaperusahaan : C = 2Q12 + Q1Q2 + 2Q22 Yang menghasilkanpemecahantunggal : Fungsilabaperusahaan : Mencaritingkat Q1danQ2 yang,dalamkombinasi,akanmemaksimumkanπ :

  19. DISKRIMINASI HARGA Fungsipendapatan total danfungsibiaya total : R = R1(Q1) + R2(Q2) + R3(Q3) C = C(Q) dimana Q = Q1 +Q 2+ Q3 KEPUTUSAN INPUT DALAM PERUSAHAAN : L* dan K* adalahpersamaanpermintaan input perusahaan. Jikakitasubstitusikan L* dan K* kedalamfungsiproduksi ,kitaperoleh :

  20. 11.7 B y F(v) C F A • F(u) D Fungsi yang data didiferensikan f(x)= f(x1 ,…,Xn) adalah (cekungcembung) jika, untuksetiantitiktertentu u= (U1 ,…,Un) dansetiaptitik lain v= (V1 ,…,Vn) dalam domain, F(v) () f(u) + Σ fj(u) (Vj- Uj) Dimanafj(u) ≡∂f/ ∂ Xjdievaluasipada u= (U1 ,…,Un) Fungsiz data didiferensiasikandua kali secarakontinu z= f(x1 ,…,Xn) adalah (cekung/cembung) jika, danhanyajika, d2 z dimanasajaadalahsemidefinit (negative/positif). Fungsitersebutdikatakan (cekung/cembung) sempurnajika (tetapitidakhanyajika) d2 z dimanasajaadalahdefinit (negative/positif). u v X

More Related