Funkcie - vlastnosti a základné rozdelenie

1. Funkcie - vlastnosti a základné rozdelenie

2. Úvod • Projekcia má priblížiť základné rozdelenie a vlastnosti funkcii. • Autori : Peter Jurečka Michal Uličný Trieda : 3.B

3. Témy • Funkcia • Vlastnosti funkcii • Základné rozdelenie funkcii - Polynóm - Konštantná funkcia - Lineárna funkcia - Kvadratická funkcia - Kubická funkcia - Mocninová - Exponenciálna - Logaritmická

4. 1. Funkcia Funkcia f reálnej premennejxje: - množina f všetkých usporiadaných dvojíc [x, y] RxR, pre ktorú platí: ku každému xR existuje najviac jedno y R tak, že [x, y] f ; - každé zobrazenie v f v množinevšetkých reálnych čísel; - prepis f , ktorý každému x R priraďuje najviac jedno y  R tak, že y=f(x). Definičný obor funkcie f(označujeme ho D)je množina všetkých x R ku ktorým existuje práve jedno y R tak, že x,yf , (y = f(x)). Obor hodnôt funkcie f(označujeme ho H(f)) je množina všetkých yR, ku ktorým existuje aspoň jedno x R tak, že x,yf , (y=f(x)).

5. 2. Vlastnosti funkcii Funkcia f je na množine M : Rastúcax1,x2M platí, ak x1 x2, tak f(x1) f(x2) Klesajúcax1,x2M platí, ak x1 x2, tak f(x1) f(x2) Nerastúcax1,x2M platí, ak x1 x2, tak f(x1) f(x2) Neklesajúcax1,x2M platí, ak x1 x2, tak f(x1) f(x2) Prostáx1,x2M platí, ak x1 x2, tak f(x1) f(x2) Ohraničená zhora existuje h R, že xM platí f(x)h Ohraničená zdola existuje d R, že xM platí f(x)d Ohraničená je ohraničená zhora a súčasne je ohraničená zdola Monotónna je každá funkcia, ktorá je nerastúca alebo neklesajúca

6. Funkcia f má na množine M v bode aM : Minimumx1,x2M platí f(x) f(a) Maximumx1,x2M platí f(x)f(a) Funkcia f je párnax D(f) aj -x D(f) a súčasne x D(f) je f(-x)= f(x) Funkcia f je nepárnax D(f) aj -x D(f) a súčasne x D(f) je f(-x)= -f(x) (Graf párnej funkcieje súmerný podľa osi y a nepárnej podľa začiatku súradnicovej sústavy) Fundcia je periodickáp0 tak, že sxD(f) a kZ ajx+kpD(f) a súčasne x platí: f(x+kp)=f(x). Číslo p sa nazýva perióda funkcie. Nech f je prostá funkcia na D (f), potom inverzná funkcia k funkcii f (označujeme ju f -1 ) je množina všetkých usporiadaných dvojíc x, yRR, pre ktoré platí , že x,yf.

7. 3. Základné rozdelenie funkcii 1.Polynóm nazývame funkciu definovanú na množine M=(-, ), danú rovnicov y = anxn an-1xn-1 ...  a1x  a0 kde a0,a1 ... a n sú reálne čísla, a0 0 a celé nezáporné číslo n je stupeň polynómu nN a) n = 0  f : y = a0 - konštantná funkcia b) n = 1  f : y = a1x + a0 , a1 0 - lineárna funkcia c) n = 2  f : y = a2x2 + a1x + a0 , a2 0 - kvadratická funkcia d) n = 3  f : y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 , a3 0 - kubická funkcia

8. 1.1 Konštantná funkcia y=b , bR • D(f)=R • H(f)={b} • nie je prostá • je ohraničená v každom bode xR • má maximum aj minimum

9. 1.2 Lineárna funkcia • y=ax + b, a,bR  a0 • a0 a0 • D(f)=R -D(f)=R • H(f)=R -H(f)=R • nie je ohraničená -nie je ohraničená • nemá extrémy -nemá extrémy

10. 1.3 Kvadratická funkcia • y=ax2+bx+c, a,b,c R  a 0 Grafom kvadratickej funkcie ak D(f)=R je PARABOLA(alebo jej časť), ktorej os je rovnobežná s osou y. • a0 a0 • D(f)=R -D(f)=R • je ohraničená zdola -je ohraničená zhora • má ostré minimum -má ostré maximum • pri zostrojovaní grafu funkcie y=ax2+bx+c je vhodné nájsť priesečníky s osami • s osou y je to bod, pre ktrorý x=0, teda[0.C] • s osou x je to bod pre ktorý y=0, teda • riešime rovnicu ax2+bx+c=0 • ak D  0, existujú dva rôzne spoločné body • ak D = 0, existuje jediný spoločný bod • ak D  0, parabola nepretína os x. • Ak a  0 leží celá nad osou x. ak a0 leží pod osou x

11. 2. Mocninová funkcia Mocninovou funkciounazývamefunkciu y = xa kde a je číslo Pritom môžu nastať tieto prípady : a) a je prirodzené číslo. Funkcia sa nazýva mocninovou funkciou s prirodzenýn exponentom a je definovaná pre všetky reálne čísla b) a = 0 pričom y(0) = 1. Funkcia je konštanta c) a je celé záporné číslo a = -r, kde r> 0. Potom funkcia je definovaná pre každé x 0 d) a je prevrátená hodnota prirodzeného čísla r, a = 1/r. Potom je funkcia definovaná na intervale (0, ) pre r párne a definovaná na intervale (-, ) pre r nepárne e) a je racionálne číslo a = p/q, kde p, q sú celé čísla a q0. Potom je funkcia definovaná pre všetky kladné čísla. Pre p/q > 0 je funkcia definovaná pre všetky nezáporné čísla. Funkcia je v tomto prípade zložená funkcia, y = up, u = yp/q f) a je iracionálne číslo. Potom definičný obor funkcie je (0, )pre a < 0 a 0, ) pre a > 0. Funkcia je rastúca pre a > 0 a klesajúca pre a < 0.

12. 3. Exponenciálna funkcia y = ax kde a> 0 je definovaná pre všetky reálne čísla. Pre a > 1 je exponenciálna funkcia rastúca, 0< a < 1 klesajúca a a = 1 konštanta

13. 4. Logaritmická funkcia pri základe a, kde 0 < a< 1 aleba a> 1 je definovaná v intervale (0, ) a je inverznou funkciou k exponenciálnej funkcii. Označujeme ju y = logax Táto funkcia je rastúca pre a> 1, klesajúca pre 0 < a < 1. Logaritmická funkcia pri základe e = 2,718281... (Eulerovo číslo) sa nazýva stručne iba logaritmickou funkciou a označuje sa y = ln x. Logaritmickú funkciu pri základe 10 označujeme namiesto log10x iba log x