INTEGRAL CALIBRADO

1. INTEGRAL CALIBRADO Integral de Riemann Generalizado Integral de Henstock-Kurzweil Maria Cristina Gonçalves Silveira de Serpa

2. Definições de INTEGRAL • Integral de Riemann • Integral de Lebesgue • Integral Impróprio de Riemann • Integral Calibrado Ralph Henstock (1955) Jaroslav Kurzweil (1957)

3. Definições de INTEGRAL Integral Calibrado Integral de Lebesgue • Integral Impróprio de Riemann Integral de Riemann

4. A definição deIntegral de Riemann Sejam f: [a,b]→R uma função e V ∈R. V é o integral de Riemann de f e escreve-se V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ > 0, tal que: ∀ n ∈N e os números t0,t1 , t2 ,…, tn e s1, s2 ,…, sn, satisfazendo a = t0 ≤ s1 ≤ t1 ≤ s2 ≤ t2 ≤…≤ tn-1 ≤ sn ≤ tn = b e ti - ti-1 < δ, para todo o i, então

5. Sejam f: [a,b]→R uma função e V ∈R. V é o integral calibrado de f e escreve-se V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ: [a,b] → (0,+∞): ∀ n ∈N e os números t0, t1 , t2 ,…, tn e s1, s2 ,…, sn, satisfazendo a = t0 ≤ s1 ≤ t1 ≤ s2 ≤ t2 ≤…≤ tn-1 ≤ sn ≤ tn = b e ti - ti-1 < δ(si), para todo o i, então A definição deIntegral Calibrado

6. O que há de novo? --- δ --- • Integral de Riemann • δ é uma constante positiva • Integral Calibrado • δ é uma função positiva, chamada calibre

7. Exemplo comIntegral Calibrado Temos: Dado Ɛ > 0, seja e para s > 0, δ(s) > 0 é tal que: Demonstração: Seja f uma função tal que: Com a definição integral calibrado, temos:

8. Exemplo comIntegral Calibrado Logo, , pelo que concluímos que existe uma função δ, nas condições exigidas para mostrarmos que Concretizando, podemos considerar a função: , que satisfaz as condições.

9. Exemplo comIntegral Calibrado

10. Teorema Fundamental do Cálculo Sejam F:[a,b] → R, uma função diferenciável e f a sua derivada: F’(x) = f(x), para cada x ∈ [a,b]. Então, f é integrável em [a,b] e tem-se: Temos então um calibre δ sobre [a,b]. Seja para cada 1 ≤ j ≤ m, xj – δ(xj) ≤ aj-1 ≤ xj ≤ aj ≤ xj+ δ(xj) Demonstração: Fixado Ɛ > 0. Para cada x ∈ [a,b], como F’(x) = f(x), Ǝ δ(x) > 0, tal que, para cada u ∈[a,b] ∩ [x –δ(x),x +δ(x)], temos:

11. Teorema Fundamental do Cálculo

12. Teorema Fundamental do Cálculo

13. Teorema da Convergência Monótona Sejam f : I → R uma função e fk : I → R , k ∈N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: • A sucessão (fk)k converge pontualmente para f • A sucessão (fk)k é monótona • Cada função fk é integrável • A sucessão real (∫I fk)k tem limite finito Então f é integrável em I e ∫I f = lim ∫I fk K → ∞ Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann

14. Teorema da Convergência Monótona Corolário Sejam f : I → R uma função e fk : I → R , k ∈N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: • A série Σkfk converge pontualmente para f • Para cada k ∈ N e cada x ∈ I, temos fk (x) ≥ 0 • Cada função fk é integrável • A série Σk (∫I fk)k converge Então f é integrável em I e

15. Teorema da Convergência Dominada Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann Lema: Sejam f1, f2, …, fn : I → R funções integráveis Se existe uma função integrável g: I → R tal que, para cada x ∈ I e 1 ≤ k ≤ n tem-se: g(x) ≤ fk(x), então também são integráveis: min {f1, f2, …, fn} e max {f1, f2, …, fn}

16. Teorema da Convergência Dominada Sejam f : I → R uma função e fk : I → R , k ∈N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: • A sucessão (fk)k converge pontualmente para f • Cada função fk é integrável • Existem duas funções g, h : I → R tal que g(x) ≤ fk(x) ≤ h(x), para cada k ∈I Então a sucessão (∫I fk)k tem limite finito, f é integrável em I e