Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª . ELENI BISOGNIN

1. Aluna: CRISTINA MEDIANEIRA DE SOUZA CHAVES Orientadora: Drª. ELENI BISOGNIN CENTRO UNIVERSITÁRIO FRANCISCANO Modelagem Matemática e o Uso do Álcool e do Cigarro: uma Forma de Contextualizar a Matemática

2. O USO DA METODOLOGIA DA MODELAGEM MATEMÁTICA Nesse trabalho de dissertação optamos pela utilização da metodologia da Modelagem Matemática por propiciar um estudo da matemática relacionando-o à situações da realidade. A escolha do tema referente ao uso de drogas, em particular o uso do álcool e do cigarro, deu-se em comum acordo entre a professora da turma e os alunos. Durante o desenvolvimento das etapas da Modelagem foi possível aos alunos pesquisarem sobre o tema escolhido, elaborar problemas, resolvê-los matematicamente e, sempre que possível, fizeram a análise crítica da solução.

3. LANÇAMENTO DO TEMA O início do trabalho foi no auditório do colégio. Na apresentação, foram utilizadas reportagens de revistas, dados estatísticos e montagens de fotos que permitiram que o assunto fluísse livremente. Os alunos puderam fazer colocações sobre o uso do álcool e do cigarro, comentando seus malefícios.

4. Utilizamos uma linguagem própria à idade dos alunos.Mostramos percentuais estatísticos do consumo de álcool e de cigarro pelos jovens,no Brasil e em alguns países; reportagens da revista SAÚDE! de março de 2005, que falava sobre o consumo de álcool entre os jovens; reportagem da revista GALILEU de fevereiro de 2005, que tratava dos efeitos de uma bebedeira; reportagem da revista SUPERINTERESSANTE de junho de 2003, comentando a ascensão e queda do consumo de tabaco; reportagem do jornal A RAZÃO de 30 agosto de 2005sobre esse assunto.

5. Procuramos deixá-los interessados em buscar informações sobre o consumo de álcool e de cigarro e sobre seus efeitos no organismo humano. Orientamos os alunos a coletarem informações em jornais, livros, revistas, internet, periódicos especializados, etc.

6. CONFECÇÃO DE CARTAZES Após a apresentação os alunos confeccionaram cartazes referentes ao tema. Abaixo estão algumas imagens. Selecione a Figura Clique aqui para ver o clip dos cartazes

18. ATIVIDADES PROPOSTAS AOS ALUNOS Após a confecção dos cartazes e ampla discussão sobre o tema, levantamos junto com os alunos, dados e, em função destes, criaram-se situações problema. A primeira atividade referiu-se ao  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria – RS. Foi dado um pequeno texto retirado de uma revista alertando que o álcool entra cada vez mais cedo e em doses altíssimas na vida dos adolescentes.

19. A seguir, apresentamos as seguintes atividades: ATIVIDADE 1 - Nos últimos anos, o percentual de estudantes do Ensino Médio que usaram álcool tem aumentado 10% a cada ano. - No ano 2000, havia, em Santa Maria, aproximadamente 11000 estudantes do Ensino Médio usuários de álcool. Com base nessas informações perguntamos: Qual a previsão do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, para os anos de 2005, 2010, 2015 e 2020, caso a taxa de crescimento permaneça constante?

20. Dinâmica de Resolução da Atividade Vamos considerar o número inicial de estudantes que havia em Santa Maria no ano 2000, ou seja, 11000 estudantes e pela taxa de crescimento , 10% , para obtermos o número de usuários nos anos 2005, 2010, 2015 e 2020.

21. Em 2001 teremos: 11000 + 10/100 . 11000 = 11000 + 1100 = 12100 usuários Em 2002: 12100 + 10/100 . 12100 = 12100 + 1210 = 13310 usuários Em 2003: 13310 + 10/100. 13310 = 13310 + 1331 = 14641 usuários Em 2004: 14641 + 10/100. 14641 = 14641 + 1464,1= 16105 usuários Em 2005: 16105 + 10/100. 16105 = 16105 + 1610,5 = 17716 usuários. Para organizar os dados numa tabela, indicou-se o ano 2000 como sendo o ano zero:

22. Tabela 1 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Fonte: Dados construídos a partir do  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS

23. Dividindo-se o número de usuários de um ano pelo número de usuários do ano anterior, obteve-se uma constante Considerando-se o número inicial de usuários, tem-se: Valor inicial: 11000 Após 1 ano: 11000 . 1,1 Após 2 anos: 11000 . 1,1 . 1,1 = 11000 . (1,1)2 Após 3 anos: 11000 . (1,1)3 e Após t anos: 11000 . (1,1)t Falando-se numa linguagem mais formal:

27. Esses valores foram analisados de maneira crítica, e verificou-se sua compatibilidade com a realidade, o que na Modelagem identifica-se como “VALIDAÇÃO” do modelo encontrado. Os alunos acharam que esses resultados estavam altos demais. Concluiu-se então, que para serem verdadeiros, a taxa de aumento de usuários de álcool teria que ser mantida constante, assim como o aumento na taxa de crescimento do número de estudantes do Ensino Médio também teria que ser proporcional.

29. Usando o programa Excel foi construído o gráfico da Função Exponencial para analisar seu comportamento. Inicialmente construiu-se uma tabela com os valores encontrados: Tabela 2 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Fonte: Dados OBTIDOS a partir do  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

30. Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

31. ATIVIDADE 2 Construir no Excel, o gráfico das funções e compare-os. O que podemos concluir? Dinâmica de Resolução da Atividade Para construir o gráfico, elaborou-se uma tabela, usando a lei das funções para determinar pontos do seu gráfico.

32. Tabela 3 Valores de U(x), P(x) e Q(x). Fonte: Dados da autora

33. Usando os pontos da tabela, construiu-se o gráfico da função:

34. O modelo matemático que nos dá o número de usuários de álcool no Ensino Médio, em Santa Maria, a partir do ano 2000 é: Em que ano em que o número de usuários chegará a 98,50 milhares? ATIVIDADE 3

35. . Resolvendo fica , ou ainda . Para descobrir “t”, usa-se a calculadora, fazendo-se diversas substituições até encontrar o valor mais aproximado, chegando-se, assim, há 23 anos. Dinâmica de Resolução da Atividade Igualando-se a lei da função a esse valor, pretende-se encontrar o ano, que será representado por t. Igualando-se os valores, obtém-se

36. Como o ano inicial (ano 0) é contado em 2000, passados 23 anos, conclui-se que o número de usuários de álcool, no Ensino Médio, em Santa Maria, chegará a 98,50 milhões, aproximadamente em 2023. Fazendo-se a interpretação crítica do resultado encontrado, conclui-se que ele não condiz com a realidade, pois seria muito alto, mesmo para 2023. Faz-se necessário lembrar que as populações crescem exponencialmente por um certo intervalo de tempo. Quando são transcorridos muitos anos, os crescimentos populacionais deixam de ser exponenciais

37. ATIVIDADE 4 A atividade a seguir teve o objetivo de explorar várias situações relacionadas à Função Exponencial, principalmente no que se refere ao seu gráfico. Estime em quanto tempo o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria: dobrará triplicará Construa no Excel o gráfico da função, aparecendo as situações a e b.

38. Dinâmica de Resolução da Atividade • Para descobrir o ano em que o número de usuários vai dobrar, basta tomar o valor inicial, que é de 11 milhares e calcular o dobro, ou seja, 22 milhares. Como o modelo matemático é descrito por • , para obter o dobro, ou seja, 22, procura-se o valor de t, tal que . Fazendo-se ,isto é, t é aproximadamente 7,5 anos. Portanto, conclui-se que, para a população de usuários de álcool no ensino Médio em Santa Maria dobrar, seriam necessários, aproximadamente, 7 anos e 6 meses.

39. b) Para o número de usuários chegar ao triplo, basta triplicar-se o valor inicial, passando-se de 11 milhares para 33 milhares. De maneira análoga a anterior, faz-se , igualando-se , de onde se conclui que o valor de t é de aproximadamente 11,5 anos. Assim, descobre-se que seriam necessários 11 anos e 6 meses para que o número de usuários de álcool no ensino Médio, em Santa Maria, triplique. c) Para construir o gráfico no Excel, constrói-se inicialmen- te a tabela, incluindo-se os resultados encontrados nas letras a e b:

40. Tabela 4 Usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria. Fonte: Dados construídos a partir do  Estudo Epidemiológico Sobre o Uso de Drogas Psicotrópicas por Estudantes do Ensino Fundamental, Médio e Superior de Santa Maria–RS.

41. Gráfico da função: Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS. Pode-se observar, graficamente, o ano em que a população dobrou e também quando triplicou.

42. ATIVIDADE 5 Use o modelo que construímos para o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria para estimar o número de usuários que havia em 1990, admitindo-se que a taxa de crescimento é a mesma e construa o gráfico no Excel, incluindo essa situação. Dinâmica de Resolução da Atividade Como o modelo encontrado tem como ano 0 o ano 2000, e a pergunta refere-se ao ano 1990, isto é, há dez anos atrás, deve-se usar para t 0 o valor -10: milhares Assim, o número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria, no ano de 1990 é de 4180.

43. Construção do Gráfico Figura 4 - Gráfico do número de usuários de álcool no Ensino Médio em Santa Maria-RS.

44. ATIVIDADE 6 Identifique nas tabelasa seguirse elas representam ou não os dados de uma Função Exponencial: a) b)

45. Dinâmica de Resolução da Atividade

46. 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 ATIVIDADE 7 O número de usuários (em milhares) de álcool numa cidade tem crescido nos últimos 6 anos segundo o gráfico da Função Exponencial dada abaixo: a) Use o gráfico para estimar em que ano a população dobrou. b) Verifique graficamente que o tempo necessário para a população duplicar não depende do ponto onde se começa a analisar.

47. Dinâmica de Resolução da Atividade Considerando a população inicial como sendo a ordenada inicial, percebe-se, pelo gráfico, que esta é menor do que 100 e que, para dobrar precisa de quase 2 anos, associando-a à abscissa correspondente. Esse é o tempo necessário para que qualquer valor da população venha a dobrar, que nada mais é do que o fator de crescimento desta função.

48. ATIVIDADE 8 • Pesquise a população do estado de São Paulo no ano 2000, após descubra o número de dependentes de álcool nessa população e a taxa de crescimento do número de dependentes a cada ano. • Responda às seguintes questões: • a) Qual é o modelo matemático que descreve o número de dependentes de álcool a partir do ano 2000, em função do tempo t? • b) Se essa taxa permanece constante, qual será a previsão para o número de dependentes em 2010?

49. Obteve-se as seguintes informações: • no ano 2000, a população do Estado de São Paulo era de aproximadamente 37 milhões, segundo dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), • aproximadamente 6,6% da população eram dependentes de álcool nesse ano; • a taxa de crescimento do número de dependentes era de 1,4% a cada ano (IBGE, 2005 e CEBRID, 2000).

50. Dinâmica de Resolução da Atividade Primeiramente, calcula-se o número inicial de dependentes no ano 2000, que corresponde a 2,44milhões. Sabendo a taxa anual de dependentes, que é de 1,4% , ou seja, 0,014, encontra-se o fator de crescimento, que é 1,014.