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Studio di Funzioni

ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE. Studio di Funzioni. Lavoro svolto da Osorio Carolina, Shkupa Rosena, Persello Micke, Gallinelli Olsen, Quaino Mattia e Del Missier Luigi. INDICE. Introduzione

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  1. ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA RISTORAZIONE “B. STRINGHER”- UDINE Studio di Funzioni Lavoro svolto da Osorio Carolina, Shkupa Rosena, Persello Micke, Gallinelli Olsen, Quaino Mattia e Del Missier Luigi

  2. INDICE • Introduzione • Calcolo campo di esistenza • Primo sviluppo del grafico • Calcolo intervalli di positività • Secondo sviluppo del grafico • Calcolo dei limiti • Grafico finale

  3. Funzioni razionali fratte La funzione che analizzeremo è una funzione razionale fratta perché l’incognita X esiste sia al numeratore che al denominatore. X2 – 5x + 6 Y= X2 – 3x - 10

  4. CALCOLO DEL CAMPO DI ESISTENZA Pongo il Denominatore = da 0 X2 – 3x – 10 = 0 Nel calcolo del campo di esistenza si determinano i valori che non appartengono al CE della suddetta funzione, cioè quei valori che sostituiti alla variabile X annullano il denominatore e quindi l’intera funzione +3 + 9 + 40 X1,2 = 2 +5 X1 +3 + 7 = = 2 -2 X2 CE = R ma X = +5 e X = -2

  5. I valori ricavati dal calcolo del Campo di Esistenza vengono contrassegnati con il simbolo che significa “non esiste”. Quindi questi valori non potranno essere attraversati dal diagramma perché non appartenenti al campo di esistenza di questa funzione Y -2 +5 X

  6. CALCOLO INTERVALLI DI POSITIVITA' CALCOLO DEL NUMERATORE Con il calcolo degli intervalli di positività si andranno a determinare gli intervalli in cui una funzione è positiva, cioè si sviluppa sul semipiano delle ordinate positive, e gli intervalli in cui è negativa, cioè si sviluppa sul semipiano delle ordinate negative. Questa è una funzione razionale fratta quindi per calcolare gli intervalli dove la y è > 0 devo porre il N> 0 e il D> 0 X2 – 5x + 6 > 0 +5 + 25 - 24 X 1,2 = 2 +3 x1 +5 + 1 = = 2 +2 x2

  7. Grafico Numeratore Grafico Denominatore +2 +3 -2 +5 - - + - - + - - + + + + - - + + + + Grafico y = N/D -2 +2 +3 +5 N + + - + + D + - - - + N/D + - + - +

  8. Gli intervalli occupati dai rettangoli colorati non interessano lo svolgimento della funzione a differenza degli intervalli negli spazi bianchi che saranno quelli dove verrà conclusa la funzione. Y -2 +2 +3 +5 X

  9. CALCOLO DEI LIMITI Per limite di una funzione Y = f(x) si intende il valore che la funzione tende a raggiungere con l’attribuzione di un determinato valore. Questi valori derivano dai calcoli di positività appena svolti del numeratore e del denominatore

  10. Per il calcolo dei limiti per x  e x - applico il seguente metodo: +1 -5 +6 +1 -5 +6 Lim Lim X2 X2 x x2 x x2  - X X = +1 = +1 +1 -3 -10 +1 -3 -10 X2 X2 x x2 x x2 Per il calcolo dei limiti per x x0 applico il seguente metodo: Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X -2+ = X -2- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x- +2) 1(-2 -3) (-2 -2) 20 1(-2 -3) (-2 -2) 20  - = = = = = = 1(-2 -5) (-2++2) 1(-2 -5) (-2+2) 0- 0+

  11. Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +2+ = X +2- = 1(x -5) (x +2) 1(x -5) (x +2) 1(+2 -3) (+2+ -2) 0- 1(+2 -3) (+2+ -2) 0+ = = = 0+ = = = 0- 1(+2 -5) (+2 +2) -12 1(+2 -5) (+2 +2) -12 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +3+ = X +3- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+3+ -3) (+3 -2) 0+ 1(+3- -3) (+3 -2) 0- = = = 0- = = = 0+ 1(+3 -5) (+3+2) -10 1(+3 -5) (+3+2) -10 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +5+ = X +5- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+5 -3) (+5 -2) +6  1(+5 -3) (+5 -2) +6 - = = = = = = 1(+5+ -5) (+5+2) 0+ 1(+5- -5) (+5+2) 0-

  12. Y A questo punto inseriamo i risultati ottenuti nel grafico … +1 +3 -2 +2 +5 X … e otterremo

  13. Tracciate le parabole il grafico è concluso. La funzione si sviluppa negli intervalli bianchi. Y +1 +3 -2 +2 +5 X

  14. INDIS • Introduzion • Calcul cjamp di esistence • Prin svilup dal grafic • Calcul intervai di positivitât • Secont svilup dal grafic • Calcul dai limits • Grafic finâl

  15. Funzions razionâls fratis La funzion che o analizarìn e je une funzion razionâl frate parcè che la incognite Xe e esist sedi al numeradôr che al denominadôr. X2 – 5x + 6 Y= X2 – 3x - 10

  16. CALCUL DAL CJAMP DI ESISTENCE O met il Denominadôr = di 0 X2 – 3x – 10 = 0 Intal calcul dal cjamp di esistence si determinin i valôrs che no partegnin al CE de soredite funzion, val a dî chei valôrs che sostituîts ae variabile X a anulin il denominadôr e duncje dute la funzion +3 + 9 + 40 X1,2 = 2 +5 X1 +3 + 7 = = 2 -2 X2 CE = R ma X = +5 e X = -2

  17. I valôrs tirâts fûr dal calcul dal Cjamp di esistence a vegnin marcâts cun che al esprim no esistent. Partant chescj valôrs no podaran jessi traviersâts dal diagram parcè che no partegnin al Cjamp di esistence di cheste funzion. Y -2 +5 X

  18. CALCUL INTERVAI DI POSITIVITÂT CALCUL DAL NUMERADÔR Cul calcul dai intervai di positivitât si larà a determinâ i intervai dulà che une funzion e je positive, val a dî si svilupe sul semiplan de ordenade positive e i intervai dulà che e je negative, val a dî si svilupe sul semiplan de ordenade negative. Cheste e je une funzion razionâl frate partant par calcolâ i intervai dulà che y al e > 0 o ai di meti il N>0 ei D>0. X2 – 5x + 6 > 0 +5 + 25 - 24 X 1,2 = 2 +3 x1 +5 + 1 = = 2 +2 x2

  19. Grafic Numeradôr Grafic Denominadôr +2 +3 -2 +5 - - + - - + - - + + + + - - + + + + Grafic y = N/D -2 +2 +3 +5 N + + - + + D + - - - + N/D + - + - +

  20. I intervai cjapâts dai retangui colorâts a interessin il davuelziment de funzion diferent dai intervai dentri dai spazis blancs che a saran chei dulà che si sierarà la funzion. Y -2 +2 +3 +5 X

  21. CALCUL DAI LIMITS Par limit di une funzion Y=f(X) si intint il valôr che la funzion e tint a jonzi cu la atribuzion di un determinât valôr. Chescj valôrs a divegnin dai calcui di positivitât a pene distrigâts dal numeradôr e dal denominadôr.

  22. Par calcolâ i limits par x  e x - o aplichi chest metodi: +1 -5 +6 +1 -5 +6 Lim Lim X2 X2 x x2 x x2  - X X = +1 = +1 +1 -3 -10 +1 -3 -10 X2 X2 x x2 x x2 Par calcolâ i limits par x x0 o aplichi chest metodi : Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X -2+ = X -2- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x- +2) 1(-2 -3) (-2 -2) 20 1(-2 -3) (-2 -2) 20  - = = = = = = 1(-2 -5) (-2++2) 1(-2 -5) (-2+2) 0- 0+

  23. Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +2+ = X +2- = 1(x -5) (x +2) 1(x -5) (x +2) 1(+2 -3) (+2+ -2) 0- 1(+2 -3) (+2+ -2) 0+ = = = 0+ = = = 0- 1(+2 -5) (+2 +2) -12 1(+2 -5) (+2 +2) -12 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +3+ = X +3- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+3+ -3) (+3 -2) 0+ 1(+3- -3) (+3 -2) 0- = = = 0- = = = 0+ 1(+3 -5) (+3+2) -10 1(+3 -5) (+3+2) -10 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +5+ = X +5- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+5 -3) (+5 -2) +6  1(+5 -3) (+5 -2) +6 - = = = = = = 1(+5+ -5) (+5+2) 0+ 1(+5- -5) (+5+2) 0-

  24. Y A chest pont o inserìn i risultâts otignûts intal grafic ... +1 +3 -2 +2 +5 X … e o otignìn

  25. Segnadis lis parabulis il grafic al è finît. La funzion si svilupe intai intervai blancs. Y +1 +3 -2 +2 +5 X

  26. PËRMBAJTJA • Parathënia • Dhogaritja e fushës së ekzistencës • Zhvillimi i parë i grafikut • Dhogaritja e intervaleve pozitive • Zhvillimi i dytë i grafikut • Dhogaritja e limiteve • Grafiku i fundit

  27. Funzioni racional i fraksionit Funzioni që do të analizojme është një funksion razional i fraksionit sepse e panjoftura X ekziston si tek numëratori ashtu dhe tek emërori. X2 – 5x + 6 Y= X2 – 3x - 10

  28. DHOGARITJA E FUSHËS SË EKZISTENCES Pongo il Denominatore = da 0 X2 – 3x – 10 = 0 Në dhogaritjen e fushës së ekzistences percaktohen vlerat që nuk i përkasin CE të këtij funzioni, d.m.th ato vlera që zëvëndësohen me të papërcaktumen X anullojnë emërorin dhe dhe si rrjedhojë të gjithë funksionin. +3 + 9 + 40 X1,2 = 2 +5 X1 +3 + 7 = = 2 -2 X2 CE = R ma X = +5 e X = -2

  29. Vlerat që nxjerrin nga dhogaritja e fushës së Ekzistences shënohen me shenjen që tregon se nuk ekziston. D.m.th këto vlera nuk mund të kalohen nga diagrama sepse nuk i përkasin fushes së ekzistences së këtij funksionit. Y -2 +5 X

  30. DHOGARITJA E INTERVALIT POZITIV DHOGARITJA E NUMËRORIT Me anë të dhogaritjes së intervalit të pozitivitetit do të percaktohen intervalet në të cilat një funksion është pozitiv, d.m.th që zhvillohet tek gjysëmfusha e ordinatore pozitive, dhe intervalet në të cilat ashtë negativa, d.m.th zhvillohet në gjysëmfushen e ordinatave negative. X2 – 5x + 6 > 0 +5 + 25 - 24 X 1,2 = 2 +3 x1 +5 + 1 = = 2 +2 x2

  31. Grafikut NUMERORI Grafikut EMRORI +2 +3 -2 +5 - - + - - + - - + + + + - - + + + + Grafikut y = N/D -2 +2 +3 +5 N + + - + + D + - - - + N/D + - + - +

  32. Intervalet e zëna nga kuadratet e ngjyrosura nuk i interesojnë zhvillimi të funksionit, ndryshe nga intervalet në hapësirat e bardha që janë ata ku do të kryhet funksionit. Y -2 +2 +3 +5 X

  33. DHOGARITJA E LIMITEVE Për limitet të një funksini Y = f(x) kuptojmë vlerën që funksioni kërkon të arrijë me anën e përcaktimit të një vlerë të dhënë. Këto vlera dalin nga dhogaritjet e pozitiviteteve të sapo zgjedhuara të numerorit dhe të emërorit.

  34. Per il calcolo dei limiti per x  e x - applico il seguente metodo: +1 -5 +6 +1 -5 +6 Lim Lim X2 X2 x x2 x x2  - X X = +1 = +1 +1 -3 -10 +1 -3 -10 X2 X2 x x2 x x2 Per il calcolo dei limiti per x x0 applico il seguente metodo: Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X -2+ = X -2- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x- +2) 1(-2 -3) (-2 -2) 20 1(-2 -3) (-2 -2) 20  - = = = = = = 1(-2 -5) (-2++2) 1(-2 -5) (-2+2) 0- 0+

  35. Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +2+ = X +2- = 1(x -5) (x +2) 1(x -5) (x +2) 1(+2 -3) (+2+ -2) 0- 1(+2 -3) (+2+ -2) 0+ = = = 0+ = = = 0- 1(+2 -5) (+2 +2) -12 1(+2 -5) (+2 +2) -12 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +3+ = X +3- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+3+ -3) (+3 -2) 0+ 1(+3- -3) (+3 -2) 0- = = = 0- = = = 0+ 1(+3 -5) (+3+2) -10 1(+3 -5) (+3+2) -10 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +5+ = X +5- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+5 -3) (+5 -2) +6  1(+5 -3) (+5 -2) +6 - = = = = = = 1(+5+ -5) (+5+2) 0+ 1(+5- -5) (+5+2) 0-

  36. Y +1 +3 -2 +2 +5 X

  37. Funksioni zhvillohet tek intervale e bardha. Y +1 +3 -2 +2 +5 X

  38. INDEX • Introduction • Calculation of camp of existence • First development of the graphic • Calculation of intervals of positiveness • Second development of the graphic • Calculation of the limits • Final graphic

  39. Rationals fractions functions The function that we analyze is a rational fraction functions because the unknow quantity X exist either to the numerator whether to the denominator. X2 – 5x + 6 Y= X2 – 3x - 10

  40. Calculation of camp of existence We put the denominator = from 0 X2 – 3x – 10 = 0 With this calculation we determine the values that don’ t appertain to the CE (calculation of the Camp of existance) of this function, videlicet those values that substitute to the variable X void the denominator and consequently the entire function. +3 + 9 + 40 X1,2 = 2 +5 X1 +3 + 7 = = 2 -2 X2 CE = R but X = +5 and X = -2

  41. The values obtain from the calculation of Camp of Existance are marked with this symbol that means non-existent. So this values can’ t be cross by the diagram because they don’ t appartain to the camp of existence of this function. Y -2 +5 X

  42. Calculation of intervals of positiveness CALCULATION OF NUMERATOR With the calculation of the intervals of positivess we can determine the intervals where a function is positive and its development on the x-axis of the positives ordinates; and we can also determine the intervals where the function is negative and its development on the x-axis of the negatives ordinates. This is a rational fraction function so for the calculation of the intervals where the y is > 0 we must put the N> 0 e il D> 0 X2 – 5x + 6 > 0 +5 + 25 - 24 X 1,2 = 2 +3 x1 +5 + 1 = = 2 +2 x2

  43. Graph Numerator Graph Denominator +2 +3 -2 +5 - - + - - + - - + + + + - - + + + + Graph y = N/D -2 +2 +3 +5 N + + - + + D + - - - + N/D + - + - +

  44. The intervals occupied by coloured rectangles don’ t concern the development of the function, but the intervals in the white spaces are where the function is concluded. Y -2 +2 +3 +5 X

  45. Calculation of the limits The limit of a function Y = f(x) is the value which the function stretch to reach with the attribution of a appointed value. This values turn from the calculation of camp of existence ,at the denominator, and the calculation of intervals of positivess at the numerator.

  46. For the calculation of the limits of x  e x - we apply the following method: +1 -5 +6 +1 -5 +6 Lim Lim X2 X2 x x2 x x2  - X X = +1 = +1 +1 -3 -10 +1 -3 -10 X2 X2 x x2 x x2 For the calculation of the limits of x x0 we apply the following method : Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X -2+ = X -2- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x- +2) 1(-2 -3) (-2 -2) 20 1(-2 -3) (-2 -2) 20  - = = = = = = 1(-2 -5) (-2++2) 1(-2 -5) (-2+2) 0- 0+

  47. Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +2+ = X +2- = 1(x -5) (x +2) 1(x -5) (x +2) 1(+2 -3) (+2+ -2) 0- 1(+2 -3) (+2+ -2) 0+ = = = 0+ = = = 0- 1(+2 -5) (+2 +2) -12 1(+2 -5) (+2 +2) -12 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +3+ = X +3- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+3+ -3) (+3 -2) 0+ 1(+3- -3) (+3 -2) 0- = = = 0- = = = 0+ 1(+3 -5) (+3+2) -10 1(+3 -5) (+3+2) -10 Lim Lim 1(x -3) (x -2) 1(x -3) (x -2) X +5+ = X +5- = 1(x -5) (x+2) 1(x -5) (x+2) 1(+5 -3) (+5 -2) +6  1(+5 -3) (+5 -2) +6 - = = = = = = 1(+5+ -5) (+5+2) 0+ 1(+5- -5) (+5+2) 0-

  48. Y At this point we insert the risults obtained in the graph … +1 +3 -2 +2 +5 X … and we will obtain

  49. When we draw the parabolas the graph is concluded. The function develop itself in the white intervals. Y +1 +3 -2 +2 +5 X

  50. INDICE • Introducciòn • Calculo campo de existencia • Primer desarrollo del grafico • Càlculo intervalos de positividad • Segundo desarrollo del grafico • Càlculo de los limites • Grafico final

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