Integrazione di funzioni

1. Integrazione di funzioni

2. Il problema della quadratura • Data una funzione f(x) definita in un intervallo [a,b], si vuole valutare l’integrale: a partire dai valori della funzione integranda f(x) in un insieme di punti compresi nell’intervallo di integrazione • In tutti i metodi di quadratura si effettua una somma di valori della funzione integranda • Un buon metodo di quadratura deve: • valutare l’integrale con la maggior precisione possibile • sfruttare il minor numero possibile di valori della funzione integranda

3. Notazioni • Supponiamo di avere una serie di N ascisse equispaziate x1, x2, ... , xN : • x1=a; xN=b • h = distanza tra ciascuna coppia di ascisse • (b-a) = (N-1)h • xk=xk+(k-1)h con k=1,...,N • poniamo f(xi)=fi • Formule chiuse: • utilizzano nel calcolo i valori di f1 e fN • Formule aperte: • non utilizzano nel calcolo uno o entrambi i valori di f1 e fN • possono essere utili se il valore di f in uno degli estremi di integrazione è infinito (purché la singolarità sia integrabile) y fi=f(xi) h x x1=a x2 xi xN=b

4. Regola del trapezio • Consiste nell’approssimare l’integrale nell’intervallo tra xj e xj+1 nel modo seguente: • Se f(x)≥0, tale valore rappresenta l’area del trapezio di basi fj e fj+1 e altezza h • in sostanza, nell’intervallo tra xj e xj+1 la f(x) viene approssimata da un polinomio di primo grado • Il valore dell’integrale calcolato con la regola del trapezio differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h3 per la derivata seconda della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1] • La formula del trapezio è esatta per polinomi fino al primo grado

5. Regola del trapezio estesa • Utilizziamo la regola del trapezio N-1 volte negli intervalli [x1,x2], [x2,x3], ..., [xN-1,xN]: • nel calcolo precedente si è assunto N-1≈N, il che è vero per N grande • La precisione migliora con il quadrato del numero di punti utilizzati per il calcolo • raddoppiando i punti l’errore diminuisce di un fattore 4

6. Applicazione della regola del trapezio • Si procede per approssimazioni successive: • nella prima iterazione si utilizzano i valori di f(x) negli estremi di integrazione • nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente • alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 2n-1 intervalli elementari 1 2 3 iterazioni 4 ...

7. Implementazione dell’algoritmo (1) • Poniamo b-a=Δ e indichiamo con In l’integrale calcolato nella n-esima iterazione. • Alla prima iterazione si ha: • Alla seconda iterazione avremo: • Alla terza iterazione si avrà:

8. Implementazione dell’algoritmo (2) • Generalizzando il risultato trovato in precedenza possiamo concludere che: • Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 4. • In generale, la procedura iterativa viene fermata quando: dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

9. Esempi (1) • Supponiamo di voler calcolare l’integrale con una precisione ε=10-6. Si ha:

10. Esempi (2) • Supponiamo di voler calcolare l’integrale con una precisione ε=10-6. Si ha:

11. Regola di Simpson (1) • Consideriamo l’intervallo tra xj-1 e xj+1 • Usiamo la seguente notazione: • xj-1=xj-h; f(xj-1)=fj-1 • f(xj)=fj • xj+1=xj+h; f(xj+1)=fj+1 • Nell’intervallo in esame approssimiamo la f(x) con una parabola passante per i tre punti (xj-1,fj-1), (xj,fj), (xj+1,fj+1): • scrivendo l’equazione della parabola in questa forma è automaticamente rispettata la condizione f(xj)=fj • I coefficienti a e b si determinano imponendo le condizioni; • f(xj-h)=fj-1 • f(xj+h)=fj+1

12. Regola di Simpson (2) y • L’integrale tra xj-1 e xj+1 della f(x) è dato da: fj fj+1 fj-1 h h x xj-1 xj xj+1

13. Regola di Simpson (3) • Calcoliamo quindi il coefficiente b: • Sommando membro a membro le due equazioni si ha: • Sostituendo il valore di b nella formula dell’integrale: • Il valore dell’integrale calcolato con la formula di Simpson differisce dal valore vero per un termine che è dell’ordine di h5 per la derivata quarta della funzione calcolata in un punto (non noto) dell’intervallo [xj,xj+1] • La formula di Simpson è esatta per polinomi fino al terzo grado

14. Formula di Simpson estesa 2h 2h 2h • Dividiamo l’intervallo [a,b] negli (N-1)/2 intervalli: • [x1,x3], [x3,x5], ..., [xN-2,xN] • a=x1; b=xN • h=(b-a)/(N-1) • Si ha: x a=x1 x2 x3 xN=b x4 x5 ... xN-2 xN-1

15. Applicazione della regola di Simpson • L’algoritmo è molto simile a quello usato per la regola del trapezio • Anche in questo caso si procede per approssimazioni successive: • nella n-esima iterazione vengono aggiunti 2n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi degli intervalli elementari definiti dall’iterazione precedente • alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 2n-1 intervalli elementari • nella n-esima iterazione si sfrutta il risultato ottenuto con la regola del trapezio nell’iterazione precedente 1 2 3 iterazioni 4 ...

16. Implementazione dell’algoritmo (1) • Poniamo ancora b-a=Δ • Per la n-esima iterazione poniamo: • Sn = integrale calcolato con la regola di Simpson • Tn = integrale calcolato con la regola del trapezio • Alla prima iterazione si ha: • notare che S1=0 perché nella prima iterazione si considerano solo due punti, mentre per applicare la regola di Simpson ne occorrono tre

17. Implementazione dell’algoritmo (2) • Alla seconda iterazione si ha: • Alla terza iterazione si ha:

18. Implementazione dell’algoritmo (3) • Alla n-esima iterazione si avrà: • Poiché nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo raddoppia, la precisione del calcolo migliora di un fattore 16. • Come nel caso precedente, la procedura iterativa viene fermata quando: dove ε è la precisione richiesta per il calcolo

19. Esempi (1) • Supponiamo di voler calcolare l’integrale con una precisione ε=10-6. Si ha:

20. Esempi (2) • Supponiamo di voler calcolare l’integrale con una precisione ε=10-6. Si ha:

21. Calcolo di integrali impropri • Casi di integrali impropri estesi ad intervalli finiti: • la funzione integranda ha limite finito in uno degli estremi di integrazione, ma non può essere calcolata (esempio sinx/x per x0) • la funzione ha limite superiore + e/o limite inferiore - • la funzione ha una singolarità integrabile in uno dei due estremi di integrazione (esempio x-1/2 per x 0) • la funzione ha una singolarità integrabile in un punto noto dell’intervallo di integrazione (ci si può ricondurre al caso precedente) • la funzione ha una singolarità integrabile in un punto non noto dell’intervallo di integrazione (questo caso non verrà studiato) • In tutti i casi in esame, per poter effettuare il calcolo, è necessario che l’integrale esista e sia finito • se l’integrale non esiste oppure è infinito, qualunque procedura di calcolo sarà priva di senso e darà risultati errati! • Studieremo il calcolo di integrali impropri con una singolarità in corrispondenza di uno degli estremi di integrazione (o di entrambi) • in tal caso non è possibile usare una formula chiusa, perché implicherebbe il calcolo del valore della funzione integranda in corrispondenza della singolarità

22. Regola del punto medio • La regola del punto medio consiste nell’approssimare l’integrale tra xj e xj+1 nel modo seguente: ove fj+1/2 è il valore della funzione nel punto medio dell’intervallo [xj,xj+1] • se f(x)>0, l’integrale viene approssimato con l’area del rettangolo di base h=xj+1-xj e altezza fj+1/2 y fj fj+1/2 fj+1 xj xj+1/2 xj+1 x

23. Regola estesa del punto medio • Dividiamo l’intervallo [a,b] negli N-1 intervalli: • [x1,x2], [x2,x3], ... , [xN-1,xN] • a=x1; b=xN • h=(b-a)/(N-1) • Si ha: h h h x a=x1 x3/2 x2 xN=b x5/2 x3 ... xN-1 xN-1/2

24. Applicazione della regola del punto medio (1) • L’algoritmo è simile a quelli visti per la regola del trapezio e per la regola di Simpson • In questo caso, però, per poter usare il risultato ottenuto dopo ogni iterazione come punto di partenza per l’iterazione successiva, in ciascuna iterazione occorrerà suddividere gli intervalli di partenza in 3 parti invece che in 2 • questa complicazione nasce dal fatto che si utilizzano i valori della funzione nei punti medi di ciascun intervallo invece che negli estremi

25. Applicazione della regola del punto medio (2) • nella n-esima iterazione vengono aggiunti 23n-2 valori di f(x) in corrispondenza dei punti medi dei nuovi intervalli • alla n-esima iterazione l’intervallo di integrazione risulta diviso in 3n-1 intervalli elementari • in ciascuna iterazione si sfrutta il risultato ottenuto nell’iterazione precedente 1 2 iterazioni 3 ...

26. Implementazione dell’algoritmo (1) • L’integrale calcolato nella n-esima iterazione è: dove Δ=b-a • Occorre cercare una formula ricorsiva che permetta di legare In+1 a In • Applicando la definizione precedente si ha:

27. Implementazione dell’algoritmo (2) • La sommatoria con l’indice k che varia da 1 a 3n può essere spezzata in 3 sommatorie distinte: • nella prima raggruppiamo i termini con k=1,4,7,...,3n-2 • in tali termini k=3k1-2 con k1=1,2,...,3n-1 • nella seconda raggruppiamo i termini con k=2,5,8,...,3n-1 • in tali termini k=3k2-1 con k2=1,2,...,3n-1 • nella terza raggruppiamo i termini con k=3,6,9,...,3n • in tali termini k=3k3 con k3=1,2,...,3n-1

28. Implementazione dell’algoritmo (3) • Nel passare da un’iterazione alla successiva il numero di punti utilizzati per il calcolo viene triplicato, e dunque la precisione del calcolo migliora di un fattore 9. • Come negli altri casi, la procedura iterativa viene fermata quando: dove ε è la precisione richiesta per il calcolo • L’algoritmo sviluppato per il calcolo di integrali impropri può essere usato anche per il calcolo di integrali “normali” • Il tempo di calcolo richiesto per un integrale improprio è in genere maggiore rispetto a quello richiesto per un integrale “normale” per via della singolarità

29. Esempio • Supponiamo di voler calcolare l’integrale improprio con una precisione ε=10-6. Si ha: