OUTILS de MODELISATION et d’OPTIMISATION

1. PLANS D’EXPERIENCE OUTILS de MODELISATION et d’OPTIMISATION Membre du CEFNA

2. Introduction • La méthodologie des plans d’expérience est un outil. • Un outil qu’il est possible d’utiliser pour optimiser un produit, un procédé, un système. • L’utilisateur doit le modeler à sa façon. • C’est l’approche pragmatique qui sera adoptée.

3. Introduction A l’issue de ce cours, vous serez capable de mener des analyses de plusieurs paramètres de justifier des choix (technologiques ou autres) en ayant comme argument un critère de choix: le bénéfice apporté par cette méthode.

4. PLAN DU COURS 1- Situation 2- Stratégie de l’expérimentation 3- Les plans d’expériences (généralités) 4- Généralités et philosophie Taguchi 5- Poser un problème : - Réflexion de groupe - Mise en commun 6- Arrangements orthogonaux 7- Degrés de liberté

5. PLAN DU COURS 8- Interactions - L’outil informatique 9- Graphes linéaires 10- Analyse globale 11- Fonction perte 12- Ratio Signal/Bruit 13- Mise en application

6. 1-SITUATION 1-SITUATION

7. 1-SITUATION • Les plans d’expériences PE ou Design of Experiments (DOE) • Qui a développé les DOE • Ronald Aylmer Fisher a développé les DOE pour l’optimisation des rendements des cultures de céréales. • Pourquoi utiliser les DOE • C’est un outil d’aide à la compréhension des systèmes, par la recherche des facteurs influents.

8. 1-SITUATION - Où appliquer les DOE Dans les domaines où les critères coût/délais/qualité sont prépondérants. - Comment utiliser les DOE Utiliser les DOE en complément/support à d’autres études. Préférer plusieurs plans de dimensions réduites plutôt qu’un plan de grande envergure.

9. 1-SITUATION - Quand utiliser les DOE Dés le début d’un projet … si possible Tout cela n’enlève rien à la valorisation du savoir faire du technicien, de l’ingénieur ou du scientifique.

10. 1a-UTILISATION DES DOE - EXEMPLES bilan énergétique procédé φ-χ alliage gestion des flux couleur optique laser analyse de cout son - harmonique adhérence analyse produit épilamage

11. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION

12. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION En permanences, nous sommes sollicités par notre environnement.

13. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION Cela génère des perturbations auxquelles nous réagissons….. …. plus ou moins bien.

14. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION Dans tous les cas nous essayons de comprendre, de corriger et de maitriser le système . Facteurs non contrôlables Entrée Réponse SYSTEME Facteurs contrôlables

15. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION Pour cela, nous allons trouver, par des méthodes, des retours d’expériences, une manière de décrire notre problématique. De préférence notre choix ira vers des outils permettant de structurer notre approche.

16. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION • LA DEMARCHE DE L’EXPERIMENTATION • Identification du problème et objectif • Choix de la variable de réponse • Choix des facteurs, niveaux • Choix de la conception expérimentale • Exécution de l'expérience • Conclusions et recommandations

17. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION • QUELQUES OUTILS … • Brainstorming • Hishikawa • Pareto • Statistiques • ….

18. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION • UN EXEMPLE … • … DE VOTRE CHOIX … • … COMME ?? • … NOUS Y REVIENDRONS PLUS TARD !!

19. 2- STRATEGIE DE L’EXPERIMENTATION • A CE STADE, VOUS APPREHENDEZ • - L’EXISTANCE D’UNE METHODOLOGIE, • - UNE NOUVELLE FACON D’ABORDER UNE PROBLEMATIQUE. • .. ALLONS PLUS LOIN ….

20. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (GENERALITES)

21. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.1 Généralités • Il y a plusieurs approche possibles, certaines sont efficaces, d’autres non !!! • Une approche, en particulier, ce trouve être plus efficaces dans des situations plus ou moins complexes. • C’est la méthode des plans d’expériences.

22. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.1 Généralités - Introduction • Dans l’approche des plans d’expériences, nous cherchons à • comprendre et à synthétiser un processus quelconque, • inconnu a priori. • La réalisation d'expériences donne alors la possibilité • d'initier un processus de traduction en termes logiques, • voire mathématiques de ce phénomène.

23. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.1 Introduction • De manière générale, la méthode des plans d'expériences • cherche à déterminer et à établir les liens existant entre 2 • types de variables : Réponse Facteurs grandeurs physiques modifiables par l'expérimentateur, sensées influencer sur les variations de la réponse. grandeur physique étudiée

24. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.1 Introduction Mais elle vise aussi à comprendre les relations entre les facteurs. Pour arriver à cela, la solution proposée consiste à établir un modèle, exprimant la réponse en fonction des facteurs. Pour bâtir ce modèle, il faut appréhender ces variations.

25. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.1 Introduction Celles-ci sont déduites des résultats de séries d'expériences, c'est-à-dire de plusieurs configurations pour lesquelles les valeurs des facteurs sont différentes. Il s'agit ici de la notion de plan d'expériences (PE), correspondant à la réalisation d'une série de N expériences, qui sont toutes :  déterminées à priori ;  obligatoirement réalisables ;  indépendantes entre elles.

26. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) Les principales utilisations possibles des PE [la technique du screening] cet outil permet de déterminer les facteurs qui ont une influence statistiquement non négligeable sur les variations de la réponse. On procède ainsi implicitement à une simplification du problème. On recherche pourquoi la réponse varie (en fonction de quels facteurs).

27. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) Les principales utilisations possibles des PE [la méthodologie des surfaces de réponse (MSR)] les variations de la réponse sont calculées en fonction des facteurs précédemment jugés influents. Cette étude est davantage quantitative, le but étant de déterminer comment la réponse varie.

28. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) Les principales utilisations possibles des PE Toutes les variables considérées sont assimilées à des variables aléatoires. Les développements théoriques statistiques peuvent compléter les fonctions originellement attribuées aux PE. Ces outils s'appuient essentiellement sur des bases statistiques et algébriques.

29. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) Les principales utilisations possibles des PE Une dépendance fondamentale existe de fait entre le PE et le modèle. Toutes les caractéristiques de ce dernier sont héritées de la définition du premier. Pour résumer, les PE sont un ensemble de techniques complémentaires aidant son utilisateur dans la détermination des expériences à réaliser ainsi que dans la compréhension et l'exploitation des résultats obtenus.

30. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.2 Quelques définitions …. Variables : grandeurs physiques (électriques, mécaniques, thermiques, ...) supposées intervenir dans le problème. Réponses : grandeurs étudiées ou grandeurs de sortie. Facteurs : grandeurs supposées influer sur les variations des réponses.

31. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.2 Quelques définitions …. Chaque facteur peut être continu : il peut adopter toutes les valeurs numériques réelles dans l'intervalle discret : l'ensemble des valeurs que le facteur peut prendre est fini

32. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.2 Quelques définitions …. Les facteurs sont caractérisés par les valeurs suivantes : borne inférieure  : limite basse (ou niveau bas) des valeurs que le facteur peut prendre borne supérieure : limite haute (ou niveau haut) des valeurs que le facteur peut prendre

33. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.3 Domaine d’étude (DE) La définition des variables de type facteur permet de définir un espace de dimension k, dans lequel chaque point représente une combinaison des valeurs possibles des k facteurs. Cet espace est appelé domaine d'étude (DE). Les points intérieurs à ce domaine sont les points d'expériences, car ils sont la traduction mathématiques, par leurs coordonnées, des combinaisons de valeurs des grandeurs physiques leur correspondant.

34. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.3 Domaine d’étude (DE) Pour k = 2, on peut représenter le DE comme une zone rectangulaire limitée par les bornes prises par les deux facteurs x1 et x2 ( et ).

35. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.4 Modélisation Le but de la modélisation est la recherche d’un modèle exprimant les variations de la fonction réponse y vis-à-vis des k facteurs x1,x2,….xk. La relation mathématique reliant ces variables sera de la forme d’un polynôme.

36. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.4 Modélisation Tous les monômes sont pondérés. Dans le cas d'un nombre élevé de facteurs, le nombre de coefficients devient alors excessif. Ainsi, les monômes dépassant un certain ordre o sont souvent ignorés.

37. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.4 Modélisation y mod peut toujours être transcrit matriciellement comme une multiplication de 2 vecteurs : y mod(x) = fx(x).β Cette relation est de portée générale, par l’utilisation des notations suivantes : fx(x) = [ ]  et β = [ ]’ le vecteur des p coefficients de la modélisationpolynomiale de la réponse.

38. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.4 Modélisation Le coefficient bo représente toujours la moyenne des réponses mesurées y des N expériences du plan :

39. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.5 Modèles du premier degré (sans interaction) Pour tout point d'expérience de coordonnées x = [x1 x2 ... xk ]’ , la valeur de la réponse y se déduit de la relation matricielle : Les valeurs des coefficients du modèle sont données par celles des éléments du vecteur β, qui s’écrit β = [b0b1 b2 ... bk ]’, ainsi b = [b1 b2 ... bk ]’. Pour tout point d'expérience de coordonnées x = [x1 x2 ... xk ]’ , la valeur de la réponse y se déduit de la relation matricielle : Les valeurs des coefficients du modèle sont données par celles des éléments du vecteur β, qui s’écrit β = [b0b1 b2 ... bk ]’, ainsi b = [b1 b2 ... bk ]’. Exercice 1: écrire le modèle linéaire et matriciel pour 3 facteurs.

40. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.5 Modèles du premier degré (sans interaction) Réponse 1: le modèle linéaire et matriciel pour 3 facteurs s’écrit . Ce type de modèle est utilisé dans le cadre de la méthodologie des surfaces de réponse. Il peut également être employé pour le screening avec certains plans où les interactions entre facteurs ne sont pas gérées (plans de Plackett-Burman, certains plans de Taguchi, ...).

41. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.6 Modèles avec toutes les interactions Le précédent modèle ne prend pas en compte les interactions entre les k facteurs. Si celles-ci doivent être considérées, on peut utiliser le modèle suivant (exemple pour 3 facteurs) : il ne peut exister de terme de la forme . Ce modèle est implicitement associé au plan factoriel complet (screening), pour lequel toutes interactions entre tous les facteurs sont calculées.

42. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.7 Modèles du deuxième degré Pour tout point d'expérience de coordonnées x = [x1 x2 ... xk ]’ , la valeur de la réponse y se déduit de la relation matricielle : Le modèle d'ordre 2 est issu d'un modèle du premier degré auquel des monômes d'ordre 2 ont été rajoutés (x'.B.x ).

43. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.7 Modèles du deuxième degré La matrice B est carrée et symétrique. Ses termes diagonaux sont les coefficients des termes portés au carrés ; les éléments non diagonaux s'appliquent aux termes d'interaction entre facteurs. Exercice 2: écrire le modèle linéaire et matriciel pour 3 facteurs.

44. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.7 Modèles du deuxième degré Réponse 2: le modèle pour 3 facteurs s’écrit :

45. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.8 Modèles de degré supérieur à 2 • La tentation est d'utiliser des modèles polynomiaux possédant le plus de coefficients afin de les conformer au mieux aux données originelles qu'ils doivent approcher. • Cependant, les conséquences sont les suivantes : • le nombre d'expériences à réaliser est important ; • l'approximation est incertaine : les modèles cessent d'être fiables entre les valeurs utilisées pour les construire ; L'approche analytique doit laisser la place aux investigations numériques.

46. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.9 Modèle de Taguchi Le modèle de Taguchi est basé sur un modèle du premier degré avec interaction mais ne prend pas en compte les interactions d’ordre 3 et supérieure.

47. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.9 Modèle de Taguchi - Représentation graphique

48. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.10 Modèle MSR Le modèle MSR est basé sur le modèle général. p.e. modèle à 3 facteurs

49. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.10 Modèle MSR - Représentation graphique

50. 3- LES PLANS D’EXPERIENCES (PE) 3.11 De l’importance statistique du screening La technique du screening permet de déterminer, parmi un ensemble initial de facteurs, les éléments influents. Toute variation de facteur induit des modifications des valeurs prises par la réponse. On réalise ainsi la comparaison entre les variations de la réponse suscitée par 2 sources différentes: a. les variations du facteur étudié ; b. les variations de grandeurs considérées comme n'ayant pas d'effet sur la réponse.