Bildungsstandards – Ihr Beitrag zur nachhaltigen Entwicklung von Kompetenzen im Mathematikunterricht Dr. Rainer Heinrich

1. Wien, 01.03.2006 Bildungsstandards – Ihr Beitrag zur nachhaltigen Entwicklung von Kompetenzen im Mathematikunterricht Dr. Rainer Heinrich Sächsisches Staatsministerium für Kultus

2. Situation in Deutschland • Nationale Bildungsstandards • Einheitliche Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung (national) • Lehrpläne / Rahmenrichtlinien (regional) • Prüfungen (regional / zentral oder dezentral)

3. 1. Warum benötigt Deutschland Bildungsstandards? Vorgeschichtliches: 1997: KMK Beschluss zur Teilnahme Deutschlands an internationalen Vergleichsstudien („Konstanzer Beschluss vom Oktober 1997)  PISA und andere Studien zeigten Defizite auf  Großes Erschrecken!!! Was nun? Bisher gab es in Deutschland (mit Ausnahme der EPA) nur eine Inputsteuerung des Bildungssystems über Lehrpläne.

4. Eine kritische Sicht von außen fehlte in einigen Bundesländern vollständig. Hinzu kommt, dass die Abschlusszeugnisse Zugangsberechtigungen darstellen, also vergleichbar sein sollten. Bisher gab es gleichwertige Mittlere Bildungsabschlüsse ohne Standards.

5. KMK-Beschluss vom 23./24.05.2002 in Eisenach: • Standards für den • Primarbereich nach Klasse 4 • Hauptschulabschluss nach Klasse 9 • Mittleren Schulabschluss nach Klasse 10

6. 2. Was sollen Bildungsstandards leisten? Legen Kompetenzen fest, die Schüler bis zu einer bestimmten Jahrgangsstufe erworben haben sollen Konzentrieren sich auf die Kernbereiche eines Faches Dienen der Schul- und Unterrichtsentwicklung und der externen und internen Evaluation durch Erzeugen von Vergleichsmaßstäben Aber: Schulische Bildung geht über Standards hinaus (Persönlichkeitsentwicklung, Werteorientierung)

7. Lehrpläne weisen Lernziele und Inhalte aus und ordnen diese zeitlich an (beschreiben Weg und Ziel). Bildungsstandards weisen die Kompetenzen bis zu einem bestimmten Unterrichtsabschnitt des Schülers aus, sie standardisieren aber nicht den Weg zum Ziel. Für Mathematiker: Es handelt sich sozusagen um kumulierten Kompetenzzustand bis zum Zeitpunkt t

8. 3. Besonderheiten: Fächer: Deutsch, Mathematik, Erste Fremdsprache • beschreiben erwartete Leistungen im Rahmen von Anforderungsbereichen • weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus • werden durch Aufgabenbeispiele veranschaulicht • sind abschlussbezogen • dienen der Vergleichbarkeit der Abschlüsse bei verschiedenen Schularten und Schulsystemen in Deutschland

9. Kompetenzen: • Dispositionen zur Bewältigung bestimmter Anforderungen • Lernen nicht als Aufbau von trägem Wissen sondern als Bewältigung von Anforderungen • Lernen als kumulativer Prozess

10. Bildungsstandards im Fach Mathematik

11. Bildungsstandards im Fach Mathematik • Kompetenzen: • Mathematisch Argumentieren • Probleme mathematisch lösen • Mathematisch Modellieren • Mathematische Darstellungen verwenden • Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen • Kommunizieren

12. Bildungsstandards im Fach Mathematik Kompetenzen: Allgemeine fachliche Ziele des Lehrplanes • Mathematisch Argumentieren - Kritischer Vernunftgebrauch • Probleme mathematisch lösen - Entwickeln der • Mathematisch Modellieren Problemlösekompetenz • Mathematische Darstellungen verwenden - Anschaulichkeit • Mit symbolischen, formalen und technischen - Umgang mit grundlegenden Elementen der Mathematik umgehen mathematischen Objekten • Kommunizieren - Umgang mit der Fachsprache

13. Bildungsstandards im Fach Mathematik • Für die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind folgende mathematischen Leitideen zugrunde gelegt: • Zahl • Messen • Raum und Form • Funktionaler Zusammenhang • Daten und Zufall

14. Bildungsstandards im Fach Mathematik • Anforderungsbereiche: • Reproduzieren • Zusammenhänge darstellen • Verallgemeinern und Reflektieren

15. Rolle der Aufgabenbeispiele: • Veranschaulichung der Standards • Grundlage für Feststellung des Lernstandes • Keine Prüfungsaufgaben • Darstellung der Spannbreite von Aufgabentypen zur Überprüfung von Kompetenzen

16. These: Um die Bildungsstandards umzusetzen, muss sich die Unterrichtskultur weitgehend ändern

17. Änderungsbedarf weil: • „Starres“ Bild der Mathematik • Verfügbarkeit neuer Medien • Forderung nach neuer Aufgabenkultur

19. Beispiel für eine Aufgabe aus einem Zentralabitur 1994 Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung . Führen Sie für die Funktion f eine Kurvendiskussion durch (Nullstellen, Koordinaten des Schnittpunktes mit der y-Achse, Koordinaten der lokalen Extrempunkte und Art der Extrema. Lösung mit GTR:

20. Beispiel für eine Abituraufgabe 1999 Der symmetrische Giebel eines Barockhauses soll rekonstruiert werden. Die Abbildung zeigt den Giebel in einem Koordinatensystem. Eine symmetrische, ganzrationale Funktion f beschreibt den oberen Giebelrand. Die x-Achse ist Tangente an den Graphen der Funktion f in den Punkten Die Höhe des Giebels beträgt 4m .a) Begründen Sie, dass die Funktion f mindestens 4. Grades sein muss. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Funktion f.c) Die Giebelfläche soll durch eine Waagerechte Linie in zwei flächengleiche Teilstücke zerlegt werden. Der obere Teil soll mit Ornamenten versehene werden, während im unteren Teil Fenster angebracht werden. Berechnen Sie, in welcher Höhe der Giebel geteilt werden muss.

21. Ein fiktives Beispiel für eine Abituraufgabe Beschreiben Sie die Form des Giebels mit mathematischen Mitteln.

22. Ein modernes Mathematikwerkzeug enthält • Computer-Algebra-System • Tabellenkalkulation • Dynamische Geometrie • 2D- und 3D-Darstellungen (Funktionsplotter) • Programmierumgebung • Textverarbeitung, Linksoftware, Lernsoftware

23. Gründe für den Einsatz von CAS/GTR • Didaktische Gründe • Entdeckendes Lernen – Experimentieren • Visualisieren • Motivieren • Rechenknecht • Änderung der Aufgabenkultur • Fächerverbindendes Arbeiten

24. Ausgewählte Beispiele für den Unterricht • 1. Geburtstagsrechnung • Variante 1: • Variante 2:

25. Fußballspieler Visualisieren, Motivieren

26. Fußballspieler

27. Fußballspieler

28. Vorsicht Kröten Offene Aufgaben, Experimentieren, Visualisieren

29. Vorsicht Kröten Eine Kröte benötigt zum Überqueren einer 7 m breiten Straße bis zu 20 Minuten.

30. Vorsicht Kröten Unterlege z. B. 200m Straße mit Dezimeterraster. Aller wie viel Sekunden ändert sich das Hüpfschema?

31. Vorsicht Kröten  Aller 17 Sekunden ändert sich das Hüpfschema (nach Zeitungsangaben).

32. Vorsicht Kröten 1. Wie viel Zeit benötigt ein PKW für z. B. 200 m Straße in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit?

33. Vorsicht Kröten y(1)=200/(x/3.6) Zehnerschritte:

34. Wie viele „Hüpfschemen“ überrollt der PKW in dieser Zeit? Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert:

35. Ablesen der Schnittpunkte bei den Vielfachen von 17 liefert: -85s (5 Schemen) bei 8,5 km/h -68s (4 Schemen) bei 10,6km/h) -51s (3 Schemen) bei 14,11 km/h) -34s ( 2 Schemen) bei 21,2 km/h -17s (1 Schema bei 42,6 km/h) „Je langsamer ich fahre, um so mehr Kröten treffe ich.“ „Ab 42,6 km/h ist es dann egal, es gibt keinen Unterschied mehr.“

36. 2. Welchen Einfluss hat die Reaktionsgeschwindigkeit der Kröte? Erdkröten können Objekte bis zu einer Entfernung von 4 m wahrnehmen, innerhalb von 0,5 Sekunden reagieren und bei Gefahr auch springen. Weg eines Autos in einer halben Sekunde:

37. Das heißt, der zurückgelegte Weg des PKW beträgt bei 10km/h 1,38m usw. Ist dieser Weg kleiner als 4m kann die Kröte reagieren.

38. solve (v/3.6*0.5=4,v) liefert .Koppelung mit dem vorherigen Modell

39. „Der Graph existiert erst ab 30km/h. Dort überfahre ich ca. 1,4 Hüpfschemen und damit die größte mögliche Anzahl von Kröten“

40. Geschwindigkeit Bremsweg in m 10 1 20 4 30 9 40 16 50 25 3. Welchen Einfluss hat der Bremsweg des Fahrzeugführers? Bremsweg laut Fahrschul-Faustformel:

41. Anruf bei der Verkehrspolizei Dresden • Sie dürfen nicht nur die Gefahr für die Kröte sehen. • Durch den beim Überfahren der Kröte entstehenden Matsch unter den Reifen wird die Haftreibung wie beim Aquaplaning so verringert, dass Sie die Kontrolle über das Fahrzeug verlieren könnten. Das Zeichen gilt für Ihren Schutz.

42. 4. Wie viele Kröten werden getroffen? 200 m Straße mit 7m Breite: Autoreifen: ca. 20 cm breit überfahrener „Anteil“: Wahrscheinlichkeit, dass 1 Feld getroffen wird:

43. Betrachte 50 Kröten: Wahrscheinlichkeit, dass auf einem Feld eine Kröte sitzt: Wahrscheinlichkeit, dass Feld mit Kröte getroffen wird: Variation: Bei 10 000 Kröten ist p=0,0041 Welchen Einfluss hat die Anzahl der Hüpfschemen?

44. Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?

45. Die Summe der Quadratzahlen dreier aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen ist 590. Wie lauten die drei Zahlen?

46. Schülerreaktionen • Sascha A. (14): • Wir haben beschlossen, eine Programmier-AG zu gründen- und Sie sind unser Chef. • Claudia Ö. (16): • Ich denke, Mathematik ist genauso cool wie Musik. • Nicole G. (14): • Meine Mutter hat gesagt, ich soll Ihnen nochmal “Danke” sagen für das besorgen der Rechner. Und eigentlich soll ich Ihnen einen Schmatz geben, aber das traue ich mir nicht.