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C. Q. I. R. Maschenregel . L. x. D. Mechanisches Analogon:. m. γ. Elektrodynamik. 1. Elektromagnetische Wellen. 1.1. Schwingkreise. 1.1.1. Freie Schwingung. Übersetzung: Mechanik Elektrodynamik x Q m L R D C 1. C. Q. Schwingfall:. I. R. L.
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C Q I R Maschenregel L x D Mechanisches Analogon: m γ Elektrodynamik 1. Elektromagnetische Wellen 1.1. Schwingkreise 1.1.1. Freie Schwingung • Übersetzung:Mechanik Elektrodynamik • x Q • m L R D C1
C Q Schwingfall: I R L Aperiodischer Grenzfall: Kriechfall: Lösung übersetzt aus Mechanik:
C Q U(t) x D R I F(t) L γ m Resonanzfrequenz: Z R minimal Bandbreite: 1.1.2. Erzwungene Schwingung ( Übersetzung aus Mechanik) Serienschwingkreis:
IL R L C xm I QC x D U(t) γ F(t) m Resonanzfrequenz: maximal Parallelschwingkreis: Kleine Dämpfung Bandbreite:
R1 R2 L12 Q2 L1 L2 I2 I1 C1 C2 Q1 Beispiel: L1L2LC1C2CR1R2R Normalkoordinaten: Eigenfrequenzen: Normalmoden ( Schwingfall ): 1.1.3. Gekoppelte Schwingkreise ( gekoppelte mechanische Schwinger) Induktive Kopplung: Lösungsweg: Transformation auf Normalkoordinaten
Ck R1 R2 L1 L2 C1 C2 R1 R2 Rk L1 L2 C1 C2 Analoges Verfahren Kapazitive Kopplung: Galvanische Kopplung:
Schwingkreis L C L C autarker Schwingkreis npn-Transistor als elektronischer Schalter sperrt Puffer-Kondensator R1 C1 R1 C1 Lade-Widerstand Schwingphase 1 1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung
Schwingkreis L C L C Nachladung npn-Transistor als elektronischer Schalter leitet Puffer-Kondensator R1 C1 R1 C1 Lade-Widerstand Schwingphase 2 1.1.4. Erzeugung ungedämpfter Schwingungen Beispiel: Meißner-Schaltung
1.2. Elektromagnetische Wellen auf Leitern 1.2.1. Die Telegraphengleichung x x Ersatzschaltbild: dR dL dR dL dR dL dR dL dC dC dC dC dC dx dx dx dx viele gekoppelte Schwinger Kontinuumsübergang Wellen Beispiele: Leitermantel , I(x,t) I(x,t) d d Doppelleitung (Flachbandkabel, Twisted Pair) Koaxialkabel (Koax-Kabel) Beispiel: dmm ≪ 30 GHz Voraussetzung:dc≪T bzw. ≪ cd d.h. lokal gelten weiterhin die Gesetze der Quasistatik!
Am Ort x zur Zeit t: dR dL dR dL dC dC x x dx Maschenregel: für dx Also: dC
Am Ort x zur Zeit t: dR dL dR dL dC dC x x dx Knotenregel: Also:
Folgerung: Telegraphengleichung Wellengleichung mit Dämpfung
Wellengleichung Phasengeschwindigkeit Lösung: ( Tafelrechnung, Handout ) Dispersionsrelation Wellenwiderstand (Impedanz) Spezialfall: ideale Leiter Ak ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x Bk ℂ-Amplitude zu harmonischem Anteil (k), Laufrichtung x
1.2.2. Signalkabel Flachbandkabel Koaxialkabel 2r 2a 2b d ≫ r Vakuum-Wellenwiderstand Vakuum-Lichtgeschwindigkeit Brechungsindex
Phasengeschwindigkeit: Bemerkung:Reales Kabel, . Die harmonischen Komponenten werden k-abhängigabsorbiert. Pulsformen bleiben nicht erhalten; Pulse zerfließen. Es gibt Dispersion. Bemerkung: Die Phasengeschwindigkeit hängt nicht von k ab. Alle harmonischen Komponenten laufen gleich schnell im Kabel. Pulsformen bleiben erhalten. Es gibt keineDispersion.
Harmonische Komponenten für x 0: einlaufend: reflektiert: Reflexionskoeffizient Harmonische Komponenten für x 0: transmittiert: Transmissionskoeffizient Behandlung von Übergängen zwischen Kabeln (exemplarisch): Puls x 0
Stetigkeit von U und I bei x 0 (Grund: am Übergang endlich) aber I x offenes Ende: kurzgeschlossenes Ende: perfekte Anpassung: x 0: x 0:
1.3. Elektromagnetische Wellen im Vakuum 1.3.1. Hertzscher Dipol erfüllen den ganzen Raum • Quasistatik versagt • Eigendynamik der Felder wird wichtig • Abstrahlung elektromagnetischer Wellen Übergang: offener Schwingkreis
Antenne (Sender/Empfänger) • Dämpfung: • Ohmscher Widerstand der Antenne • Abstrahlung elektro-magnetischer Wellen Sender mit induktiver Energieeinspeisung: Ungedämpfter Oszillator L12 Energie L 0 0 Resonanzfrequenz ?
z L Tafelrechnung ZW 0 mit m ℕ Kontinuitätsgleichung Tafelrechnung Linienladungsdichte Tafelrechnung schwingender Dipol Hertzscher Dipol Wechselstromleitung in Antenne (Dämpfung vernachlässigt): Telegraphengleichung & Randbedingungen
d0 Anschauliches mikroskopisches Modell: Dipolnäherung Bewegung der Ladungsschwerpunkte L d0 ist sehr viel kleiner als L feste Ionenrümpfe (Gesamtladung Q) frei bewegliche Elektronen (Gesamtladung Q)
Nahfelder: Abstrahlung elektromagn. Wellen vom Hertzschen Dipol ( Theorie VL) wechselseitige Anregung Dynamik des Stromflusses (Quasistatik) E- und B-Feld 90 phasenverschoben Eigendynamik der Felder Fernfelder: E- und B-Feld phasengleich dominant für r»d0
z 0 z Qualitative Eigenschaften der Fernfelder: • -Feld konzentrisch um Dipolachse (max. in Äquatorialebene) • mittlere Energiestromdichte • mittlere abgestrahlte Leistung • Abstrahlcharakteristik (max. in Äquatorialebene) Abstrahlung 4 senkrecht zur Dipolachse
Krümmung der Phasenflächen zu vernachlässigen Ebene Wellen, Polarisation ∥ z y x Strahlung in großem Abstand von der Sendeantenne, r»d: Strahlung senkrecht zur Antenne (x-Richtung):
Momentaufnahme eines Hertzschen Dipols Interpretation q Ladungsschwerpunkt der freien Ladungsträger q q Antenne v 0 v c q q v c 1.3.2. Abstrahlung einer beschleunigten Ladung Beschleunigte Ladungen strahlen (in ihrem Ruhesystem) e.m.-Wellen aus (Dipolstrahlung mit Beschleunigungsrichtung als Dipolachse)
p n n n p n n p n n n n p n p p p p p p p n e Anwendung: Synchrotronstrahlung ( Beispiel: BESSY II ) Elektronen-Synchrotron Radius typisch 100 m • Strahlung ist… • intensiv & eng gebündelt • kurz gepulst • breitbandig (bis X-Rays) • polarisiert e Synchrotronstrahlung Anwendung: Röntgenstrahlung Vakuumröhre ,,Bremsstrahlung“ Glühkathode Anode e Kern im Anodenmaterial Röntgenstrahlen (X-Rays) zur Patientin
Strahlungsintensität des Hertzschen Dipols von Sonne rötlich unpolarisiert weiß unpolarisiert bläulich voll polarisiert Beispiel: Himmelsblau Streuung von Sonnenlicht an N- und O-Atomen der Atmosphäre Elektronenhülle eines Atoms • Blau wird viel stärker gestreut als Rot • blauer Himmel • Streuung azimutal symmetrisch • Keine Streuung entlang der Dipolachse keine Streuung entlang des E-Vektors des einfallenden Strahls Schwingung des Ladungsschwerpunkts Hertzscher Dipol • Polfilter-Anwendung in Fotografie: • Abdunklung vom Himmelsblau, dramatische Stimmung • Veränderung des Farbkontrasts
1.3.3. Das elektromagnetische Spektrum 400 nm 700 nm Violett Rot Charakterisierung: Plancksches Wirkungsquantum h 6.6261034 Js • Frequenz • Wellenlänge • Photonenergie (Photon: Feldquant des e.m.-Feldes) Ultralangwelle: 1 Hz 300000 km kosmische Gammastrahlung: E≲ 1014 eV 100 TeV ≳ 1020 m
N: Dimension eines elastischen kontinuierlichen Mediums x,t x,t x N 1: Stab, Saite, ... Transversalwelle Longitudinalwelle N 2: Membran, Platte, Glocke, ... (x,y,t) N 3: Festkörper, Flüssigkeitsvol., Gasvol., ... (x,y,z,t) N 3: abstrakte Räume in Feldtheorie ... (x1,x2,,xN,t) Linearer Elastizitätsbereich (Hookesches Gesetz) Wellengleichung (isotropes Medium) c Phasengeschwindigkeit 1.4. Analogie: Mechanische Systeme 1.4.1. Erinnerung: Wellengleichungen
kj: mikroskopische Federkonstanten für den Auslenkungstyp Massendichte: Auslenkung k2 Isotrope elastische Materialkonst. dm k1 z.B. Elastizitätsmodul, Torsionsmodul, Kompressionsmodul Kin. Energie: Pot. Energie: Herleitung der Wellengleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip:
Massendichte: Auslenkung Definition: k2 Lagrange-Funktion: dm k1 mit mit Lagrangedichte: kontinuierliche dynamische Variablen gleichberechtigte Parameter
Euler-Lagrange-Gleichungen: Wirkung: Hamiltonsches Prinzip: Unser Beispiel: Wellengleichung
Wellengleichung im isotropen Medium Spezielle Lösungsklassen: harmonische Wellen: Kugelwellen: N 3 N 2 Allgemeine Lösung (vgl. Physik I): mit Dispersionsrelation
Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) (z,t) Kleine Auslenkung S Ruhelage S z 0 L Vergleich mit liefert: Phasengeschwindigkeit 1.4.2. Schwingende Saite Actio Reactio S Kraft zwischen benachbarten Saitensegmenten Auslenkung L LL V=SL
Saite: Masse m, Länge L ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung S (Kraft auf die Einspannung) (z,t) S Ruhelage S z 0 L Randbedingungen: Allgemeine Lösung: mit Eigenschwingungen Lösung der Wellengl.: Zerlegung in Superposition ebener Wellen
Allgemeine Lösung: Grundfrequenz mit Eigenschwingungen Eigenschwingungen: 1 Bauch 0 Knoten n 1 Grundschwingung 2 Bäuche 1 Knoten n 2 1. Oberschwingung 3 Bäuche 2 Knoten n 3 2. Oberschwingung
Fourier-Entwicklung An ,,Frequenzspektrum” Anschauliche Fourierentwicklung für Zupfen bei L: groß klein Anwendung: Saiteninstrumente • Zupf-Anregung (Gitarre, Cembalo, Harfe, ) Anfangszustand: Kein reiches Frequenzspektrum ungünstiger Zupfpunkt
h L β·L β = 1/3 β = 1/10 n n Asymmetrisch gezupfte Saite:
Mittlere Auslenkung Auslenkung beim Bogen Ruheposition der Saite Zeit • Streich-Anregung (Geige, Cello, ) Helmholtz-Bewegung Periode Teil 1: Saite haftet am Bogen und wird mitgeführt Periode Teil 2: Saite löst sich und schnellt zurück • Streichgeschwindigkeit Schwingungsamplitude • Spektrum ähnlich zum Zupfen
Δ V L β·L β = 1/3 β = 1/10 n n • Hammer-Anregung (Klavier, ): Idealfall: Flacheres (d.h. reicheres) Frequenzspektrum als beim Zupfen
Problem für Musikerzeugung mit Saiten: Saiten sind schwache Schallstrahler langer, aber sehr leiser Klang Ausweg:mechanische Kopplung ( z.B. Steg ) an andere Schwinger (Platten, Lufthohlräume Helmoltz-Resonator , die effektiv Energie abstrahlen Cello Konzertgitarre
y Kleine Auslenkung x Vergleich mit liefert: Phasengeschwindigkeit 1.4.3. Schwingende Membran Membran: Masse m, Fläche A ideal flexibel (keine Steifigkeit) Spannung:S S ds Spannkraft senkrecht auf Rand ds jedes Flächenelements Einspannung Auslenkung A AA V = SA
Einspannung y x Errechnung der Eigenmoden durch Faktorisierungsansatz ( Tafel): Besselfunktionen Zusätzlich: Randbedingung durch Einspannung: Wellengleichung … … in kartesischen Koordinaten (x,y) … in Polarkoordinaten (r,) günstig für Rechteckmembran günstig für Kreismembran
Fall 1: Rechteckmembranen: Lx Randbedingungen: Allgemeine Lösung: Eigenfrequenzen Eigenschwingungen y Ly x Lösung der Wellengleichung: Superposition ebener Wellen
Allgemeine Lösung: Eigenfrequenzen Eigenschwingungen n = 1 m = 1 n = 2 m = 1 • n Bäuche in x-Richtung • m Bäuche in y-Richtung • n1 Knotenlinien in x-Richtung • m1 Knotenlinien in y-Richtung n = 1 m = 2 n = 2 m = 2 • Saite: n n 1 harmonischer Klang • Membran: nicht-harmonisches Spektrum • Eine schwingende Membran erzeugt keinen Klang n = 3 m = 1 n = 3 m = 2 Chladni-Muster
y 2R r x Lösung der Wellengleichung: Superposition von Kreiswellen , pℕ0 Randbedingung: Bezeichnung:pn n-te Nullstelle der p-ten Besselfunktion Jp (nℕ) Eigenschwingungen Allgemeine Lösung: Eigenfrequenzen: Fall 2: Kreismembranen: