Plan du cours

1. Plan du cours • Introduction: • historique • Quelques effets magnétiques simples. • Quelques exemples d’applications industrielles. • Magnétisme de l’atome. Rôle du spin. • Magnétisme d’une assemblée d’atomes. Paramagnétisme. • Ferro-magnétisme. Couplage d’échange. • Matériaux ferro-magnétiques. Champs coercitifs. • Électronique de spin: influence du magnétisme sur le transport électrique • Électronique de spin: exemples d’applications (capteurs, mémoires, etc). D. Halley ENSPS

2. Magnétisme d’une assemblée d’atomes Magnétisme à l’échelle macroscopique D. Halley ENSPS

3. m Paramagnétisme Considérons une assemblée de N particules magnétiques (ions, molécules, amas magnétiques, etc) ayant tous la même aimantation en norme m. (voir chapitre précédent) On suppose qu’il n’y a pas d’interaction magnétique entre particules. (très important!) En l’absence de champ magnétique appliqué, le système est désordonné: les aimantations pointent dans différentes directions. Leur résultante M= Sm est nulle. B q En présence d’un champ magnétique appliqué, les moments s’orientent globalement selon B: leur résultante M= Sm est non nulle. m D. Halley ENSPS M

4. Loi de Curie Traitement classique: L’énergie magnétique de l’assemblée s’écrit: E= - S m.B = - B m N <cos(q)> Reste à calculer <cos(q)> : Où b=1/kBT et W est un angle solide En posant s= cos q et x= mB/kBT D. Halley ENSPS

5. Loi de Curie On aboutit à E= - B m N L(x) Où x= m.B/(kBT ) et L est la fonction de Langevin = coth(x)-1/x Pour x<<1, cth(x) ~1/x+x/3 donc L(x) ~x/3 d’où: M~ Nm2B/(3kBT) La susceptibilité magnétique s’écrit donc: c=M/H=C/T où C est la constante de Curie. Loi de Curie Haute température/bas moment: le désordre l’emporte, la susceptibilité est faible. Basse température/haut moment: la susceptibilité croît. D. Halley ENSPS

6. Susceptibilité La plupart des gaz, métaux, et certains sels sont paramagnétiques. C’est souvent un effet à peine moins faible que le diamagnétisme. D. Halley ENSPS

7. Champ magnétique dipolaire Nous avons fait l’hypothèse de particules sans interactions magnétiques pour trouver la loi de Curie…. Hd m …..c’est négliger l’influence du champ magnétique créé par les autres particules magnétique sur une particule donnée. Le champ dipolaire Hd est le champ magnétique résultant créé par tous les dipôles magnétiques en un point donné du matériau. C’est une interaction à longue distance. Il faudra prendre en compte ces interactions pour modéliser les matériaux fortement magnétiques. D. Halley ENSPS

8. Résumé du chapitre • Ce qu’il faut retenir: • Définition d’un matériau paramagnétique: assemblée de moments magnétiques de résultante • nulle sous champ nul, s’alignant le long du champ sous l’effet d’un champ magnétique. • Loi de Langevin. • Loi limite: loi de Curie. • Champ dipolaire. Ce qu’il faut savoir faire: Appliquer les lois de Langevin et de Curie. D. Halley ENSPS

9. Plan du cours • Introduction: • historique • Quelques effets magnétiques simples. • Quelques exemples d’applications industrielles. • Magnétisme de l’atome. Rôle du spin. • Magnétisme d’une assemblée d’atomes. Paramagnétisme. • Ferro-magnétisme. Couplage d’échange. • Matériaux ferro-magnétiques. Champs coercitifs. • Électronique de spin: influence du magnétisme sur le transport électrique • Électronique de spin: exemples d’applications (capteurs, mémoires, etc). D. Halley ENSPS

10. Ferro-magnétisme Le paramagnétisme n’explique pas l’aimantation des aimants permanents (en l’absence de champ B appliqué). Comment expliquer l’aimantation à rémanence (sous B=0) dans: Certains métaux de transition: Fe, Co, Ni Les terres rares Certains oxydes comportant ces éléments… ? Pierre Weiss postule (vers 1900) l’existence d’un champ magnétique intrinsèque à ces matériaux: même à champ H appliqué nul, les moments magnétiques s’alignent sur le champ interne…. Ce n’est pas le champ dipolaire: il ne permettrait pas d’obtenir une aimantation à rémanence.. On l’appelle champ d’échange ou champ moléculaire He: Weiss pose: He= lM, avec l indépendant de T. Il s’agit d’un champ moyen vu par les spins et dû aux spins voisins. D. Halley ENSPS

11. Loi de Curie-Weiss Loi de Curie-Weiss Au-dessus d’une température Tc dite de Curie, l’aimantation spontanée disparaît. En dessous, les spins s’alignent selon le champ interne: une aimantation spontanée apparaît (rémanence). Au-dessus de Tc, les spins s’alignent sur un champ extérieur: paramagnétisme. Pour un matériau paramagnétique, sous champ faible*, la loi de Curie nous donne: c=C/T Or, par définition, on a : M= c H où H est le champ magnétique total= Hext+He Donc: M=C/T (Hext+He)=C/T(Hext+lM) D’où l’on tire M = C/(T- C l) Hext Loi de Curie-Weiss Que se passe t’il quand T=C l?... …un champ Hext même très faible donne une aimantation M du système importante. D. Halley ENSPS * Plus exactement pour une faible fractions des spins alignés…

12. Température de Curie T=C lest la température de Curie. Ces matériaux sont dits ferro-magnétiques. Tc pour différents matériaux: Fe : 1043 K Co : 1400 K Ni : 631 K Gd : 292K CrO2 : 392K EuO : 69K En dessous de Tc le système possède une aimantation spontanée... D. Halley ENSPS

13. Influence de T sur l’aimantation Comment varie l’aimantation spontanée M(H=0) en fonction de T sous la température de Curie? On ne peut plus faire l’hypothèse selon laquelle une faible fraction des spins est ordonnée. M est toujours donnée par: M= N mL ( mH/kBT) Ici, H est le champ interne He=l M (en effet Hext=0 à rémanence) On est donc amené à résoudre une équation implicite: M=NmL(mlM/kBT) Transition du second ordre (pas de chaleur latente associée) (ici Tc=600K) D. Halley ENSPS

14. Couplage d’échange Le champ de Weiss est une modélisation simple du couplage d’échange: L’énergie magnétique (effective) associée à deux spins voisins (1) et (2) s’écrit: E= - 2 A S1.S2 A est appelée intégrale d’échange, et ce modèle, modèle d’Heisenberg. M résultante M résultante S2 S1 S3 Réseau cristallin et atomes magnétiques portant un spin Si. A A Si A >0, les spins tendent à s’aligner: l’effet sur S1 est bien celui d’un champ interne au matériau, lié à l’aimantation (résultante des orientations de S). D. Halley ENSPS

15. Couplage d’échange Le couplage d’échange est un phénomène purement quantique: conséquence du principe d’exclusion de Pauli. 2 1 Il existe un énergie dite coulombienne de répulsion entre les deux électrons: W= q1q2/ | r1-r2| en classique Celle-ci doit être intégrée sur toutes les positions possibles r1 et r2en mécanique quantique, pondérées par les probabilités de présence ( module carré des fonctions d’onde). Or, les deux électrons (fermions ) ne peuvent pas avoir la même position et les mêmes nombres quantiques: Dans le cas où m1s=1/2 et m2S=1/2 et où les n, l et ml sont égaux, f(r1,r2) =0 si r1= r2 donc West plus faible que si m1s et m2s sont différents… D. Halley ENSPS

16. Couplage d’échange: pour aller plus loin* • On définit le ket à deux électrons |n, l; n’,l’ ;L,ML; S,MS> produit d’une partieorbitale et d’une partie de spin. Le ket doit être globalement antisymétrique sous échange des électrons 1 et 2. • On calcule alors d(L,S)= <n, l; n’,l’ ;L,ML; S,MS |W | n, l; n’,l’ ;L,ML; S,MS> • 3S: Si le spin total S vaut 1 (état triplet), la partie de spin est antisymétrique (la permutation entre 1 et 2 fait apparaître un facteur (-1) S+1). La partie orbitale est alorsantisymétrique: elle s’annule pour r1=r2. • 1S:Si le spin total S vaut 0 (état singulet), la partie de spin est symétrique. La partie orbitale est alors symétrique: elle ne s’annule pas pour r1=r2. J est appelée intégrale d’échange, le plus souvent >0. 3S est donc un état de plus basse énergie: les spins sont parallèles, dans une vision classique. d(3S) = K - J et d(1S) = K + J Attention ne pas confondre avec J moment cinétique! D. Halley ENSPS *Voir Cohen-Tannoudji, tome 2 p1418

17. Anti-ferro et ferri-magnétiques La constante de couplage d’échange K peut être négative: dans ce cas les spins alternent de façon à minimiser l’énergie du système. La résultante est une aimantation nulle. Le système est dit anti-ferro magnétique. Ex: le chrome, le manganèse, NiO etc. Si les sites ne sont pas équivalents (cf Fe2O3), une aimantation résultante peut apparaître: on parle de ferri-magnétisme. Les spins rouges ne sont pas compensés par les noirs… D. Halley ENSPS

18. Résumé du chapitre Ce qu’il faut retenir: • Le ferro-magnétisme est dû au couplage d’échange entre spins. • Ce couplage est un phénomène quantique et peut être modélisé en première • approche par un champ magnétique interne moyen (champ de Weiss). • La température de Curie correspond à la température d’apparition d’une aimantation • spontanée. • Si la constante de couplage est négative, on observe un ordre anti-ferro-magnétique • sans aimantation résultante. • Ce qu’il faut savoir faire: • Appliquer la loi de Curie-Weiss, calculer une température de Curie. • Calculer une aimantation à saturation. D. Halley ENSPS

19. Plan du cours • Introduction: • historique • Quelques effets magnétiques simples. • Quelques exemples d’applications industrielles. • Magnétisme de l’atome. Rôle du spin. • Magnétisme d’une assemblée d’atomes. Paramagnétisme. • Ferro-magnétisme. Couplage d’échange. • Matériaux ferro-magnétiques. Champs coercitifs. • Électronique de spin: influence du magnétisme sur le transport électrique D. Halley ENSPS

20. Matériaux ferro-magnétiques Comportement de l’aimantation sous champ magnétique D. Halley ENSPS

21. État de plus basse énergie Couplage Zeeman S Effet du champ H sur un spin? H Mécanique quantique: levée de dégénérescence par effet Zeeman E= …..H. S, soit, en prenant l’axe de quantification selon H: E= ….H ms H=0 H<>0 ms= +1 ms= -1 D. Halley ENSPS

22. Effet du champ magnétique sur l’aimantation D’un point de vue macroscopique, l’énergie de couplage s’écrit: E = -m0M. H, minimale pour M et H alignés. M H L’aimantation d’un matériau ferromagnétique tend à s’aligner sur le champ extérieur. Mais d’autres termes rentrent en jeux….. D. Halley ENSPS

23. S S Anisotropie magnétique L’environnement d’un atome (et donc du spin qu’il porte) n’est pas isotrope: Exemple d’un cristal: les directions cristallographiques ne sont pas équivalentes (pas les mêmes distances entre atomes) L’énergie magnétique du système n’est pas la même dans les deux configurations… D. Halley ENSPS

24. Anisotropie magnétique Il existe un ou des axes dits « faciles » le long desquels l’aimantation a « intérêt «  à s’aligner ». Ceci est dû au couplage spin-orbite (L.S cf cours de mécanique quantique): la partie orbitale de la fonction d’onde est anisotrope, ce qui induit une anisotropie sur le spin. q q Un seul axe facile: Emag= K sin2(q) Deux axes faciles à 90°: Emag= K sin2(2q) D. Halley ENSPS

25. Cycles d’aimantation Lorsque l’on fait varier la norme du champ H appliqué au matériau en suivant un cycle, l’aimantation varie en suivant le champ H: Msat H Hc Mprojetée M • Pour les champs forts, l’aimantation est selon H, • et égale à la valeur à saturation. • Pour les champs faibles celle-ci s’inverse. • Elle s’annule pour un champ Hc appelé champ • coercitif. hystérésis Aimantation projetée selon une direction donnée: celle du champ appliqué D. Halley ENSPS

26. Applications • fort coercitif: matériaux magnétiquement durs: • aimants de fermeture. • aimants de moteurs, haut-parleurs, etc. • bits d’enregistrement des disques durs • faible coercitif, faible hystérèse: aimant doux • tôles de transformateurs. • noyau d’électro-aimants. D. Halley ENSPS

27. Domaines magnétiques Nombreux aciers (inox) essentiellement à base de fer, mais non magnétiques! Tourne-vis Embout non magnétique…mais dur Tige magnétique…moins dure Deux aciers différents Pourquoi de telles différences avec des compositions proches? D. Halley ENSPS

28. Domaines magnétiques NNNN SSSS Au niveau microscopique, on a dans ces aciers inox, toujours du ferromagnétisme. Mais apparaissent des domaines magnétiques dont la résultante est une aimantation faible ou nulle. Et pas de champs de fuite. Champ magnétique de fuite Parois magnétiques NNSS SSNN Pas d’aimantation macroscopique Multidomaine Aimant permanent Bi-domaine Aimant permanent Mono-domaine D. Halley ENSPS Un faible changement de composition favorise l’apparition de domaines: Abaisse l’énergie de création de parois (voir champ dipolaire).

29. Domaines magnétiques H Image à force magnétique de domaines dans FePd: les domaines magnétiques sont séparés par des parois. Blanc: M up Noir: M down parois L’application d’un champ magnétique H fait grossir les domaines « up » aux dépens des domaines « down ». Ceci explique les cycles d’hystérèse non carrés. D. Halley ENSPS

30. Blindage magnétique Source (bobine) Comment écranter un fort champ magnétique? Effet sur la santé d’un champ statique de plusieurs Teslas? Ex: Exposition des personnels médicaux sur IRM. Susceptibilité magnétique élevée: matériaux ferro ou para magnétique. Le plus souvent, on Utilise le permalloy (alliage Fe-Ni). Avec écran Sans écran Le champ « boucle » dans l’écran Source (bobine) D. Halley ENSPS

31. Lien avec la perméabilité D. Halley ENSPS

32. Résumé du chapitre Ce qu’il faut retenir: • il y a compétition entre l’anisotropie et la tendance à aligner M selon H. • L’aimantation suit un cycle d’hystérésis en fonction de H. Le champ coercitif • caractérise les propriétés de l’aimant. • Des domaines magnétiques peuvent se former et réduire l’aimantation globale. • Ce qu’il faut savoir faire: • calculer un champ coercitif ou une force magnétique D. Halley ENSPS