MIT503 Veri Yapıları ve algoritmalar V eri ağaçları

1. MIT503 Veri Yapıları ve algoritmalarVeri ağaçları Y. Doç. Yuriy Mishchenko

2. Veri ağaçları Ders planı • Veri ağaçlarının nedeni – neden veri ağaçları? • İkili ağaçları ve arama veri ağaçları • Veri agaçlarının temel operasyonları: arama, min ve maxbulma • Dengesiz ve dengeli veri ağaçları

3. Neden veri ağaçları • Veri ağaçlarını tartışmadan önce, son derslerden bir örneği hatırlatayım: sıralanmış dizide arama • Sıralanmış dizi[1,3,7,8,10,15,16,17,21,22,23,25,...] • İkiye bölme algoritması: ortadaki nesneyi incelemeleyince o nesneye göre ya da sol ya da sağ tarafta arama devam edilir v.b.

4. Neden veri ağaçları • Sıralanmamış dizide, bir hedefi bulmak için tüm nesnelere bakmak gerekiyor – dizinin boyutu n ise,O(n) zaman lazım • İkiye bölme algoritması, O(log2 n) kadar adım gerekiyor --- n=106, 106 karşı log2 106=20 vakit tüketimi var

5. Neden veri ağaçları • Büyük veri depolama stratejisi: • Depolanacak veriler için bir sıralanmış diziyi oluşturmak istiyoruz • Nasıl? • Sıralanmamış dizi oluşturmak için yeni veriler tek operasyonla eklenebilir • Sıralanmış dizi oluşturmak için, dizinin sıralanmış olmasını tuturken yeni veri eklemek için önce yeni verinin doğru yeri bulmak lazım

6. Neden veri ağaçları • Yeni veri için, ilk önce uygun bir yer aranırsa • Örneğin: • Sıralanmış dizi = “1,3,4,7,8,9,11,22,23,25,27,33” • “10” nesneyi eklemek için, ilk önce dizide uygun yeri bulmak zorundayız – burada, “9” nesneden sonrası • Bu işlem ikiye bölme araması kullanarak yapılabilir İkiye bölme araması... 2 5 7 11 12 13 17 22 23 30 hedef aramasının sırası

7. Neden veri ağaçları • Bu nedenle, sıralanmış dizinin sıralanmış olmasını tuturken oluşturma O(n*log n) adım gerekiyor • Basit dızınin oluşturulmasının O(n)’den daha çok • Ama veri geri almak için, sıralanmış dizi sadece O(log n) adım gerekiyor, sıralanmamış dizinin O(n)’den daha çok az • Bu şekilde, büyük verilerin sıralanmış şekilde oluşturulup tutulması faydalıdır

8. Neden veri ağaçları • Sonuç: sıralanmış dizi oluşturmanın daha fazla vakit ihtiyacına rağmen, büyük veri depolama için sıralanmış veriler daha çok avantajlıdır. • Veri agaçları, bilgisayarlarda sıralanmış veri depolamak için araçtır

9. Ağaçlar • Ağaçlar, grafların özel bir durumudur • Graflarda düğümler ve onlar arasındaki oklar gösteren ilişkiler veya bağlantılar var • Düğümler, nesneleri temsil ederler ve bağlantılar, onların ilişkisini temsil ederler

10. Graflar ve ağaçlar Okları takip eden bir zincire, “patika” denir (path) • Bu bir graf düğüm bağlantı patika Aynı düğümda başlayan ve duran bir patikaya, “döngü” veya “devir” denir (cycle) döngü

11. Graflar ve ağaçlar Özet: • Graflar, düğümler ve bağlantılar içeren çizilgelerdir • Düğümler, nesneleri temsil ederler ve bağlantılar, onların ilişkisini temsil ederler • Bağlantıların bir zincirine, “patika” denir • Aynı düğümde başlayan ve duran patikalara “döngü” denir • Döngü içermeyen graflara ağaç denir

12. Graflar ve ağaçlar • Graf Döngüler var döngü

13. Graflar ve ağaçlar • Ağaç Döngüler yok Bu bir ağaç

14. Graflar ve ağaçlar • Birkaç ağaç Önceki sayfadaki ağaca eşit – ben sadece düğümleri taşıdım

15. Graflar ve ağaçlar • Birkaç ağaç Önceki sayfadaki ağace eşit – ben sadece düğümleri taşıdım

16. Graflar ve ağaçlar • Birkaç ağaç Başka ağaç

17. Graflar ve ağaçlar • Ağaçların terimler Ağaç kökü Ana düğüm Ağaç yaprakları Çocuk düğüm Ağaç seviyesi Ağacın yüksekliği

18. Graflar ve ağaçlar Ağaç kökü, ağacın en yüksek düğümüdür • Ağaçların terimler Ağaç kökü Bütün bağlantılar için, bağlantının çıktığı düğüme “ana” düğüm denir Ana düğüm Çocuk düğüm Bütün bağlantılar için, bağlantının bittiği düğüme “çocuk” dügüm denir

19. Graflar ve ağaçlar • Ağaçların terimler Ağaç kökü Ağaçlarda, tüm düğümler her zaman tek ana düğüme bağlıdır Ana düğüm Çocuk düğüm Bir düğümün bir veya birkaç çocuk olabilir Ağaç kökünün sadece çocuklar olabilir

20. Graflar ve ağaçlar Ağaçta, kökünden başka düğümlere “yapraklar” denir • Ağaçların terimler Ağaç kökü Ağaç yaprakları Kökten aynı uzaklıkta olan yapraklara “ağaç seviyesi” denir Ağaç seviyesi Maksimum seviyesine “ağacın yüksekliği” denir (o bir sayıdır) Burada yüksekliği 4, çünkü 4 seviyesi var Ağacın yüksekliği = 4

21. Graflar ve ağaçlar • Döngü içermeyen graflara ağaçdenir • Ağacın en yüksek düğüme “agaç kökü” denir • Bağlantıların çıktığı düğümlerine “ana düğüm” denir • Bağlantıların bittiği düğümlerine “çocuk düğüm” denir • Ağaçta, kökten başka düğümlere “yapraklar” denir • Kökten aynı uzaklıkta olan yapraklar için “seviye” denir • Maksimum uzaklıkta olan seviyeye “agacın yüksekliği” denir • Ağaçlarda, tüm düğümlerde tek ana düğme var • Ağaç kökünün sadece çocuklar var

22. Graflar ve ağaçlar • Ağaçlar, bağlantılı listeler kullanarak uygulanabilir, yani düğümler ve çocuklara işaretçiler • Bağlantılı listenin üyesi: • Düğüm adı • Çocuklara işaretçiler • Herhangi ek verileri (yükü)

23. Graflar ve ağaçlar • Ağaç düğümlerin hepsinin maksimum iki çocuğu varsa, o agaçlara “ikili ağaç” denir Üç çocuk var ikili ağaç ikili ağaç değil

24. Graflar ve ağaçlar • İkili ağaçlara programlamada arama ağacıdenir, ve verilerin sıralanmış depolanması için kullanılır

25. Graflar ve ağaçlar • Arama ağaçlarının en önemli özelliği: • Her düğüm için soldaki tüm anahtarların daha küçük ve sağdaki tüm anahtarlarındaha büyük olması gerekiyor 9 5 15 3 18 7 12 1 4 11 14

26. Graflar ve ağaçlar • Arama ağaclarının en önemli özelliği: • Her düğüm için soldaki tüm anahtarların daha küçük ve sağdaki tüm anahtarlarındaha büyük olması gerekiyor 9 daha büyük daha küçük 5 15 3 18 7 12 1 4 11 14

27. Graflar ve ağaçlar • Arama ağaclarının en önemli özelliği: Burada, hepsi 9’dan daha büyük olmalı 9 Burada, hepsi 9’dan daha küçük olmalı 5 15 11 burada olmaz ! 3 7 18 12 1 4 11 14

28. Graflar ve ağaçlar • Arama ağaçlarının en önemli özelliği: 9 hepsi 5’ten daha küçük 5 hepsi 5’ten daha büyük 15 Aynı şekilde tüm yapraklar için 3 7 18 12 1 4 11 14

29. Graflar ve ağaçlar • Arama ağaclarında nesneler sıralanmış, efektiv arama mümkün 9 5 15 3 18 7 12 1 4 11 14

30. Veri ağaçların işlemleri • Arama ağaç veri yapısı; • Düğüm arama • Min düğüm • Maks düğğm • Bir düğümün annesi • Bir düğümün çocukları • Düğüm ekleme • Düğum kaldırma 9 5 15 3 18 7 12 1 4 11 14

31. Veri ağaçların işlemleri • Min ve max işlemleri • Min – her zaman sola gidin, max – her zaman sağa gidin 9 max min 5 15 3 7 12 18 1 4 11 14

32. Veri ağaçların işlemleri • Min ve max işlemleri minp:=ağaç.kök p.sol_çocuk varken p:=p.sol_çocuk döngü sonu yaz p.değeri başlangıç p.sol_çocuk var? evet p:=p.sol_çocuk max p:=ağaç.kök p.sağ_çocuk varken p:=p.sağ_çocuk döngü sonu yaz p.değeri hair yaz p.değeri durak

33. Veri ağaçların işlemleri • Arama işlemi • Kökten başlayınca düğümleri karşılaştırın; hedef düğümünden büyükse, sağa gidin, küçükse, sola gidin 14 9 5 15 14 3 7 12 18 14 1 4 11 14

34. Veri ağaçların işlemleri başlangıç • Arama işlemi eşit ise Aramap:=ağaç.kök döngü başlangıcıp.düğüm=hedef isedöngüden çık p.düğüm>hedef ise p:=p.sol_çocukp.düğüm<hedef ise p:=p.sağ_çocuk p varken yaz p p.değeri karşı hedef p:=p.sol_çocuk daha büyük ise daha küçük ise p:=p.sağ_çocuk yaz p durak

35. Veri ağaçların işlemleri • Eklemeişlemi • Kökten aramada gibi ilerleyin • Son düğüme sağda yeni düğümü ekleyin • Yeni ağaç, arama ağacının koşulu karşılıyor (kolay) 8 9 5 15 8 3 12 18 7 1 4 8 11 14 Yeni anahtar

36. Veri ağaçların işlemleri Kısaltma • Min – her zaman sola gidin • Max – her zaman sağa gidin • Arama – kökte başlayınca düğümleri karşılaştırın; hedef düğümden büyükse, sağa, küçükse, sola gidin • Ekleme –aramada gibi kökten ilerleyin; sonunda son düğüme sağda yeni düğüm ekleyin

37. Veri ağaçların işlemleri • Kaldırma için, üç durum olabilir • Kaldırılan düğümde çocuklar yoksa – düğümü kaldırın 9 5 15 3 12 7 Düğümü hemen kaldırabiliriz 1 4 11 14

38. Veri ağaçların işlemleri • Kaldırmada üç durum var • Kaldırılan düğümde çocuklar yoksa – düğümü silin 9 5 15 3 12 7 Düğümü hemen silebiliriz 1 4 11 14

39. Veri ağaçların işlemleri • Kaldırılan düğümde tek çocuk varsa – düğümü silebiliriz; çocuğunu ana düğümüne bağlayabiliriz Düğümü kaldırabiliriz; çocuklarını ana düğümüne bağlayabiliriz 9 5 15 3 12 7 1 4 11 14

40. Veri ağaçların işlemleri • Kaldırılan düğümde iki çocuk varsa – kaldırılan düğümün solda bir çocuğunu bulmalıyız ki, o çocuğun tek sol çocuğu var ve kendisi en sağdaki koşededir 9 5 15 Kaldırılan düğüm 3 7 12 1 4 11 14

41. Veri ağaçların işlemleri • Kaldırılan düğümde iki çocuk varsa – kaldırılan düğümün solda bir çocuğunu bulmalıyız ki, o çocuğun tek sol çocuğu var ve kendisi en sağdaki koşededir 9 5 15 Kaldırılan düğüm 3 7 12 En sağdaki köşe 1 4 11 14

42. Veri ağaçların işlemleri • Böyle çocuğu kaldırılan düğümün yerine taşınmalı 9 4 15 Kaldırılan düğüm 3 7 12 1 4 11 14

43. Veri ağaçların işlemleri • Yeni ağaç, arama ağacının koşulunu karşılıyor 9 4 15 Kaldırılan düğüm 3 7 12 Alternatif olasılığı 1 4 11 14

44. Veri ağaçların işlemleri • Alternatif olarak, kaldırılan düğümün sağda bir çocuğunu bulmalıyız ki, o çocuğun tek sağ çocuk var ve kendisi en soldaki köşededir • O düğüm, kaldırılan düğümün yerine taşınmalı 9 7 15 Kaldırılan düğüm 3 7 12 En soldaki köşe 1 4 11 14

45. Veri ağaçların işlemleri • Önceki işlemlerin, ağacın yüksekliği H ise, en çok O(H) zaman gerekir

46. Veri ağaçların işlemleri • Önceki işlemlerin, ağacın yüksekliği H ise, en çok O(H) zaman gerekir 4 9 4 5 15 H 3 12 18 4 7 1 4 11 14

47. Veri ağaçların işlemleri • Ağacın yüksekliği H ağaçtaki düğümlerin sayısınalog n olarak bağlıdır, yani çok verimli • Gerçek hayatta H ağacın oluşturulduğu sürecine bağlı • Ağaç sıralanmış sayılar kullanarak oluşturulduysa, H düğüm sayısına eşit olabilir !!!

48. Veri ağaçların işlemleri • Sıralanmış giriş –1,2,3,5,7,9,... 1 1 1 1 2 2 2 3 3 5 5 Ekleme işlem algoritmasına göre,nesnelerin hepsi sağda eklenmiştir ! 7 9 Çok kötü!!!

49. Veri ağaçların işlemleri • Bu tip ağaçlara “dengesiz” denir • H büyükse, bu çok kötü, bütün işlemler çok uzun olur, performansa zarardır • Bu nedenle, arama ağaçları algoritma tarafından sürekli dengelenmeli • Arama ağaç dengeli ise, sağ ve sol alt ağaçları yaklaşık olarak eşit olmalı, ve H log n ‘e yakın olmalıdır

50. Veri ağaçların işlemleri Eşit değil Eşit 5 Sol Sağ 9 Sol Sağ 1 5 15 15 3 12 18 3 7 12 18 11 14 1 4 11 14