Exercícios Capítulo 3 – A Tese de Church-Turing Sipser – Introdução à Teoria da Informação

1. Exercícios Capítulo 3 – A Tese de Church-TuringSipser – Introdução à Teoria da Informação Erick Vagner Cabral Igor Lucena Vitor Baptista

2. Exercicío 3.1 • d) 000

3. Exercicío 3.2 • a)

4. Exercicío 3.4 • Definindo um Enumerador: 7-upla (Q, ∑, Γ, δ, q0 , qaceita,qimprime) δ : Q x Γ Q x Γ x {E,D} x ∑€ t m FITA DE IMPRESSÃO a b bb a FITA DE TRABALHO δdefine se a cada passo, escreverá na fita de impressão δ(q0, a) = (q1,a, R, m) δ(q1, b) = (qprint,a, R, t) Sempre que entrar no qimprime, “limpa” a fita de impressão e volta o cabeçote da fita de impressão para o inicio Pará quando entrar no qaceita

5. Exercício 3.6 • Definição válida para enumerador? E = “Ignore a entrada • Repita o que se segue para i = 0,1,2,... • Rode M sobre si. • Se ela aceita, imprime si.” Se M entrar em loop para uma certa entrada si? E nunca irá testar as entradas posteriores à si(si+1, si+2, ...). Logo o enumerador irá falhar para L(M).

6. Exercício 3.7 • Por que não é legítima? M = “A entrada é um polinômio p sobre as x1, x2,..., xk ” • Tente todas as possíveis valorações de x1, x2,..., xkpara valores inteiros. • Calcule o valor de p sobre todas essas valorações. • Se alguma dessas valorações torna o valor de p igual a 0, aceite; caso contrário, rejeite.” - Não é uma descrição legítima. - O erro está no fato de que uma sequencia x1, x2,..., xntem um conjunto infinito de possibilidades. E em uma MT é necessário que possamos descrever cada estágio em uma sequencia finita de passos.

7. Problema 3.9 • Seja um k-AP um autômato de pilha que tem k pilhas. Portanto, um 0-AP (AFN) < 1-AP (AP convencional). • 2-AP’s são mais poderosos que 1-AP’s? Resposta: Seja A = {anbncn| n ≥ 0} , pelo lema do bombeamento, provamos um autômato de pilha não é capaz de reconhecer essa linguagem. Já se temos 2 pilhas podemos reconhecer essa linguagem facilmente, fazendo os seguintes passos.

8. Problema 3.9 • cont. 2-AP’s são mais poderosos que 1-AP’s? A = {anbncn| n ≥ 0} • Empilha todos os a’s que aparecerem no • começo da cadeia na Pilha A. • Empilha todos os b’s que aparecerem • após os a’s na pilha B. • Lembre-se da ordem! Se aparecer algum • a enquanto estava empilhando b’s. REJEITA. • Por fim, a partir do primeiro c visto, • Desempilha um a e um b para cada c. • Se restar algum a ou algum b. REJEITA. • Se as pilhas A e B estão vazias no fim, ACEITA. Pilha A Pilha B

9. Problema 3.9 • cont. 2-AP’s são mais poderosos que 1-AP’s? A = {anbncn| n ≥ 0} • EXEMPLO: w = aabbcc ACEITA! a b b a Pilha A Pilha B

10. Problema 3.11 Para provarmos que uma MT M com fita duplamente infinita é semelhante a uma MT comum, basta provarmos que podemos simular uma MT comum em uma MT com fita duplamente infinita. ... a b a a b bb ...

11. Problema 3.11 Podemos simular uma MT com fita duplamente infinita, utilizando uma MT com 2-fitas, que é equivalente a uma MT comum. a b a b a a ... M ... A idéia é separar a fita duplamente infinita em 2 partes.

12. Problema 3.12 • Máquina de Turing com reinicialização à esquerda. δ : Q x Γ Q x Γ x {D, REINICIA} Para provarmos que uma MT M com reinicialização reconhecem a classe de linguagens Turing-recinhecíveis, basta provarmos que podemos simular uma MT comum em uma MT com reinicialização à esquerda.

13. Problema 3.12 • Máquina de Turing com reinicialização à esquerda. δ : Q x Γ Q x Γ x {E, D} Prova: FITA MT COMUM a a b b c c a b a ...

14. Problema 3.12 • Máquina de Turing com reinicialização à esquerda. δ : Q x Γ Q x Γ x {D, REINICIA} Prova: FITA MT REINICIA . a a b b c c a b a ...

15. Problema 3.13 Essa variação da máquina de turing pode ser simulada por um autômato finito não-determinístico. Assim como os autômatos essa variante não pode tornar a ler símbolos que já foram lidos. A leitura do próximo símbolo é equivalente a andar para a direita. A ação de permanecer no mesmo local pode ser simulada pelos movimentos vazios que podem ocorrer nesses autômatos e dispensam a leitura do próximo símbolo.

16. Problema 3.15 – Turing-Decidíveis • Concatenação Para quaisquer 2 linguagens decidíveis L1 e L2 , sejam M1 e M2MT’s que as decidem. Contruímos uma MT M’ que decide a concatenação de L1 e L2: “Sobre a entrada w: • Dividir w em 2 partes w1, w2 para cada combinação. • Rode M1 sobre w1 • Rode M2 sobre w2 • Se as duas aceitarem. Aceite. Continue com os próximos w1 , w2 • Se todos foram testados sem obter sucesso, Rejeite.

17. Problema 3.16 – Turing-Reconhecíveis • Concatenação Para quaisquer 2 linguagens Turing-Reconhecíveis L1 e L2 , sejam M1 e M2MT’s que as reconhecem. Contruímos uma MT M’ que reconhece a concatenação de L1 e L2: “Sobre a entrada w: • Dividir w em 2 partes w1, w2 para combinação escolhida não-determiniscamente. • Rode M1 sobre w1, se parar e rejeitar, Rejeite. Se aceitar, Aceite e vá para o próximo passo. • Rode M2 sobre w2, se parar e rejeitar, Rejeite. Se aceitar, Aceite. OBS: - M’ aceitará porque chega a seu estado de aceitação após um número finito de passos. - Se uma delas entrarem em loop, M’ entrará em loop.

18. Problema 3.15 – Turing-Decidíveis DICAS: • Estrela Dica: w = w1, w2, ..., wn Se aceitar à cada w, no término aceitará. • Complementação Roda M. Então se M aceita, REJEITE, Se M rejeitar, ACEITE. • Intersecção Só aceitará se M1 e M2 ambos aceitarem.