MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II TEMA 1 Sistemas de ecuaciones lineales Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN TEMA 1.7 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN • Es similar al método de Gauss. Se emplea en la resolución de sistemas lineales de tantas ecuaciones como incógnitas. • Se emplean las mismas reglas de sistemas equivalentes que en el Método de Gauss. • OBJETIVO: Conseguir que los coeficientes de la diagonal principal de un sistema sean unos y el resto de los coeficientes valgan cero. • Sea: a.x + b.y + c.z = d • a´.x + b’.y + c’.z = d’ • a”.x + b”.y + c”.z = d” • Opero mediante el Método de Gauss, obteniendo: • a.x + b.y + c.z = d • + e.y + f.z = g • h.z = j Apuntes 2º Bachillerato C.S.

4. MÉTODO DE GAUSS-JORDAN • Aplico el método de Jordan: • Resto a la 2º fila la 3º fila multiplicada por f / h • Resto a la 1º fila la 3º fila multiplicada por c / h • Queda: • a.x + b.y = k • + e.y = p • h.z = j • Resto a la 1º fila la 2º fila multiplicada por b / e • Queda: • a.x = q  x = q / a • e.y = p  y = p / e • h.z = j  z = j / h Apuntes 2º Bachillerato C.S.

5. Aplicación de Gauss-Jordan • 1.-Una empresa fabricó tres tipos de estanterías: A, B y C. Para ello se utilizaron unidades de madera, plástico y aluminio, tal como figura en la siguiente tabla: • TIPOS MADERA PLÁSTICO ALUMINIO • A 1 unidad 1 unidad 2 unidades • B 1 unidad 1 unidad 3 unidades • C 1 unidad 2 unidades 5 unidades • La empresa tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1500 de aluminio. Sabiendo que utilizó todas sus existencias, calcular cuántas estanterías de cada tipo fabricó. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

6. RESOLUCIÓN: • Llamemos x, y, z al número de estanterías de tipo A, B y C respectivamente. • El sistema de ecuaciones quedará así: • x + y + z = 400 • x + y +2z = 600 • 2x + 3y + 5z = 1500 • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: • 1 1 1 400 • 1 1 2 600 • 2 3 5 1500 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

7. Aplicando el método de Gauss: • A la tercera fila o ecuación la resto dos veces la primera fila o ecuación. • F3 = F3 – 2F1 • A la segunda fila o ecuación la resto la primera fila o ecuación. • F2 = F2 - F1 • 1 1 1 400 • 0 0 1 200 • 0 1 3 700 • Permutamos las dos últimas filas: • 1 1 1 400 • 0 1 3 700 • 0 0 1 200 • Vemos que el sistema ha quedado escalonado. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8. Aplicando el método de Jordan: • A la primera fila o ecuación la resto la tercera fila o ecuación. • F1 = F1 – F3 • A la segunda fila o ecuación la resto tres veces la tercera fila o ecuación. • F2 = F2 – 3.F3 • 1 1 0 200 • 0 1 0 100 • 0 0 1 200 • Por último a la primera fila la resto la segunda. • F1 = F1 – F2 • 1 0 0 100 x = 100 • 0 1 0 100 y = 100 • 0 0 1 200 z = 200 • Vemos que x = 100, y = 100 , z = 200 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

9. Aplicación de Gauss-Jordan • 2.- La suma de las tres cifras de un número es 14. La cifra de las centenas y la de las decenas suman la de las unidades. Si invertimos el orden de las cifras el número aumenta en 396 unidades. ¿De qué número se trata?. • Resolución: • Sea N = zyx el número pedido • Sea x = la cifra de las unidades. • Sea y = la cifra de las decenas. • Sea z = la cifra de las centenas. • Tenemos: • x+y+z = 14  x + y + z = 14 • z+y=x  x – y – z = 0 • xyz=zyx+396  100.x+10.y+z = 100.z + 10.y + x + 396 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

10. El sistema de ecuaciones quedará así: • x + y + z = 14 • x – y – z = 0 • 99.x – 99.z = 396 • Lo resolvemos utilizando la matriz ampliada, compuesta por los coeficientes y los términos independientes: • 1 1 1 14 • 1 -1 -1 0 • 99 0 -99 396 • Aplicando el método de Gauss: • F3 = F3 – 99F1 y F2 = F2 - F1 • 1 1 1 14 • 0 – 2 – 2 – 14 • 0 – 99 – 198 – 990 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

11. Dividiendo entre - 2 la segunda y entre – 99 la tercera, queda: • 1 1 1 14 • 0 1 1 7 • 0 1 2 10 • A la tercera fila o ecuación la resto la segunda fila o ecuación. • F3 = F3 – F2 • 1 1 1 14 • 0 1 1 7 • 0 0 1 3 • Aplicando el método de Jordan: • A la primera fila la resto la segunda y a la segunda la resto la primera: • 1 0 0 7  x = 7 • 0 1 0 4  y = 4 • 0 0 1 3  z = 3 • Solución: N = 347 Apuntes 2º Bachillerato C.S.