Własności funkcji

1. Własności funkcji Funkcja różnowartościaowa, monotoniczna, parzysta, odwrotna. Zadanie 16 Aby przeglądać rozwiązanie „krok po kroku” proszę włączyć : pokaz slajdów i przyciskać Enter

2. Wykazać, że funkcja f(x) jest różnowartościowa, nieparzysta i monotoniczna. Znaleźć funkcję odwrotną . Wykonać wykresy funkcji i funkcji odwrotnej. Funkcja f(x) jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych, bo mianownik jest różny od zera dla wszystkich x z R. Zbadamy nieparzystość funkcji : funkcja ma dziedzinę symetryczną względem zera oraz Ponieważ f(-x)=-f(x), to funkcja jest nieparzysta. Zbadamy różnowartościowość funkcji. Funkcja jest różnowartościowa, jeśli tym samym wartościom funkcji odpowiadają te same argumenty tzn.: jeśli z warunku wynika otrzymujemy

3. Przenieśmy wszystkie wyrazy na jedną stronę: i rozpatrzmy kilka przypadków. 1. Załóżmy, że oba argumenty są dodatnie, wtedy a zatem 2. Teraz zakładamy, że oba argumenty są ujemne: i w tym wypadku też 3. Następny przypadek to taki, że argumenty są różne i mają różne znaki np.: wtedy Przeniesiemy ostatni człon na lewą stronę, dostajemy Ale taka równość nie jest możliwa, bo po lewej stronie mamy liczbę ujemną, a po prawej stronie liczbę dodatnią, bo Czyli trzeci przypadek nie jest możliwy. Wykazaliśmy, że argumenty dla tych samych y-ów muszą być równe, zatem funkcja jest różnowartościowa.

4. Zajmiemy się badaniem monotoniczności funkcji f(x). Weźmy dwa argumenty : i zbadamy różnicę wartości funkcji Jeśli ta różnica będzie mniejsza od zera, to funkcja będzie rosnąca, bo dla mniejszych argumentów przyjmuje mniejszą wartość, a dla większych, większą. Jeśli różnica będzie większa od zera, funkcja będzie malejąca - dla mniejszych argumentów przyjmuje większe wartości. Mianownik jest dodatni dla wszystkich argumentów. Zajmiemy się licznikiem. Podobnie jak poprzednio przy badaniu różnowartościowości funkcji , jeśli oba argumenty są dodatnie lub oba ujemne, to w liczniku zostanie tylko wyrażenie ujemne Różnica będzie ujemna. Jeśli mniejszy argument będzie ujemny a większy dodatni to licznik będzie miał postać i będzie ujemny . I w tym wypadku różnica będzie ujemna. Zatem Funkcja jest rosnąca.

5. Wykonamy rysunek funkcji f(x) i na jego podstawie określimy zbiór wartości funkcji. Funkcja , co wykazaliśmy, jest funkcją nieparzystą, zatem jej wykres jest symetryczny względem zera. Możemy narysować tylko tę część wykresu , która jest dla nieujemnych argumentów i skorzystać z powyższej własności dla argumentów ujemnych. Dla y=0.5 y= -0.5 Jeśli część wykresu ( na lewym rysunku czerwona ciągła linia) dla nieujemnych argumentów odbijemy symetrycznie względem zera, to otrzymamy wykres rozpatrywanej funkcji ( rysunek prawy). Z rysunku widzimy, że zbiór wartości funkcji to przedział otwarty (-0.5, 0.5).

6. Obliczmy funkcję odwrotną do podanej funkcji Funkcja odwrotna będzie przekształcać przedział ( -0.5, 0.5) na R. Dla x nieujemnych Funkcja odwrotna Zamieniając zmienne x i y , otrzymujemy Dla x ujemnych Funkcja odwrotna Ponownie zamieniając zmienne dostajemy Łącząc rozpatrywane przypadki możemy zapisać funkcję odwrotną jednym wzorem:

7. Wykonamy wykres funkcji odwrotnej: Funkcja ta jest różnowartościowa, rosnąca i nieparzysta. Funkcja f(x) miała asymptoty poziome y= -0.5 i y=0.5. Funkcja odwrotna ma asymptoty pionowe x= -0.5 i x =0.5. Zbiór wartości funkcji fprzeszedł na dziedzinę funkcji g i odwrotnie, dziedzina funkcji f przeszła na zbiór wartości funkcji g. x=0.5 x= -0.5