Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych

1. Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych dr Małgorzata Pelczar

2. Funkcje i ich własności DEFINICJA Funkcją f jednej zmiennej, określoną na zbiorze X i przyjmującą wartości ze zbioru Y (ozn. f:XY) nazywa się przyporządkowanie każdemu elementowi xX dokładnie jednego elementu yY. UWAGA x-argumenty funkcji f, y=f(x) wartości funkcji, X – dziedzina funkcji (ozn. Df), Y – przeciwdziedzina funkcji, {f(x)Y: xDf} = Wf – zbiór wartości funkcji.

3. Uwaga Jeżeli dany jest tylko wzór funkcji określający funkcję, to zbiór tych wszystkich elementów z R, dla których wzór ma sens nazywamy dziedziną naturalną.

4. y x y y y y y x x x x x Które wykresy są wykresami funkcji zmiennej x? a) b) c) d) f) e)

5. Równość funkcji DEFINICJA Funkcje f : DfY i g: DgYsą równe (f=g), jeżeli:

6. Funkcja „na” DEFINICJA Funkcja f odwzorowuje zbiór Xna zbiór y wtedy i tylko wtedy, gdy:

7. Funkcja ograniczona DEFINICJA f : DfYjest ograniczona z dołu na zbiorze A Df, jeżeli: f : DfYjest ograniczona z góry na zbiorze A Df, jeżeli:

8. Funkcja ograniczona DEFINICJA f : DfYjest ograniczona na zbiorze ADf, jeżeli jest ograniczona z góry i z dołu, czyli:

9. Funkcja złożona DEFINICJA Niech f : XY i g: ZWgdzie YZ.Złożeniem funkcji g i fnazywamy funkcję określoną wzorem:

10. Przykłady Określić złożenia i ich dziedziny:

11. Funkcja różnowartościowa DEFINICJA Funkcję nazywamy różnowartościową jeżeli:

12. Badanie różnowartościowości f(x) f(x1)= f(x2)= f(x3) x x2 1 x3 x1

13. Funkcja odwrotna DEFINICJA Niech będzie różnowartościowa.Funkcja odwrotną do fnazywamy funkcję spełniającą warunek:

14. Ilustracja funkcji odwrotnej f(x) x

15. Przykłady Znaleźć funkcje odwrotne do podanych:

16. Definicje granic wg Cauchy’ego Sąsiedztwem punktu x0Ro promieniu r>0(ozn. S(x0)) nazywamy zbiór: Sąsiedztwem lewostronnym (prawostronnym) punktu x0Ro promieniu r>0(ozn. S(x0-); S(x0+)) nazywamy zbiór:

17. Granica funkcji DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x0(ozn. ) jeżeli:

18. Ilustracja granicy funkcji w x0 f(x) x

19. Granica w + DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie (ozn. ) jeżeli: Uwaga: Definicja granicy w punkcie – jest analogiczna

20. Ilustracja granicy funkcji w  f(x) x 1

21. Granica lewostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0(ozn. ) jeżeli:

22. Granica prawostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0(ozn. ) jeżeli:

23. a) f(x) c) x f) b) e) f(x) f(x) f(x) f(x) d) f(x) x x x x x Podać granice funkcji w punkcie 1

24. c) f(x) a) x e) b) f) f(x) f(x) f(x) f(x) x x x x d) f(x) x Podać granice jednostronne funkcji w punkcie 1

25. Przykłady Znaleźć granice funkcji:

26. Definicje granic funkcji wg Heinego DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą funkcji f w punkcie x0(ozn. ) jeżeli:

27. Granica lewostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0(ozn. ) jeżeli:

28. Granica prawostronna DEFINICJA Mówimy, że g jest granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0(ozn. ) jeżeli:

29. Definicje Heinego

30. Warunek konieczny i dostateczny istnienia granicy TWIERDZENIE Funkcja f ma w punkciex0granicę (właściwą lub niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy:

31. Podstawowe wzory granic funkcji

32. Funkcja ciągłe DEFINICJA Otoczeniem punktu x0Ro promieniu r >0(ozn. O(x0,r)) nazywamy zbiór:

33. Otoczenia jednostronne DEFINICJA Otoczeniem lewostronnym punktu x0Ro promieniu r>0(ozn. O(x0-,r)) nazywamy zbiór: Otoczeniem prawostronnym punktu x0Ro promieniu r>0(ozn. O(x0+,r)) nazywamy zbiór:

34. Ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0Roraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 jeżeli:

35. Lewostronna ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0Roraz niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu O(x0-). Funkcja f jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 jeżeli:

36. Prawostronna ciągłość funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0Roraz niech f będzie określona przynajmniej na prawostronnym otoczeniu O(x0+). Funkcja f jest prawostronnie ciągła w punkcie x0 jeżeli:

37. Warunek konieczny i dostateczny ciągłości funkcji TWIERDZENIE Funkcja f jest ciągła w punkciex0wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewo i prawostronnie ciągła.

38. Ciągłość funkcji na przedziale Definicja Funkcja f jest ciągła na przedziale(a,b) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcja f jest ciągła na przedziale a,b jeżeli jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a,b) oraz lewostronnie ciągła w punkcie ai prawostronnie w punkcie b.

39. a) f(x) c) x b) d) f(x) f(x) f(x) x x x e) f(x) x Ilustracja ciągłości funkcji w punkcie 1

40. Twierdzenia dotyczące ciągłości funkcji f i g ciągłe w x0 f +g ciągła w x0. f i g ciągłe w x0 f·g ciągła w x0. f i g ciągłe w x0 f:g ciągła w x0, przy g(x0)0.

41. Ciągłość ważniejszych funkcji 1. Wielomian jest funkcją ciągłą dla xR. 2. Funkcja wymierna jest ciągła dla wszystkich xR, dla których mianownik jest różny od zera. 3. Funkcja potęgowa jest ciągła dla wszystkich x>0.

42. Ciągłość ważniejszych funkcji 4. Funkcja wykładnicza jest ciągła dla wszystkich xR. 5. Funkcja logarytmiczna jest ciągła dla x>0. 6. Funkcje trygonometryczne są ciągłe: f(x)=sinx i f(x)= cosx dla wszystkich xR; f(x)= tgx dla f(x)= ctgx dla

43. Przykłady Zbadać ciągłość funkcji w podanych punktach:

44. Przykład Dobrać parametry a, bR, tak aby podana funkcja była ciągła:

45. Nieciągłości funkcji w punkcie DEFINICJA Niech x0Roraz niech f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x0). Funkcja f jest nieciągła w punkcie x0 jeżeli: • nie istnieje • lub Uwaga: Nieciągłość rozważa się tylko w punktach należących do dziedziny.

46. Pochodne funkcji postaci y=f(x) DEFINICJA Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy granicę: Pochodną oznaczamy symbolami: iloraz różnicowy

47. Interpretacja geometryczna Pochodna funkcji f w punkcie x jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie. UWAGA Odnajdywanie pochodnej funkcji nazywa się różniczkowaniem funkcji.

48. Ilustracja pochodnej funkcji w x f(x) x

49. TWIERDZENIE Jeżeli funkcja ma w danym punkcie skończoną pochodną, to jest ciągła w tym punkcie. UWAGA Funkcja ciągła może nie mieć pochodnej, np. funkcja w punkcie x=0 nie ma pochodnej.

50. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego