Kiegyensúlyozott csoportok kialakítása egyetemi projektekhez

1. Kiegyensúlyozott csoportok kialakítása egyetemi projektekhez ILLYÉS LÁSZLÓ Sapientia Egyetem, Csíkszereda

2. Tartalom • Bevezető • Jelölések és a matematikai modell • Numerikus példa • Mohó megközelítése a két célfüggvénynek • Együttműködési stratégia kialakítása, mikor a csoportokban levő diákszámok különböznek • Genetikus algoritmus megközelítés • Játékelméleti meggondolások • Következtetések • Irodalom

3. Bevezető • Bizonyos terveket a tanítási folyamatban a hallgatók csoportokban készítik. Ez megköveteli, hogy bizonyos együttműködés alakuljon ki közöttük. Ha személyiség-teszttel vizsgáljuk meg a hallgatókat, olyan csoportokat tudunk alakítani amelyekben a szereplők adottságai kiegészítik egymást. El kell kerülnünk a 2 dudás 1 csárdában szindrómát. Ha nincs rendelkezésünkre álló pszichológus a tesztjeivel, hát más módszert is alkalmazhatunk: a pontozásos módszert.

4. Jelölések • Össz-hallgatószám: N • Csoportban levő hallgatók száma b vagyb+1 • Pontozás 1 től 5-g (5 a legnagyobb pontszám) • Pontozási mátrixcij{0,1,2,3,4,5}, cij=0 amikori=j (senki nem ad önmagának pontot). • Felépítjük az együttműködési mátrixot a következő értékekkel: vij=vji=cij*cji

5. A matematikai modell • Két célfüggvényünk van: • Az össz szociális jólét (az együttműködési értékek összege) maximalizálása • Kiegyensúlyozottcsoportok (a leggyengébben összeillő csoport pontjainak)maximalizálása

6. Matematikai modell • A matematikai modell több célfüggvényt tartalmaz. Az első célfüggvénymegadása az alábbiakban történik éselsőrendű szempont a professzor szemszögéből: • Max • aholxij=1hai és j hallgató ugyanabban a csoportban van. Másképp xij=0.

7. Matematikai modell • Ha Uk csoportokat alakítottunk ki, a következő célfüggvényt kell teljesítenünk, hogy kiegyensúlyozott csoportokat kapjunk • Max(Min ())

8. A legjobban akart diák:{5,6} A legjobban kooperáló diák: {6} Numerikus példa Pontozási mátrix Együttműködési mátrix A sorok jobb szélén látjuk a diák által adott pontokatés a mátrix alján látjuk a diák által kapott pontokat.

9. Mohó algoritmus koalíció alakítására • Egyenlő eredmények esetén lexikografikussorrend vagy valamilyen véletlenszerű sorrend érvényes • Az algoritmus LÉPÉSEKBEN történik • Minden, legjobban összeillő, 2 tagból álló csoportot számbaveszünk • A következő lépésben a LEGGYENGÉBBen összeillő csoportnak van előnye (ő választ hamarabb) az EGYENSÚLY kialakítása érdekében • Az algoritmus folytatódik a 2-es lépéssel, amíg nincs már több hallgató, aki szövetségre lépjen

10. Mohó algoritmus a két célfüggvény irányában – a csoportok kardinalitása {4, 4, 3} {2,6}={4,5}=25 {3,5}={4,11}={6,8}={8,9}=20 Második lépés: A LEGKEVÉSBÉ jó csoportotKIVÁLASZTJUK Egyensúlyi szempont {8, 9,10}=50 pont {2, 6, 7}=52 pont {3, 4, 5}=57 pont {1,8,9,10}=70;{2,6,7,11}=80; {3,4,5}=57 W=207; D=23

11. Stratégia a koalíció megalakításra, mikor a csoportok kardinalitása különböző A következő lehet: először hagyjuk, hogy kialakuljanak azon csoportok, amelyek kisebb létszámúak lesznek A mi esetünkben hagyjuk, hogy kialakuljon egy 3 személyes koalíció, a többiek fogják kialakítani a koalíciókat az előbbi mohó algoritmus szerint. A mi esetünkben ez a stratégia nem vezet jobb eredményre, de ha kicserélünk a koalíciós mátrixban egypár számot, máris láthatjuk, hogy a stratégiánk jól működik

12. Alkalmazva a stratégiát a módosított mátrixra: {4,5,11}=75 az elsőkoalícióra (legkisebb kardinalitású) És a {3,8,9,10}=80 és {1,2,6,7}=76 csoportok a pontszámokkal Az egyensúly jobb, D=80-75=5

13. Genetikus algoritmussal való megközelítés A genetikus algoritmus (GA) egy optimalizációs metódus,amelyik megpróbáljalemásolni a természet fejlődésifolyamatait. Először, a GA-ban pszeudo-aleatorikus kromoszómákat generálunk, amelyek kodifikálják a problémamegoldásának terét. Miután legeneráltuk az első populációt, kiszámítjuk az összesnek a jósági értékét (fitnessz), amelyik a célfüggvényből ered és megmutatja, hogy mennyire “jó” az általa képviselt megoldás. Ezután, az algoritmus kiválasztja azon egyedeit, amelyek szülő egyedek lesznek, akitnek a génállományukból örökölnek a következő generáció egyes egyedei A szelektív stratégia a természetet utánozza: a legjobb megoldásnak (kromoszómának) nagyobb esélye van, hogy szülő legyen

14. A többszörös utazóügynök probléma MTSP (Multiple Travelling Salesman Problem) Második rész A kromoszóma első része A két-részes kromoszóma struktúra A kromoszóma dekodifikációja: {5, 3, 4}=57; {1, 8, 9,10}=70; {2, 6, 7, 11}=80

15. Más problémák, amelyek a genetikus algoritmust meghatározzák • A jósági vagy fitnessz érték lehet: Ff=W+wmin- Az össz szociális érték+leggyengébb csoport étéke Természete kiválasztás • Monte Carlotipúsú kiválasztás • sztochasztikuskiválasztás, • tournament selection Keresztező operátorok a kromoszóma első részére • Inverzió • PMX (Partially Mixed Crossover) • OX (Order Crossover) • CX (Cycle Crossover) • ERC (Edge Recombination Crossover)

16. Mutációs operátor, a kromoszóma második részére

17. Játékelméleti megállapítások- a teljes dominancia definíciója • Az össz társadalmi értéke a domináns megoldásnak nagyobb vagy egyenlő, mint az általa domináltnak (W1>=W2) • A legkisebb koalíciós pontszámú csoport a domináns megoldásban nagyobb pontszámmal rendelkezik, mint a domináltban. (w1min>=w2min) Ha mindkét esetben egyenlőségünk van, akkor a megoldások egyenlő értékűek. A teljes dominancia tranzitív.Ha S2 »S1 és S3 » S2 akkor S3 » S1

18. Következtetések • Meghatároztunk egy érdekes problémát • Megadtuk a matematikai modellt hozzá • Megoldottuk mohó algoritmussal • Javasoltunk egy GA megoldást • Játékelméleti definíciót is adtunk • Egy alapja lehet a koalíciók keletkezésének a tanulmányozásához

19. Könyvészet • [1] Álmos, A. et.all., (2002), Genetikus algoritmusok, Typotex Kiadó Budapest • [2] Boldea C. R., (2003), A Genetic Algorithm for Windrum-Birchenhall Evolutionary Economic Model, INFOREC Printing House, Economy Informatics Volume III, Number 1/2003, pp. 84-87 • [3] Borgulya, I., (2004), Evolúciós algoritmusok, Dialóg Campus Kiadó Budapest-Pécs • [4] Carter A.E., Ragsdale C.T., (2005), A new approach to solving the multiple traveling salesperson problem using genetic algorithms, European Journal of Operational Research xxx (2005) xxx-xxx • [5] Darwin C. (1859): On the Origin of Species, John Murray, London • [6] Fabian, Cs. B., (2002), Generalized Simple and Crossover Mutations for Evolutionary Algorithms, International Conference on Economic Cybernetics Bucharest • [7] Heung-Suk H., (2002), An improved model for vehicle routing problem with time constraint based on genetic algorithm, Computers & Industrial Engineering 42, pp.361-369 • [8] Holland, J.H. (1975), Adaptation in Natural and Artificial Systems, Ann Arbour, University of Mitchigan Press. • [9] Illyés L., (2004), Genetic Algorithms for a Particular Covering Problem, International Conference on Economic Cybernetics, ASE Bucureşti, 22-24 april

20. Könyvészet 2 • [10] Illyés, L.; Pál, L., (2005) Generalized particular covering problem with genetic algorithms, AMO–Advanced Modeling and Optimization, Volume 7, Number 1, 2005, pp.1-7 • [11] Illyés L., (2005), Traveling Salesman Problem with Time Windows Solved with Genetic Algorithms, Collaborative Support Systems in Business and Education, International Workshop, Babeş-Bolyai University- Faculty of Economics and Business Administration, Risoprint, Cluj Napoca, ISBN: 973-651-008-9, pp.146-151. • [12] Jong, K. A. D. (1975), An analysis of the behaviour of a class of genetic adaptive adaptive systems, PhD Thesis, University of Michigan • [13] Jong, K. A. D. (1980), A genetic-based global function optimization technique, Technical Report, No.80-2, University of Pittsburgh • [14] Jong, K. A. D. (1987), On using genetic algorithms to search program spaces. In Proceedings of the 2nd International Conference on Genetic Algorithms and their Applications, pages 210-216, Hillsdale, NJ • [15] Michalewitz Z., (1999) Genetic Algorithms+Data Structures=Evolution Programs, New York, Springer • [16] Mitrovic-Minic S., Krishnamuri R., (2005), The multiple TSP with time windows: vehicle bounds based on precedence graphs, Operations Research accepted work.