AHP

1. AHP فرایند تحلیل سلسله مراتبی

2. پیشگفتار یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی (Analytical Hierarchy process-AHP) که اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980 مطرح شد . که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد .

3. انواع حالت های تصمیم گیری

4. اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی اصل 1. شرط معکوسی (Reciprocal Condition) اصل 2. همگنی (Homogeneity) اصل 3. وابستگی (Dependency) اصل 4. انتظارات (Expectation)

5. شرط معکوسی اگرترجیح عنصر A بر عنصر B برابر n باشد ترجیح عنصر B بر عنصر A برابر n/1خواهد بود .

6. همگنی عنصر A با عنصر B باید همگن و قابل قیاس باشند . به بیان دیگر برتری عنصر A بر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.

7. وابستگی هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالاتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا بالاترین سطح می تواند ادامه داشته باشد.

8. انتظارات هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد.

9. فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه • ساخت سلسله مراتبی • مقایسه های زوجی • ترکیب وزنها • تحلیل حساسیت • روش رتبه بندی

10. مثال تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,C یکی را انتخاب کنیم چهار معیار:راحتی ، قیمت ، مصرف سوخت، مدل مطرح می باشد .حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم: ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزن سازگاری سیستم

11. ساختن سلسله مراتبی انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل انتخاب بهترین اتومبیل

12. محاسبه وزن

13. محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی

14. قدم اول: مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم.

15. قدم دوم: تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر( نرمالایزکردن)

16. قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطر

17. ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به قیمت

18. ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به مصرف

19. ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به مدل

20. وزن اتومبیل ها برای معیار های ، و مدل مصرف قیمت

21. ماتریس مقایسه زوجی معیارها

22. وزن هر یک از معیارها 0.398قیمت 0.085مصرف 0.218راحتی 0.299 مدل

23. وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها

24. محاسبه وزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل A 0.398*0.123+0.085*0.087+0.218*0.593+0.299*0.265=0.265 وزن نهائی اتومبیل B 0.398*0.320+0.085*0.274+0.218*0.341+0.299*0.655=0.421 وزن نهائی اتومبیل C 0.398*0.557+0.085*0.639+0.218*0.066+0.299*0.080=0.314

25. اولویت نهائی اتومبیل ها

26. ساختن سلسله مراتبی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ، هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد . سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها

27. یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی تصمیم کلی مساله (هدف) معیار1 معیار2 n معیار ... 1 زیر معیار 2زیر معیار nزیر معیار ... 1 گزینه 2 گزینه ... n گزینه

28. سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسهآموزشهای جانبی : L آمادگی برای دانشگاه :K نظم :V استاندارد کلی دانش آموزان :F کیفیت آموزشی:S انتخاب بهترین مدرسه آموزشی فرهنگی اجتماعی S F V K L C A B

29. محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد: • وزن نسبی ( local priority ( • وزن نهایی ( overall priority)

30. روشهای محاسبه وزن نسبی • روش حداقل مربعات • روش حداقل مربعات لگاریتمی • روش بردار ویژه • روشهای تقریبی

31. ( least squares method )روش حداقل مربعات یا ها )i وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه ) یا i وj در حالت ناسازگاری (حداقل برای یک St:

32. برای حل مساله فوق ، معادله لاگرانژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شود. مشتق بگیریم خواهیم داشت : wl اگر از معادله فوق نسبت به باشد ، داریم :n=2اگر

33. مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر بگیرید : A= نشان می دهیم ماتریس مقایسه ، ناسازگار است . 1) 2) وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات به دست می آوریم.

34. اگر رابطه برای یکی از i,j,k ها برقرار نباشد ماتریس ناسازگار خواهد بود. از حل دستگاه فوق خواهیم داشت :

35. روش حداقل مربعات لگاریتمی(logarithmic least squares method) یا ها )i وj در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه ) یا i وj در حالت ناسازگاری (حداقل برای یک میانگین هندسی این اختلافات برابر است با:

36. در حالت سازگاری در حالت ناسازگاری

37. )Eigenvector Method روش بردار ویژه( ترجیح عنصر ام بر ام است و وزن عنصر ام و یک عدد ثابت است.

38. ام طبق تعریف قبل برابر است با:iوزن عنصر دستگاه معادلات فوق را به صورت زیر می توان نوشت: که همان ماتریس مقایسه زوجی{ یعنی }و بردار وزن و یک اسکالر است.

39. مثال برای ماتریس زیر، بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم. حل: برای حل این دستگاه می توان نوشت:

40. که خواهیم داشت: با قرار دادن مقادیر در دستگاه فوق و با استفاده از رابطه ، بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود. رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است:

41. در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ، طبق مراحل زیر عمل می کنیم: • ماتریس A را تشکیل می دهیم. • ماتریس را مشخص کنید. • دترمینان ماتریس را محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار داده و مقادیر را محاسبه کنید. • بزرگترین را نامیده و آن را در رابطه قرار داده و با استفاده ازرابطه مقادیر ها را محاسبه نمایید.

42. مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه بدست می آوریم . حل:

43. بعد از حل معادله قبل، محاسبه می گردد. معادله ماتریسی را تشکیل داده و ها را محاسبه می کنیم. معادله را به دستگاه فوق اضافه می کنیم. نتیجه زیر حاصل می شود.

44. قضیه: برای یک ماتریس مثبت و معکوس ، همچون ماتریس مقایسه زوجی ، بردار ویژه را می توان از رابطه زیر بدست آورد. که در آن می باشد.

45. ابتدا را محاسبه می کنیم. بطور مثال برای k =1 داریم: حال حاصل عبارت را محاسبه می نماییم:

46. مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد: محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است:

47. حل: در تکرار اول داریم: = بردار حاصل از جمع سطری ماتریس A

48. در تکرار دوم داریم: بنابر این خواهیم داشت:

49. مقدار نهایی W در تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است:

50. )ApproximationMethod(روشهای تقریبی • مجموع سطری • مجموع ستونی • میانگین حسابی • میانگین هندسی