Resolución de ecuaciones sin pasajes numéricos ni propiedade

1. Ni expulsión ni “contención” :EDUCACIÓN PARA TODOS

2. ¿Racionalismo versus empirismo? Durante años, predominó en la educación matemática una visión que sobrestimó los aspectos formales, simbólicos, abstractos de la misma, y que enfatizó su separación del entorno sociocultural subestimando su relación simbólica con el mundo. La ideología de la “matemática moderna” conectó con el racionalismo: la mente produce verdades a priori, absolutas e infalibles. Esa tendencia se opuso al empirismo, que afirma que se dirime la verdad de una proposición a través de la experiencia sensorial. Pensar que toda o la mayoría de la matemática debe referirse a la vida real o plantearse en forma contextualizada es un error. Aunque con orígenes intuitivos y empíricos, la matemática posee dimensiones abstractas en una mayor proporción y de diferente forma que las otras ciencias. Ángel Ruiz, Costa Rica

3. Resolución de ecuaciones sin pasajes numéricos ni propiedades uniformes Omar A. Cabrera Gladys E. Fusco Dibujos: Martín A. Cabrera Invariantes operatorios en la resolución de ecuaciones Del texto: MATEMÁTICA NATURAL Para los primeros años de la educación media (adolescentes y adultos) AULA TALLER EDICIONES DEL

4. Experiencia y propuesta En primeros cursos de escuelas secundarias argentinas (de adolescentes y adultos), hemos enseñado ecuaciones con una metodología basada en justificaciones matemáticas que los estudiantes construyeron en base a conocimientos previos. Proponemos considerar en la enseñanza las tareas invariantesque realiza un experto al resolver ecuaciones (generalmente de manera implícita) y sus invariantes operatoriosasociados, justificando así sus acciones. Ello le permite evitar y corregir errores. Intentamos dar un aporte para favorecer el proceso de construcción de justificaciones en los primeros pasos de la enseñanza del álgebra, a fin de evitar o disminuir el fracaso escolar en el área. En colegios de población estudiantil desfavorecida económica y socialmente, obtuvimos resultados aceptables. Pero no pretendemos conocer ni presentar aquí la mejor manera de enseñar a resolver ecuaciones.

5. Tres tareas invariantes en la resolución de ecuaciones • Análisis de la ecuación • Identificación de la operación prioritaria • Control de la validez de las transformaciones Cada tarea se realiza mediante la aplicación de un invariante operatorio Los invariantes operatorios(introducidos por Piaget) dirigen el reconocimiento, por parte del individuo, de los elementos pertinentes a la situación. Son los conocimientos -contenidos en los esquemas- que constituyen la base, implícita o explícita, para obtener la información pertinente y de ella inferir la meta a alcanzar y las reglas de acción adecuadas.

6. Metodología de las clases • Las clases se desarrollan con un modo heurístico colectivo, lo cual requiere un trabajo tutelar intenso por parte del docente. • Las preguntas del modo heurístico tienen una doble intención educativa: favorecer el descubrimiento de las soluciones por parte del estudiante y evitar la aplicación de reglas sin justificación. • El campo referencial elegido es el de los números naturales porque su operatoria es uno de los dominios construidos en la escuela primaria con mayor firmeza y generalización, lo cual, además de posibilitar significación para el estudiante, favorece la heurística colectiva. • Las propiedades aplicadas implícitamente dificultan la detección temprana de errores. Por ello, se propicia la realización de todas la explicitaciones posibles, aún de los razonamientos supuestamente triviales.

7. PRIMER PROCEDIMIENTO Sustituciones sucesivas

8. Sustituciones sucesivas Esta manera de presentar las primeras ecuaciones constituye una práctica docente habitual, naturalmente inducida por la búsqueda de construcciones significativas. Tarea invariante:Análisis de la ecuación • Se interpreta la ecuación como un ejercicio de cálculo numérico con resultado conocido. • Uno de los números participantes es desconocido. Se lo representa con la letra x llamada incógnita. • Resolver la ecuación es averiguar cuál es ese número. Para ello, con un trabajo netamente aritmético, se sustituye la incógnita por distintos números naturales hasta obtener la igualdad numérica verdadera 80=80. Tarea invariante:Identificación de la operación prioritaria • Los cálculos se realizan identificando y respetando las operaciones prioritarias. Esta tarea invariante se realiza aquí implícitamente. Tarea invariante:Control de la validez de la acción • El valor verdadero de la igualdad obtenida permite identificar y validar la solución. Se trata, implícitamente, el primer miembro como una función de variable independiente x: Si x=0 el resultado no es un número natural, si x=1 el resultado es cero, ….. Para x=5 se obtiene la igualdad numérica verdadera 80=80 El invariante operatorio de la tarea es la conservación del valor de verdadde la igualdad, justificación más general en la resolución de ecuaciones. Los alumnos utilizan implícitamente dicho invariante. Por ser, para ellos, una propiedad evidente, la obtención del valor verdadero de la igualdad constituye la justificación del procedimiento. S = {5} Conjunto referencial: N El invariante operatorio es una suma heterogénea de conocimientos sobre propiedades de las operaciones y convenciones de orden de resolución. El invariante operatorio es el concepto de ecuación

9. SEGUNDO PROCEDIMIENTO Construcción implícita de ecuaciones reducidas o intermedias

10. Construcción implícita de ecuaciones mediante señalamientos gráficos Eliminada Eliminada 4 3 S={4} 2 ¿Qué número más 3 da 7? Eliminada 10 1 ¿40 menos qué número da 30? Eliminada 49 Luego de resolver diversas ecuaciones mediante sustituciones de la incógnita, algunos alumnos comienzan naturalmente a “desandar el camino” para ganar tiempo y comodidad, procedimiento que proponemos enseñar formalmente graficándolo con curvas cerradas. 7 Tarea invariante: identificación de las operaciones prioritarias ¿40 menos qué número da 10? ¿490 dividido qué número da 10? ¿Qué número elevado al cuadrado da 49? Desandamos el camino eliminando las operaciones numeradas, en el orden inverso la identificación Explicitamos prioritarias de las operaciones

12. TERCER PROCEDIMIENTO Escritura de ecuaciones reducidas

13. Ecuaciones reducidas Desarmamos la ecuación escribiendo ecuaciones reducidas encolumnadas, adelantando la disposición habitual de la resolución mediante “pasajes numéricos” o propiedades uniformes. Numeramos las operaciones en el orden que seguiríamos para resolver las operaciones conociendo el valor de x. 4 3 2 1 Y eliminamos la operación 4 ¿40 menos qué número da 30? Y eliminamos la operación 3 ¿ 490 dividido qué número da 10? x+3=7 Y eliminamos la operación 2 ¿Qué número elevado al cuadrado da 49? S={4} Tarea invariante: Identificación de las operaciones prioritarias Y eliminamos la operación 1 ¿Qué número más 3 da 7?

15. CUARTO PROCEDIMIENTO Construcción de modelos sencillos para accionar mediante comparaciones

16. Ecuación literal Consigna: despejar x Invento para comparar (IPC) Elijo x=2 y construyo una ecuación “igual que la otra" pero con naturales Despejando sin pasajes Tarea invariante:Análisis de la ecuación El concepto de ecuación construido posibilita la creación de un modelo numérico. Las transformaciones observadas en su tratamiento llevan implícitas las otras tareas invariantes de nuestro interés: las operaciones prioritarias y el control de la validez de las acciones, este último, a través de la resolución de cálculos sencillos. Entonces divido D: F ¿24 dividido qué número da 6? 10-3.x = 4 El “desarme escrito” de la ecuación numérica construida (IPC) ya no es medio sino instrumento. 24 y 6 se transformaron en 4. La operación es 24: 6, o sea “dividendo dividido cociente”. ¿10 menos qué número da 4? Entonces resto A – D:F Se postergan técnicas de resolución rápidamente mecanizables para favorecer un proceso de conceptualización. 3.x = 6 La ecuación se va reduciendo en cada paso y se observa una regularidad: la reducción de las ecuaciones consiste en el reemplazo de dos números por un tercero; y existe una operación que los relaciona. Decimos aquí, por primera vez, que se producen transformaciones, abonando el terreno del desarrollo algebraico. Tendemos un puente entre la aritmética y el álgebra sin que se produzca aún ruptura alguna, pues es un puente de ida (coherente con el surgimiento histórico del álgebra a partir de la aritmética) pero también de vuelta (las operaciones aritméticas son matriz y justificación de las acciones literales). 10 y 4 se transformaron en 6. La operación es 10-4, o sea “minuendo menos resta”. Entonces divido (A-D:F):B ¿3 por qué número da 6? x = 2 6 y 3 se transformaron en 2. La operación es 6:3, o sea “producto dividido factor”.

17. El poder mencionar los elementos relacionados con sus denominaciones genéricas (acción resistida por muchos alumnos) favorece un avance en cuatro sentidos: 1º)Identificación del álgebra como una generalización de la aritmética,2º) Desarrollo del nivel de abstracción,3º) Comunicación en el trabajo colectivo,4º) Interpretación de textos. Invento para comparar (IPC) Análisis de la ecuación: Avanzamos acá en el tránsito de la aritmética al álgebra, otorgando más importancia a las relaciones entre elementos de diferentes conjuntos que a los elementos mismos. Los cálculos con enteros negativos y fracciones fueron realizados con calculadoras. En algunos cursos, fue la manera de comenzar el trabajo en esos campos numéricos. Ecuaciones simultáneas Elijo x=2 Minuendo menos resta ¿8 menos qué número da 5? Resolución simultánea de tres ecuaciones con la misma estructura, construyendo un solo IPC (invento para comparar). Nuevamente, el “desarme escrito” de la ecuación construida con naturales pequeños (IPC) es una herramienta para decidir y justificar transformaciones más complejas. Se efectúa así el control de la validez de las mismas, tarea invariante fundamental. Dividendo dividido cociente Al no trabajar con naturales pequeños, se revela aquí con más fuerza la importancia de otra tarea invariante: los cálculos numéricos. ¿18 dividido qué número da 3? Suma menos sumando ¿qué número más 4 da 6?

18. 300 + x . 100 = 700 2 . (x+1) - 7 = 3 2005 + x - 300 = 2006 (2.x + 1) : 3 = 7 La variedad e historia de las situaciones planteadas enriquece el análisis de la ecuación Tarea invariante : análisis de la ecuación Consigna Une con una flecha cada enunciado coloquial con una ecuación que lo represente. • Un cociente es siete. El dividendo es la suma entre el duplo de cierto número desconocido y el número uno. El divisor es tres. ¿Cuál es el número desconocido? • La resta entre el duplo del sucesor de cierto número natural y siete, es tres. ¿Cuál es dicho número? • En cierta juguetería se vendieron en 2006 cien veces más autitos que en 2005. Aún quedan 300 autitos, de un stock inicial de 700. ¿Cuántos se vendieron en 2005? • Jugando a la ruleta en el Casino, gané el doble de fichas de $30 que en el mes de junio. Agregué una ficha más y las repartí entre mis tres amigos. Cada uno recibió siete fichas. ¿Cuántas fichas gané en junio? • En este mes, agosto, cobré un centenar de pesos más que en julio. Luego dupliqué ese sueldo con un negocio inmobiliario pero tuve que pagar $700 de impuestos. Me quedan aún $300. ¿Cuánto cobré en julio? • La tercera parte del producto entre cierto número aumentado en una unidad y el número dos, es igual a siete. ¿Cuál es ese número? • El lunes Juanito se encontró una canica en la calle. Al día siguiente su mamá le regaló una cantidad igual a la que tenía. Juanito le dió entonces siete canicas a su hermano menor, quedándose con tres. ¿Cuántas canicas tenía inicialmente? Tres situaciones distintas son representadas por la misma ecuación. Un concepto se torna significativo a partir de una variedad de situaciones. Las situaciones dan sentido al concepto.

19. BASES TEÓRICAS

20. Dr. Aníbal Cortés Invariantes operatorios Identificó cinco tareas invariantes en la resolución de ecuaciones. Son las que el experto realiza implícita o explícitamente cuando efectúa una transformación. Cadatarea invariantese realiza mediante un invarianteoperatorio. Construir dichos invariantes operatorios a partir de la enseñanza de esas tareas invariantes, es la propuesta principal de esta presentación. Ellos son:

21. Concepto de ecuación Análisis de la ecuación Propiedades de las operaciones y convenciones de orden Identificación y respeto de la operación prioritaria Control de validez de la transformación Conservación del valor de verdad de una igualdad Verificación de la reescritura correcta de términos y signos, conservación de una identidad o del valor de verdad de una igualdad Control de los símbolos transferidos a una nueva expresión Definiciones, algoritmos y propiedades de las operaciones Los cálculos numéricos

22. Nuestra convicción central La enseñanza (explícita, organizada, sistemática) de las tareas invariantes, ayuda al estudiante a construir invariantes operatorios adecuados para justificar sus transformaciones algebraicas y aplicar métodos de resolución con eficacia.

23. Bibliografía • La teoría de los Campos Conceptuales. Gérard Vergnaud, CNRS y Université René Descartes, Recherches den Didáctique des Mathématiques, 1990. • Análisis y clasificación de los errores en la resolución de ecuaciones. Cortés A., 1.993. • Los principios que guían el pensamiento en la resolución de ecuaciones. Cortés A., Kavafian N, 1.999. • La resolución de ecuaciones e inecuaciones: invariantes operatorios y métodosconstruidospor los alumnos. A. Cortés y N. Pfaff, 2000. • La Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud, la Enseñanza de las Ciencias y la Investigación en el Área. Marco A. Moreira, Instituto de Física, UFRGS, Porto Alegre, publicado en Enseñanza de las Ciencias, 2002. • Modelocognitivo de los métodosalgebraicos de resolucióndelexperto. Cortés A., 2.003. • Dos tareas invariantes e importantes en la resolución de ecuaciones: el análisis de la ecuación y el control de la validez de las transformaciones. Aníbal Cortés, Nelly Kavafian, 2004. • Tres tareas invariantes en la resolución de ecuaciones. A. Cortés y O. Cabrera, Novedades Educativas Nº170, Bs. As., 2005. Muchas gracias