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Probabilidade e Esperança Condicional

Probabilidade e Esperança Condicional. Como definir apropriadamente F X ( x | Y = y ) e E( X | Y = y )? Duas situações: Y discreto Y contínuo. Caso Discreto. Propriedades. P( X  B ) = S y P( X  B | Y = y ) P( Y = y )

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Probabilidade e Esperança Condicional

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Presentation Transcript

  1. Probabilidade e Esperança Condicional • Como definir apropriadamente FX(x | Y = y) e E(X | Y = y)? • Duas situações: • Y discreto • Y contínuo

  2. Caso Discreto

  3. Propriedades • P(XB) = SyP(XB | Y=y) P(Y=y) • FX(x) = P(X≤x) =SyP(X≤x| Y=y) P(Y=y) • FX,Y(x,y) = P(X≤x, Y≤y) = St P(X≤x| Y=t) P(Y=t) • E(X) = Sy E(X|Y=y) P(Y=y) (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

  4. Exemplo • O número de pessoas que visita uma academia diariamente tem distribuição de Poisson com parâmetro l. Cada visitante tem probabilidade p de ser homem, independentemente dos demais visitantes. Qual é a probabilidade de que k homens visitem a academia?

  5. Exemplo • O número mensal de sinistros em uma dada carteira de seguros tem distribuição de Poisson com parâmetro l. O valor de cada sinistro tem distribuição exponencial de média m. Qual é o valor esperado para o total de sinistros pagos em um dado mês?

  6. Caso Contínuo • FX(x | Y = y) e E(X | Y = y) são definidos de modo que as mesmas propriedades anteriores sejam válidas (devidamente adaptadas para Y contínua).

  7. Propriedades (caso contínuo) • P(XB) = P(XB | Y=y) fY(y)dy • FX(x) = P(X≤x) = P(X≤x| Y=y) fY(y)dy • FX,Y(x,y) = P(X≤x, Y≤y) = y-P(X≤x| Y=t) fY(t)dt • E(X) = E(X|Y=y) fY(y)dy (ou seja, E(X) = E(E(X | Y))

  8. Caso contínuo • Caso geral: • Quando X e Y tem distribuição conjunta contínua:

  9. Exemplo • Um ponto de coordenadas (X, Y) é escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a distribuição condicional de Y dado X? 1 1

  10. Exemplo • Em uma cidade, o gerador de luz é ligado em um instante escolhido ao acaso entre 18 horas e meia-noite e desligado em um instante escolhido ao acaso entre o instante em que foi ligado e meia-noite. • Em média, quanto tempo ele fica ligado por noite? • Qual é a probabilidade de que seja desligado depois das 22 horas? • Qual é a probabilidade de que seja ligado antes da novela e desligado depois?

  11. Exemplo • Se X e Y são independentes e têm densidades fX e fY, qual é a densidade de X+Y?

  12. Exemplo • Uma moeda tem probabilidade P de dar cara, onde P tem distribuição uniforme em [0, 1]. Qual é a densidade condicional de P dado que X = 1?

  13. Somas e médias de v.a. i.i.d. • Dada uma sequência de variáveis aleatórias i.i.d. X1, X2, …, Xn , obter a distribuição de:

  14. Somas e médias de v.a. i.i.d. • Em geral, é complicado calcular a distribuição exata de Sne X • Fácil calcular médias e variâncias

  15. Somas e médias de v.a. i.i.d. • Quando n, Var(X)  0 • Isto sugere que X tenda a se concentrar em torno de sua média m. • É possível tornar esta afirmativa precisa?

  16. Desigualdade de Markov • Seja X uma variável aleatória tal que X 0 e EX = m. Então, para todo a>0:

  17. Desigualdade de Chebyshev • Seja X uma variável aleatória tal que EX = m e Var(X) = s2. Então, para todo d> 0:

  18. Lei Fraca dos Grandes Números(Chebyshev, 1867) • Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m e Var X1 = s2. Então, para todo d > 0,

  19. Lei Forte dos Grandes Números(Kolmogorov, 1925) • Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m. Então: • Em consequência, para todo d > 0:

  20. Observações • Se E|X| = + , então X não é limitada (logo não converge), com probabilidade 1. • Exemplos • Jogo de São Petersburgo • X~Cauchy (fX(x) = 1/(1+x2))

  21. Teorema Central do Limite • Estimativa para P(|X–m|d) dada pela desigualdade de Chebyshev é extremamente conservativa. • É possível refiná-la? • Idéia: padronizar X, subtraindo a média e a variância, de modo a ter média 0 e variância 1. • Resultado: a distribuição da versão padronizada converge para uma distribuição fixa (a normal).

  22. Teorema Central do Limite • Sejam X1, X2, … v.a. i.i.d, com EX1 = m e Var X1 = s2. A distribuição de converge para a normal padrão:

  23. Noções de Simulação • Teorema Fundamental Seja F uma f.d.a. qualquer e seja U uma v.a. com distribuição uniforme em [0, 1]. A f.d.a da v.a. X = F-1(U) é F.

  24. Exemplos • Como gerar uma v.a. com distribuição exponencial l? • Como gerar uma v.a. com distribuição binomial (3; 0,6)? • Como gerar uma v.a. com distribuição N(60, 102)?

  25. Para gerar v.a. normais • Algoritmo de Box-Muller são normais e independentes

  26. Método de aceitação/rejeição • Seja f uma função de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ M, para todo x[a, b] . Gerar U ~ U[a, b] e V ~ U[0, 1], independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

  27. Método de aceitação/rejeição • Método de aceitação/rejeitação MV U

  28. Método de aceitação/rejeição • Sejam f e g funções de densidade de probabilidade de suporte limitado [a, b] e tal que f(x) ≤ Mg(x), para todo x[a, b] . Gerar U ~ U[a, b] e V ~g, independentes, até que f(U) < M.V Retornar U (que é uma v.a. de densidade f)

  29. Outros métodos • Algoritmo de Metrópolis • Importance Sampling (MacKay, cap. 29)

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