Prof. Dr. Kamel Bensebaa

1. Processamento de Imagens Prof. Dr. Kamel Bensebaa Aula 10

2. Multiresolução e Transformada wavelets • Na última década, a análise de wavelets tem despertado muito interesse de vários pesquisadores de diferentes áreas • Atualmente essa teoria representa uma das ferramentas mais potentes nas áreas de processamento de sinais e processamento de imagens • Encontra suas aplicabilidades para solucionar problemas tais como: • Segmentação de imagens • Atenuação de ruído • Compressão de imagens

3. Multiresolução e Transformada wavelets • A Transformada wavelets como é conhecida é uma melhoria da Transformada de Fourier • É capaz de decompor e descrever outros funções no domínio de freqüências de forma que podemos analisar estas funções em diferentes escalas de freqüência e de tempo.

4. Transformada de Fourier • A Transformada de Fourier é a ferramenta mais conhecida para análise de sinais • Separa o sinal em seus componentes (co-senos e senos) de diferentes freqüências • Outra maneira de ver a Transformada de Fourier seria como uma técnica matemática que transforma o sinal observado no domínio de tempo ( ou de espaço) para o domínio de freqüência/periodicidade (número de ondas, no caso espacial)

5. Transformada de Fourier • A análise de Fourier faz a dualidade (coexistência) entre uma função estacionária f de uma variável t (cujo as propriedades estatísticas são independentes do tempo) e uma função F da variável =1/t, chamada transformada de Fourier de f .

6. Transformada de Fourier • Assim, é possível acessar ao comportamento freqüêncial de uma função do tempo pela sua representação num escala graduada em freqüências • Da mesma forma é possível reconstruir a função do tempo a partir da sua transformada de Fourier • Ao longo do tempo, os algoritmos de cálculo da transformada de Fourier evoluíram para conduzir à transformada de Fourier rápida ou FFT, desenvolvida por James Cooley e John Tuckey em 1965

7. Transformada de Fourier • A Transformada de Fourier de um sinal contínua f (t) apresenta um sério problema para análise de sinais que mudam durante o tempo, visto que na transformação para o domínio das freqüências, a informação do tempo é perdida • Para sinais estacionários (conteúdo em freqüências não muda ao longo do tempo ou a composição em freqüências dos sinais é independente do tempo), esse problema é indiferente.

8. Limitação da Transformada de Fourier • A maioria dos sinais (sinais físicos) como o som de um sirene não são estacionários ou transitórios (fluxos, mudanças abruptas, início ou final de um evento, etc.) • Como estas características são as partes mais importantes de um sinal, a análise de Fourier se torna inadequada para a detecção deste tipo de sinais • Portanto, a Transformada de Fourier apresenta limitações quando se trata de sinais não estacionários que representam a maioria dos sinais físicos

9. Limitação da Transformada de Fourier • Em outras palavras, podemos dizer que a TF não leva em conta a informação veiculada pela estrutura temporal do sinal o que torna difícil determinar ou localizar as descontinuidades do sinal • Variações de freqüências dependantes do tempo são comuns em: • Voz humana • Sinais geofísicos não estacionários • Para estudar tais sinais, deve-se efetuar uma Transformada capaz de obter o conteúdo de freqüências de um sinal localmente no tempo (ou no espaço)

10. Transformada de Fourier Janelada • Para superar este problema, várias alternativas foram propostas objetivando ter uma análise ao mesmo tempo temporal e freqüêncial de sinais não estacionários • A primeira delas foi a Transformada de Fourier de curta duração (Short Time Fourier Transform) ou a Transformada de Fourier Janelada (Windowed Fourier Transform) • Esta transformada foi desenvolvida por Denis Gabor (1946)

11. Transformada de Fourier Janelada • Gabor adaptou esta transformada para analisar uma pequena porção do sinal em um tempo através da transformada de Fourier janelada • A idéia de Gabor é introduzir um parâmetro de freqüência local (local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece aproximadamente estacionário.

12. Transformada de Fourier Janelada • Na tentativa de analisar séries não-estacionárias utilizada-se a transformada de Fourier de curta duração (TFCD) ou transformada de Gabor • Para um dado sinal f(t), aplicamos uma janela g(t) a f(t): • Essa janela é real, tem duração finita e é centrada em t0. A transformada de Fourier de curta duração (TFCD) é, então, definida por: • Essa transformada é calculada para todos os valores de t0 e fornece uma representação em tempo-freqüência de f(t)

13. Transformada de Fourier Janelada • Necessita-se agora de uma representação bidimensional F(,t0) do sinal f(t), composta por características espectrais dependentes do tempo. • Existem diversas escolhas para a janela, sendo a mais comum uma janela Gaussiana. • O detalhe mais importante é que uma vez fixada a janela para a STFT, a resolução no tempo e na freqüência f e t permanece constante em todo o plano t –f • Ilustração da transformada de Fourier de um sinal continua f(t)

14. Limitações da Transformada de Fourier Janelada • O sinal está sendo analisado por uma janela de dimensão fixa, a resposta tempo-freqüência é então a mesma para todas as freqüências. • Conseqüentemente, a janela não é suficientemente larga para as freqüências pequenas e não é suficientemente curta para as freqüências altas. • Obtém-se então uma análise que leva em conta o aspecto temporal mas onde a qualidade de análise freqüêncial vale apenas para as freqüências “médias”

15. Limitações da Transformada de Fourier Janelada • Observa-se que o estudo das freqüências extremas contém excessivas informações interessantes como os contornos ou o ruído e, através as baixas freqüências identifica-se a natureza da imagem como por exemple faces paisagem, etc. • Portanto a TFJ trabalha com uma janela fixa no domínio tempo-freqüência, o que torna mais difícil capturar os componentes de alta e baixa freqüências simultaneamente • Em outras palavras, a TFJ não conta com a flexibilidade de uma janela que aumenta para baixas freqüências e diminua para altas freqüências.

16. Limitações da Transformada de Fourier Janelada • A TFJ é mais recomendada para a análise de processos onde todas suas freqüências possuem a mesma freqüência • Quando as freqüências variam a aplicação de uma outra transformada tipo wavelets é necessária visto que tem a característica de flexibilidade de janela apropriada

17. Transformada Wavelets • Segundo Ingrid Daubechies “A Transformada Wavelets é uma ferramenta que fatia dados ou funções ou operadores em componentes freqüências diferentes e então estuda cada componente com uma resolução casada com sua escala”.

18. Transformada Wavelets • A Transformada Wavelets representa uma melhoria da transformada de Fourier visto que na análise Wavelets a escala possui um papel importante no processamento de dados • A Wavelet pode ser utilizando em processamento de sinais e imagens utilizando diferentes escalas e resoluções

19. Transformada Wavelets • Ilustramos a Transformada Wavelet contínua (Continuous Wavelet Transform) de um sinal contínuo f(t) da seguinte forma:

20. Transformada Wavelets • Uma interpretação interessante está associada com imagens do tipo “mapas”. • Uma mudança de escala pode permitir: • Escala maior  Visão mais global e menor precisão (baixa freqüência). • Escala menor  Detalhes, mas perde-se em estudar o comportamento global (alta freqüência). • A análise Wavelet permite visualizar tanto a floresta quanto as árvores.

21. Transformada Wavelets Um mar de wavelets • Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como Wavelets mãe (outra vantagem). • Nome das famílias: • Haar, Daubechies, Symlets, Coiflets, Biorthogonal, Reverse Biorthogonal, Meyer, etc • Normalmente se utiliza famílias de Wavelets que definem bases ortogonais, pois dessa forma é possível realizar a transformada inversa.

22. Transformada Wavelets • Podemos definir a Tranformada Wavelets Contínua como a soma ao longo do tempo de um sinal multiplicado por uma escala, e deslocado por uma função Wavelet Ψ (Psi), também chamada Wavelet mãe • O resultado da CWT são vários coeficientes C, que são funções da escala e da posição.

23. Transformada Wavelets • Podemos também definir a Transformada Wavelets contínua em F(a,b) como: • onde as variáveis a e b são valores reais • a é um parâmetro de escala (contração ou dilatação) e b é um parâmetro de localização (deslocamento) • A função Ψa,b(t) é denominada wavelet e definida como:

24. Transformada Wavelets • Parâmetro de escala • A Análise de Wavelet produz um sinal no domínio tempo escala. • O que significa o fator de escala aplicada a um sinal? • Observa-se na figura que o fator escala a representa uma contração ou dilatação no sinal • Para a>1 a função sofre uma dilatação • Para a<1 obtemos uma contração do sinal.

25. Transformada Wavelets • Se pensarmos em termo da função wavelet, vamos obter o mesmo efeito de contração ou dilatação da função • Assim, quanto menor for a escala, mais comprimida será a função Wavelet, e vice-versa. Então, existe uma relação entre a escala e a freqüência revelada pela Análise de Wavelet • Baixa escala wavelet comprimida => Detalhes mudando rapidamente => Alta freqüência . • Alta escala wavelet dilatada => Características globais mudando lentamente => Baixa freqüência .

26. Transformada Wavelets • Parâmetro de Posição ou Deslocamento • O que significa translação? • Transladar uma wavelet significa deslocá-la no eixo do tempo. • O fator de deslocamento ou de translação da função na Análise de Wavelet é medido pela variável k • o deslocamento de uma função f(t) por k pode ser representado, matematicamente, pela equação f(t-k)

27. Transformada Wavelets • A idéia fundamental da Transformada de Wavelet é que ela é uma transformada pontual e proporcional à escala. Ela analisa o sinal em escalas diferentes e se desloca analisando cada trecho do sinal. • O parâmetro translação se relaciona com a localização da “janela”. Analisa-se o sinal aos poucos. Este termo corresponde, obviamente à informação de tempo no domínio da transformada. • Processa-se essencialmente o conteúdo que estiver dentro da janela

28. Transformada Wavelets • O escalonamento é o processo de compressão e dilatação do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em mapas cartográficos. As altas escalas correspondem a uma visão global do sistema, enquanto que as baixas escalas correspondem a uma visão mais detalhada. • As Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a) de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-mãe Ψ(t).

29. Transformada Wavelets Wavelet-mãe em diferentes escalas e localizações

30. Transformada Wavelet Discreta • A transformada wavelet contínua é calculada fazendo translações e escalonamentos contínuos de uma função sobre um sinal • Na prática esta transformada não seria muito útil, pois teria que realizar infinitas translações e escalonamentos, requerendo muito tempo e recursos computacionais e gerando muita redundância. • Para superar este obstáculo foram introduzidas as wavelets discretas. Elas não são transladadas nem escalonadas continuamente, e sim em intervalos discretos. Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet contínua.

31. Transformada Wavelet Discreta • O cálculo da Transformada Wavelet discreta com base da Transformada Wavelet Contínua com parâmetros de escala e translação discretos é expresso da seguinte forma: sendo que

32. Transformada Wavelet Discreta • Onde, s(t) é o sinal contínuo, m,p(t) é a função wavelet com os fatores inteiros (m) de escala e translações (p) discretizados, DWT(m,p) é a transformada wavelet discreta (coeficientes wavelet) s0 é fator discreto escala que deve ser maior que 1 (usualmente s0=2) e 0 é a translação que depende do valor de s0 (neste caso, usualmente 0=1)

33. Transformada Wavelet Discreta • Essa equação é obtida fazendo s0=2 e 0=1 • Nestas condições a amostragem do sinal s(t), no plano tempo-escala, pode ser analisado em um gráfico de amostragem diádico

34. Transformada Wavelet Discreta Localização das wavelets discretas na grade diádica • Desta forma, tem-se uma escala de dilatação como uma potencia de dois (am=2m), e passos de translação de um passo de escala de delação (bp=2m p=am,p)

35. Tipos de Wavelets • Existem vários tipos de wavelets citados na literatura. O uso de uma ou outra está associado à aplicação. • Regras de construção de wavelets estão sendo propostas por vários pesquisadores, segundo as restrições e necessidades que cada aplicação específica impõe. • Isto nos leva a concluir que podemos gerar uma infinidade de wavelets diferentes, e particularmente construir um conjunto de wavelets adequado ao processamento de um tipo de sinal ou aplicação específica, levando à obtenção de resultados melhores.

36. Wavelets de Haar Unidimensional • Para entender como as wavelets funcionam, vamos começar com um exemplo simples. Suponhamos uma seqüência de uma dimensão com uma resolução de quatro pixes, tendo valores. • Para entender como representar esta seqüência na base de Haar computando sua Transformada Wavelet. • Para fazer isto, calculamos primeiro a média dos valores em pares, obtendo os novos valores de menor resolução da imagem,

37. Wavelets de Haar Unidimensional • Claramente, um pouco da informação foi perdida neste processo de cálculo da média. • Para recuperar os valores dos pixeis originais a partir dos valores de média, precisamos armazenar alguns coeficientes de detalhes, que capturam a informação perdida. • Em nosso exemplo, escolheremos 1 para o primeiro coeficiente de detalhe, como a média que computamos está 1 a menos que 9 e 1 a mais que 7. • Este único número nos permite recuperar os primeiros dois pixeis de nossa imagem original de quatro pixeis. Semelhantemente, o segundo coeficiente de detalhe é -1, pois 4 + (-1) = 3 e 4 - (-1) = 5. • Assim, a imagem original foi decomposta em uma versão de resolução mais baixa (dois pixeis) e um par de coeficientes de detalhes. Repetindo este processo recursivamente até a decomposição completa

38. Wavelets de Haar Unidimensional Considera-se uma imagem 1D 4-pixel [ 9 7 3 5] Average (smoothing) [ 9 7 3 5] Detail coefficients (edge detection) (9 + 7)/2 (3 + 5)/2 [ 8 4 ] (9 - 7)/2 (3 - 5)/2 [ 1 -1 ] TW [ 6 2 1 -1 ] (8 + 4)/2 6 (8 – 4)/2 2

39. Wavelets de Haar Unidimensional [6] [2] Coeficientes de Detalhes Resolução Médias ---- 4 [9 7 3 5 ] 2 [8, 4] [1, -1] 1 Decomposição wavelet Haar [6, 2, 1, -1]

40. Wavelets de Haar Unidimensional • Assim definiremos a Transformada de Wavelet (também chamada de decomposição de wavelet) da imagem original de quatro pixeis com a simples representação da média global da imagem original, seguido pelos coeficientes de detalhe em ordem de resolução crescente. • Para a base de Haar unidimensional, a transformada de wavelet da nossa imagem original de quatro pixeis é dada por: [6, 2, 1, -1]

41. Análise Multiresolução • A análise de multirresolução em wavelets foi formulada em 1986, em trabalhos de Mallat e Meyer. O método consiste em representar funções como um conjunto de coeficientes que fornecem informação sobre a posição e a freqüência da função em resoluções diferentes. • A multiresolução é bastante útil para análise de imagens. Ela permite que objetos difíceis de serem identificados em uma determinada resolução possam ser identificados a partir de uma resolução mais apropriada, (mais alta ou mais baixa). • Em uma imagem, esses objetos são entendidos como regiões que possuem texturas ou pixels com intensidades semelhantes. • Objetos maiores possivelmente não necessitam de uma resolução muito alta para serem identificados, já para objetos pequenos uma resolução alta pode ser necessária. A idéia é poder transitar entre diferentes resoluções em busca de melhores análises.

42. Análise Multiresolução • Levando em considerações que a transformada Wavelets é uma projeção sobre um conjunto de dados não ortogonais, Ingrid Daubechies desenvolveu um trabalho que trata de decomposição em uma série de Wavelets ortogonais. • Logo depois, Stephane Mallat desenvolveu uma nova abordagem chamada “Multiresolução” que se tornou uma ferramenta fundamental na teoria de sianais e fornece recursos poderosos para computar a transformada Wavelets de uma imagem

43. Análise Multiresolução • De ponto de vista teórico, uma multiresolução define operadores lineares que permitem analisar um sinal em diferentes escalas • Além disso, pode-se dizer que a construção de uma multiresolução é realizada por uma função escala que se dilata através as escalas • O sinal projetado sobre essa função fornece uma representação do sinal de origem numa escala superior • Essa representação (coeficiente de projeção) é conhecida como termo de aproximação • Afim de reconstruir o sinal a partir dos coeficientes de aproximação, deve-se também projetar o sinal original sobre um espaço perpendicular (conservação de toda informação) • Esta segunda projeção contém os detalhes do sinal de origem

44. Análise Multiresolução • De modo geral, pode-se dizer que a função escala é um filtro passa-baixa e a Wavelets é um filtro passa-alta. Os detalhes são portanto as altas freqüências do sinal e essas altas freqüências são muitos importantes em processamento de imagens • Existem diferentes aplicações na área de Processamento de Imagens como por exemplo: • Detecção de contornos multiescalas • Eliminação do ruído (Denoising) • Compressão (1D e 2D)

45. Análise Multiresolução • Matematicamente, este conceito pode ser compreendido a partir da utilização de subespaços formados tanto pelas funções de escala quanto pelas wavelets • Partindo de um sinal de nitidez (ou refinamento j), que pertence a um subespaço Vj, verifica-se que para representar uma função L2(R) é necessário que: onde a união de todos subespaços é L2(R) e a interseção entre eles é o espaço vazio

46. Análise Multiresolução • Por exemplo, uma função f(t) pode ser projetada em cada passo j no subespaço Vj de acordo com a equação (1) • Segundo as equações (1) (2) e (3), se uma função esta definida em um subespaço Vj, a função f(2t) passa a ser definida em um subespaço Vj+1, tal que: • Os subespaços são gerados pelas translações da função escala Assim, a relação deve ser satisfeita

47. Análise Multiresolução • Isso significa que a função escala (t) e suas translações internas (t-1) formam a base do subespaço Vj-1 • Assim, essa função se define como a combinação linear de (2t-k) o que garante Vj-1Vj • O conjunto de funções j,k formam uma base do subespaço Vj e são obtidos através de operações de dilatação j e translação k

48. Análise Multiresolução • A função que gera uma multiresolução é uma função escala  L2(R) • No caso diádico, a função escala é definida por O projetor é então O produto interno representa a aproximação do sinal na escala j

49. Análise Multiresolução • Para complementar esta análise, necessita-se de um subespaço complementar Wj ortogonal a Vj, este espaço se chama espaço dos detalhes ou espaço Wavelets (formados pelas Wavelets (t)) • Estes subespaços que constituem uma base ortonormalizada em L2(R) a um dado nível de resolução j (escala j) podem ser definidos como o complemento ortogonal (Vjc) de Vj em Vj+1 • É o complemento que necessário para passar de um nível de resolução j para um nivel de resolução j+1 • Matematicamente, isso é definido como

50. Análise Multiresolução • Deste modo, pode-se definir que pode ser estendido para ou seja sendo arbitraria a escala j do espaço inicial.