Zagadnienie początkowe zwyczajne pierwszego rzędu - 1/5

1. Zagadnienie początkowe zwyczajne pierwszego rzędu - 1/5 Zajmować się będziemy równaniem różniczkowym zwyczajnym pierw-szego rzędu zapisanym w postaci normalnej, tzn. w postaci y = f(x,y), gdzie f jest daną funkcją, x – zmienną niezależną (przebiegającą podany przedział), y – poszukiwaną funkcją zmiennej x. Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) spotykał w swym domu rodzinnym Laplace’a (1749-1827) i Lagange’a (1736-1813), podczas studiów w École Polytechnique analizy nauczał go A.M.Ampère (1775-1836). Choć bardzo wysoko go oceniano, zatrudnienie na uczelniach, o które się ubiegał, otrzymywali najczęściej inni - przegrał m.in. z Legendrem (1752-1833), Poinsotem (1777-1859) i Binetem (1786-1856). Dopiero rok 1816 przyniósł odmiane, gdy paryska Acadéemie des Sciences nagrodziła jego pracę dotyczącą fal. Opublikował 789 prac i książek, m.in. Cours d'analyse(1821) i 4-tomowe Exercices d'analyse et de physique mathématique(1840-47). Znaczenie jego wyników uwidacznia obecność jego nazwiska w takich zagadnieniach jak ciag Cauchy’ego, mnożenie w sensie Cauchy’ego, równania Cauchy-Riemanna, wzór całkowy Cauchy’ego, dystrybucja Cauchy’ego, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, twierdzenie Cauchy-Kowalewskiej. Podał ścisłą definicję granicy ciągu i zdefiniował pochodną jako granicę ilorazów różnicowych. Pokazał m.in., że sin(x)/x1 gdy x0. Od niego pochodzi współczesne określenie permutacji i jej oznaczenie. Podjął pionierskie badania dotyczące grup permutacji. Zagadnieniem Cauchy’ego (albo początkowym) dla ww. równania nazywamy zadanie, w którym znajdujemy funkcję rzeczywistą y zmiennej x (a,b) spełniającą to równanie i tzw. warunek początkowy y(a) = A. Definicja zagadnienia Cauchy’ego Warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązania tego zadania podał Augustin Cauchy w r.1838 w następującym twierdzeniu: Jeżeli w otoczeniu punktu (x0,y0) płaszczyzny kartezjańskiej są ciągłe funkcja (x,y)  f(x,y) i jej pochodna względem drugiego argumentu, to istnieje dokładnie jedna funkcja y zmiennej x taka, że y(x0) = x0 i y’(x) = f(x,y(x)) w pewnym przedziale zmiennej x zawierającym punkt x0. Wynik Cauchy’ego uogólnił Rudolf Lipschitz (1832-1903) wskazując, że zagadnienie Cauchy’ego ma rozwiązanie (i jest ono jednoznaczne), jeśli funkcja f jest ciągła ze względu na pierwszy argument i lipschitzowska ze względu na drugi (tzn. istnieje taka stała L, że dla dowolnych y, z spełniona jest nierówność |f(x,y)-f(x,z)|  L·|x-z| ). Adam Marlewski, 08.IV.2003 Prowadzący: dr A.Marlewski

2. Zagadnienie początkowe zwyczajne pierwszego rzędu - 2/5 Określmy na prostokącie <x0,xm><y0,yn> regularną siatkę punktów (xj,yk), a więc weźmy xj = x0 + j·(xm-x0)/m dla j=0..,m, yk = y0 + k·(yn-y0)/n dla k=0..n. Pole kierunków Kierunkiem równania y’ = f(x,y) w punkcie (xj,yk) płaszczyzny kartezjańskiej nazywamy liczbę f(xj,yk). Jest więc kierunek współczynnikiem kierunkowym stycznej do poszukiwanego rozwiązania y = y(x) równania różniczkowego wystawionej w punkcie (xj,yk), przez który to rozwiązanie przechodzi. Kierunek zaznacza się jako odcinek stycznej rozpoczynający się w punkcie siatkowym (xj,yk) lub mający w tym punkcie środek. W programie DERIVE przykładowe pole kierunków dla równania y’ = cos(x)·y nad prostokątem <-3,3><-2,6> uzyskujemy obrazując (zawsze przy wartości Points Connect Yes, najlepiej gdy Points Size Small i no Change Plot Colors) uproszczenie (w trybie przybliżonym, ) napisu DIRECTION_FIELD(COS(x)*y,x,-3,3,24,y,-2,6,32) Uzyskany obraz pokazany jest powyżej. Zbiór wszystkich kierunków nazywa się polem kierunków. Adam Marlewski, 08.IV.2003 Prowadzący: dr A.Marlewski

3. Zagadnienie początkowe zwyczajne pierwszego rzędu - 3/5 Przykład. W równaniu y’ = cos(x)·y możemy rozdzielić zmienne, tzn. możemy je przepisać w postaci dy/y = cos(x)·dx. Całkując lewą stronę względem y, a prawą – względem x, otrzymujemy zależność ln|y| = sin(x) + c, gdzie c jest dowolną stałą Zależność ta jest równaniem rodziny krzywych stanowiących rozwiązanie danego równania różniczkowego. Zależność tę możemy rozwikłać ze względu na y: |y| = exp(sin(x)+c) = exp(c)·exp(sin(x)), czyli y = d·exp(sin(x)), gdzie |d| = exp(c). Rodzina rozwiązań równania różniczkowego W programie DERIVE równania 7 przedstawicieli (mianowicie dla d = -2, -1, ..., 5) tej rodziny krzywych uzyskujemy symplifikując napis VECTOR(d*EXP(SIN(x)),d,-2,4). Wykresy tych 7 krzywych, naniesione na pole kierunków rozważanego równania różniczkowego, pokazuje rysunek obok . Adam Marlewski, 08.IV.2003 Prowadzący: dr A.Marlewski

4. Zagadnienie początkowe zwyczajne pierwszego rzędu - 4/5 Przybliżenia yi wartości y(xi) rozwiązania dokładnego y = y(x) zagadnienia Cauchy’ego y’ = f(x,y), y(a) = A można wyznaczać stosując jawna metodę Eulera. Jest ona określona jest wzorem x0 :=a, y0 :=A, xi := a + i·h, yi := + h·f(xi-1,yi--1) dla i=1,2,3,.... . Ustalona z góry liczbę h > 0 nazywa się krokiem tej metody, zaś wartości yi – przybliżeniami eulerowskimi. Rozwiązywanie numeryczne – wpływ kroku metody Eulera W programie DERIVE ciąg przybliżeń eulerowskich [xi,yi] uzyskujemy upraszczając (w trybie przybliżonym, ) napis EULER_ODE(f,x,y,x0,y0,h,n) Na rysunku obok pokazane są rozwiązania eulerowskie uzyskane dla równania y’ = f, gdzie f := cos(x)·y przy x0 = –3, y0 = 1.8 oraz parach (h, n) równych (1,6), (0.5,12), (0.1,60) i (0.05, 120). Widać, iż ze zmniejszaniem kroku h rozwiązania eulerowskie coraz lepiej wpisują się w pole kierunków, a to świadczy, że rozwiązania te są coraz bliższe rozwiązaniu dokładnemu. Rozwiązanie dokładne y = 1.8·exp(sin(x)+sin(3)) wkreślone jest kolorem czerwonym Adam Marlewski, 08.IV.2003 Prowadzący: dr A.Marlewski

5. Zagadnienie początkowe zwyczajne pierwszego rzędu - 5/5 Rozpatrzymy teraz wpływ wartości A występującej w warunku początkowym y(a) = A na rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego, w którym równaniem różniczkowym jest y’ = cos(x·y). Z krokiem h = 0.05 wyznaczmy krzywe eulerowskie dla zadania y’ = cos(x·y), x  (–3, 3), y(–3) = A, gdzie A = 1.8 + k oraz k := k/10, k=–3, –2,...,4. Poniżej: wykresy krzywych, opisanych wartością A. Uzyskaliśmy je w programie DERIVE upraszczając napisy EULER_ODE(COS(x*y),x,y, –3,A,0.05,120). Wykresy pokazują, jak zaburzenie wartości A wpływa na kształt łamanych Eulera. W punkcie x = 3 metoda Eulera daje wartości ek; podaje je poniższa tabelka (w której np. k := k–k-1, względny błąd procentowy WBP = ek/k·100%). k A k k ekek WBP –3 1.5 –0.3 0.658 –2 1.6 –0.2 0.1 0.659 0.001 1 –1 1.7 –0.1 0.1 0.663 0.004 4 0 1.8 0 0.1 0.686 0.023 23 1 1.9 0.1 0.1 1.469 0.783 783 2 2.0 0.2 0.1 2.887 1.338 1338 3 2.1 0.3 0.1 2.967 0.190 190 4 2.2 0.4 0.1 3.003 0.036 36 Wpływ wartości początkowych na rozwiązywanie zadania Cauchy’ego Inaczej niż w przykładzie poprzednim (y’=cos(x)·y), rozważanego teraz równania nie można rozwiązać analitycznie. Sprawdzenie przebiegu krzywych eulerowskich z polem kierunków jest metodą graficzną sprawdzenia ich poprawności. Wyrysowane pole kierunków powstało wskutek uproszczenia napisu DIRECTION_FIELD(COS(x*y),x,-3,3,30,y,0,4,20). Adam Marlewski, 08.IV.2003 Prowadzący: dr A.Marlewski