1 / 15

Vsebina

Diskretni problemi Grafi, drevesa Osnovna pravila kombinatorike Izbori Porazdelitve Metoda tirov Pravilo vključitev in izključitev Rodovne funkcije Trdnjavski polinomi Rekurzivne enačbe. Vsebina. Rodovne funkcije. Rodovne funkcije - motivacija.

hammett-bentley
Download Presentation

Vsebina

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Diskretni problemi Grafi, drevesa Osnovna pravila kombinatorike Izbori Porazdelitve Metoda tirov Pravilo vključitev in izključitev Rodovne funkcije Trdnjavski polinomi Rekurzivne enačbe ... Vsebina

  2. Rodovne funkcije

  3. Rodovne funkcije - motivacija • Ideja rodovne funkcije je koristna. Spomnimo se Newtonovega binomskega obrazca: • Z njim lahko v preprosto funkcijo (1+x)n “zakodiramo” vrstico Pascalovega trikotnika.

  4. Običajne rodovne funkcije • Poljubnemu zaporedju števil: a = (a0,a1, ..., an, ...) priredimo vsoto: G(a, x) = G(x) = a0x0 + a1x1 + ...,+ anxn + ... • Iz analize I vemo, da je mogoče dovolj pohlevno funkcijo G(x) razviti v Taylorjevo vrsto in tako z njo definiramo zaporedje števil. • Funkciji G(a, x) pravimo (običajna) rodovna funkcija zaporedja a. • Na tem mestu bomo pustili ob strani probleme obstoja, enoličnosti, konvergence, itd.

  5. Rodovna funkcija za kombinacije s ponavljanjem • Zaporedje kombinacij s ponavljanjem enega elementa reda r je preprosto: 1,1,1, ...., ustrezna rodovna funkcija je e(x) = 1/(1 – x). • Po pravilu produkta lahko sklepamo, da je rodovna funkcija kombinacij s ponavljanjem n elementov enaka: e(x)n = 1/(1 - x)n

  6. Naloga • Koliko je kombinacij s ponavljanjem n elementov reda r, če se vsak element pojavi vsaj k-krat? • Rodovna funkcija za en element: xk/(1-x). • Rodovna funkcija za n elementov je (xk/(1-x))n = xkn/(1-x)n. • r-ti člen v razvoju je C(r – (k -1)n – 1,n - 1)

  7. Rodovna funkcija številskih razbitij • Naj P(x) označuje neskončni produkt: • P(x) = (1/(1-x))(1/(1-x2))...(1/(1-xn)) ... • Naloga: • Napiši prvih 10 členov potenčne vrste za P(x). • Primerjaj jih s prvmi 10 členi zaporedja p(n), razbitij števila n. • Mogoče je pokazati, da je P(x) rodovna funkcija zaporedja p(n).

  8. Eksponentna rodovna funkcija • Ob običajni rodovni funkciji so včasih koristne tudi drugačne rodovne funkcije. • Zgled: funkcijo enx lahko razvijemo v vrsto: enx = 1 +n x/1! + n2 x2/2! + ... + nr xr/r! + ... • Očitno lahko tako zakodiramo zaporedje variacij s ponavljanjem nr. Idejo lahko posplošimo. Namesto običajne rodovne funkcije G(a, x) vpeljemo eksponentno rodovno funkcijo E(a, x): • G(a, x) = a0x0 + a1x1 + ...,+ anxn + ... • E(a, x) = a0x0/0!+ a1x1/1! + ...,+ anxn/n! + ...

  9. Druge rodovne funkcije • Znane so še nekatere druge rodovne funkcije: Dirichletova rodovna funkcija • D(a, x) = a1/1x + a2/2x + ... + an/nx + ... • Eulerjeva rodovna funkcija • Eu(a, x, q) = a0 + a1x/(1-q) + ... + anxn/[(1-q)(1-q2)...(1-qn)] + ...

  10. Fibonaccijevo zaporedje • Leonardo iz Pise je na prelomu dvanajstega v trinajsto stoletje obravnaval naslednje zaporedje: • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... V katerem je vsak člen vsota prejšnjih dveh členov. Formalno: • F0 = F1 = 1 • Fn = Fn-1 + Fn-2

  11. Rodovna funkcija za Fn • Naj F(x) označuje ustrezno rodovno funkcijo. Z algebrsko telovadbo najdemo zvezo: • F(x) = 1 + (x + x2) F(x), oziroma: • F(x) =1/(1 – x – x2). Z nastavkom: • 1/(1 – x – x2) = A/(1 – ax) + B/(1-bx) in z upoštevanjem, da je 1/(1 – cx) = 1 + cx + c2x2 + ... lahko izračunamo A, B, a in b ter zapišemo neposredno: • Fn = Aan + Bbn = (1/5)1/2)[((1 + 51/2)/2)n+1-((1-51/2)/2)n+1]

  12. Zlati rez • Naj f označuje število f = (1 + 51/2)/2 = 1.61803. Pravimo, da je frazmerje zlatega reza. Število f ima mnoge lepe lastnosti in ga pogosto, tako kot števila Fibonaccijevega zaporedja, najdemo v naravi. • Naloga: • Dokaži, da je f2 = f + 1. • Dokaži, da je f-1 = f - 1. • Dokaži, da je lim n Fn/Fn-1 = f.

  13. Catalanova števila • Na koliko načinov lahko pravilno postavimo n parov oklepajev? • () ... C1 = 1 • ()(),(()) ... C2= 2 • ... • Privzamemo še C0 = 1 in dobimo zaporedje: • 1, 1, 2, 5, ... Z rodovno funkcijo C(x).

  14. Zveza in rodovna funkcija • Velja karakteristična zveza: • Cn+1 = C0 Cn + C1 Cn-1 + ... + Cn-1 C1 + Cn C0, ki skupaj z začetnim pogojem C0 = 1 zaporedje enolično določa. Za rodovno funkcijo velja: • x C(x)2 – C(x) + 1 = 0, kar zadošča za izračun: • C(x) = (1 - (1 – 4x)1/2)/(2x) • Pri tem izberemo pravo vrednost (izmed obeh možnih korenov kvadratne enačbe) na podlagi dejstva, da mora biti C(0) = C0 = 1.

  15. Končni rezultat • Ko rodovno funkcijo razvijemo v vrsto, npr. tako, da uporabimo posplošitev binomskega obrazca za potenco ½, dobimo Catalanova števila:

More Related