¿Qué es un modelo conceptual?

1. ¿Qué es un modelo conceptual? Es el aspecto más importante del proceso de simulación; validez, velocidad, confianza que se deposita en el modelo. Existe poca literatura al respecto. Es una descripción sin software de un modelo de simulación que va a ser desarrollado, describe los objetivos, las entradas, las salidas, los contenidos y simplificaciones del modelo.

2. ModelosConceptuales Dra. Sandra Gutiérrez P. Departamento de Matemática EscuelaPolitécnicaNacional

3. Modelo conceptual Objetivos: El propósito del modelo y del proyecto de modelación. Entradas: Aquellos elementos del modelo que pueden ser modificados para producir una mejora o una mejor comprensión del mundo real, también se los denomina factores experimentales. Salidas: reportan los resultados de las corridas de simulación.

4. Modelo conceptual Contenidos: las componentes que van a ser representadas en el modelo y sus interconexiones. Supuestos: se hacen cuando existen incertidumbres o dudas acerca del sistema real a ser modelado. Simplificaciones: se incorporan en el modelo para facilitar su desarrollo y uso.

5. Modelo conceptual • El contenido del modelo se describe en términos de • Alcance del modelo: describe las limitaciones del modelo o la porción de sistema real que estará incluido en el mismo. • El nivel de detalle: el detalle que será incluido para cada componente considerada en el alcance del modelo.

6. Modelo conceptual Mantener el modelo simple: es la clave de una buena modelación.

7. Comunicando el modelo conceptual • Es importante comunicar el modelo y que exista una conexión entre los modeladores y los usuarios. • Dependiendo de la naturaleza del problema, en la descripción a terceros es necesario incluir al menos lo siguiente: • Antecedentes del problema • Objetivos del estudio de simulación • Beneficios esperados • La descripción principal del modelo (entradas, salidas, etc…)

8. Comunicando el modelo conceptual • Experimentación: los escenarios que serán considerados. • Datos requeridos: cuándo se requieren y quién o quiénes serán los responsables de su recolección. • Tiempo requerido y posibles retrasos. • Costo estimado

9. Representando el modelo conceptual • Las cuatro formas más usuales de representar el modelo son: • Lista de componentes • Diagrama de flujo del proceso • Diagrama lógico del proceso • Diagrama de ciclo de actividades

10. Lista de componentes Describe las componentes del modelo con alguna descripción del detalle incluido para cada una.

11. Diagrama de flujo de procesos o mapa de procesos El modelo conceptual se representa como un mapa de procesos, indicando cada componente del sistema en una secuencia, incluyendo alguna descripción del detalle del modelo.

13. Diagrama de flujo lógico Usa símbolos de diagrama de flujo estándar para representar la lógica del modelo más que el flujo de procesos.

15. Diagrama de ciclo de actividad Se utilizan para representar específicamente modelos de simulación discreta. Los círculos representan ”estados muertos”, mientras que los rectángulos “estados activos”.

16. Ejercicio Un call center tiene tres tipos de llamadas y 110 operadores. Actualmente, sólo el 20% de operadores puede atender el tercer tipo de llamada. Se está considerando contratar operadores entrenados adicionales, así como entrenar a otros operadores para que sean capaces de responder llamadas tipo 3. Se conoce que el 2% de usuarios cuelgan mientras están en espera y que los costos operativos exceden 10 millones por año.

17. Esboce un proyecto de simulación. ¿Cuáles serían sus objetivos, entradas, salidas, etc? Diseñe un diagrama de flujo lógico para describir el problema.

18. Números aleatorios Un generador de números aleatorios es un algoritmo que produce secuencias de números que siguen una distribución de probabilidad específica y tienen apariencia de aleatoriedad Se llamará número aleatorio a una observación aleatoria a partir de una distribución uniforme. Para otra distribución de probabilidad, se hablará de observaciones aleatorias.

19. Números aleatorios Números aleatorios enteros

20. Números aleatorios Números aleatorios uniformes Números pseudoaleatorios= generados por una computadora

21. Generadores lineales congruenciales El método congruencial genera una sucesión de números aleatorios enteros en un intervalo de 0 a m-1. Se calcula el siguiente número a partir del último que se obtuvo, dado un número aleatorio inicial llamado semilla, que se puede obtener de una tabla de números aleatorios. Se utiliza la siguiente fórmula

22. Donde a , c y m son enteros positivos, tal que a < m y c < m. Los valores posibles de xn+1 son 0,1,…,m-1. m representa el número deseado de valores diferentes. Encuentre una sucesión de números aleatorios para c=7 ,a=5 y m=8. Considere x0=4

23. Longitud de ciclo máxima_: m

24. Números aleatorios enteros y aleatorios uniformes

25. Generación de números aleatorios Si se trabaja con una computadora binaria de tamaño de palabra b bits, la elección normal para m es m= 2b ; este es el número de enteros no negativos que se pueden expresar dentro de la capacidad de tamaño de palabra, y se selecciona a=1, 5, 9, 13, … y c= 1, 3, 5, 7, … Si es una computadora decimal de tamaño de palabra d dígitos, la elección normal de m es m=10d y a= 1, 21, 41, 61, … y c= 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19

26. Generación de observaciones aleatorias a partir de una distribución de probabilidad Suponga que quiere generar una variable aleatoria que tiene la siguiente función de distribución Para hacer esto generamos números aleatorios uniformes y decimos:

27. Dado que para 0<a<b<1, P{a ≤ U < b}=b-a se tiene que Y así X tiene la distribución deseada.

28. Ejemplo Suponga que se quiere simular una variable aleatoria tal que: p1=0.20, p2=0.15, p3= 0.25, p4= 0.4 donde pj=P{X=xj}

29. Método de transformación inversa (Distribuciones más complicadas) Sea la variable aleatoria X con su respectiva función de distribución acumulativa La generación de números aleatorios sigue dos pasos: Genere un número aleatorio uniforme entre 0 y 1. Establezca F(x)=r y despeje x, que es entonces la observación aleatoria deseada que sigue la distribución de probabilidad dada.

30. Ejemplo: distribución exponencial Para la distribución exponencial se conoce su función de distribución acumulativa: Donde 1/α es la media de la distribución

31. Distribución normal Aplicando el teorema del límite central: “La suma de un gran número de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas tiene aproximadamente una distribución normal”

32. Ilustración del método de la transformación inversa.

33. Distribución normal Un número uniforme entre 0 y 1 tiene media ½ y desviación estándar1/raíz(12) Por el teorema del límite central, la suma de n números aleatorios uniformes tienen una distribución normal aproximada de media n/2 y desviación estándar Así si r1, r2, …, rn constituyen una muestra de n números aleatorios uniformes entonces

35. Evaluación de Integrales con números aleatorios Sea g(x) una función, queremos encontrar θ donde Para calcular el valor de θ , nótese que si U está distribuida uniformemente entre (0,1), entonces θ se puede expresar como

36. ¿Por qué? Por la ley fuerte de los grandes números. Si U1,…Uk, son variables a aleatorias uniformes entre (0,1), se sigue que las variables aleatorias g(U1), …, g(Uk) son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que tienen media θ. Por la ley fuerte de los grandes números, se sigue que con probabilidad 1

37. Ejercicios: Utilizar el método de Monte Carlo para aproximar las siguientes integrales. Comparar con la respuesta exacta (si se conoce). a) d) b) c)

38. Entonces se puede aproximar θ generando un gran número de números aleatorios ui y tomar como aproximación de la integral al promedio de g(ui). Esta aproximación se denomina el método de Monte Carlo. ¿Cómo se evaluarían las siguientes integrales?