Rangul unei matrice

1. Ranguluneimatrice

2. Rangul unei matrice Fie o matrice din M mn(C) şi k N astfel încât 1 ≤ k ≤ min(m,n). Dacă luăm din matricea a k linii şi k coloane, elementele care se găsesc la intersecţia acestor linii şi coloane formează o matrice pătratică al cărei determinant se numeşte minor de ordin k al matricei A. Din matricea A se pot obţine minori de ordin k.

3. Definiţiișiteoreme • Definiţie • Fie A M mn(C) o matrice de tip (m,n) nenulă. Spunem că matricea A are rangul r (rangA = r) dacă are un minor de ordin r, nenul, iar toţi minorii de ordin mai mare din A (dacă există) sunt nuli. • Observaţie • Dacă A este matricea nulă, convenim să spunem că rangul ei este 0, adică rangOmn = 0. • Teoremă • Fie A M mn(C) o matrice nenulă. Numărul natural r este rangul matricei A dacă şi numai dacă există un minor de ordin r din A nenul şi toţi minorii de ordin r+1 (dacă există) sunt nuli.

4. Definiții și teoreme Teoremă Fie A M mn(C) şi BM np (C) două matrice. Atunci orice minor de ordin k (l≤k≤ min(m,p)) al produsului AB se poate scrie ca o combinaţie liniară de minori de minori de ordin k ai matricei A (sau, ca o combinaţie liniară de minori de ordin k ai matricei B). Consecinţă: Rangul produsului a două matrice este mai mic sau egal dacât rangul fiecărei matrice în parte. rang(A∙B) ≤ rangA şi rang(A∙B) ≤ rangB.

5. Observații • 1. Deoarece fiecare linie a unei matrice A M mn(C), poate fi privită ca un vector în spaţiul liniar Cn/Cşi fiecare coloană ta lui A poate fi privită ca un vector în spaţiul liniar Cm/C,rangul matricei A coincide cu numărul maxim de linii liniar independente ale lui A (sau cu numărul maxim de coloane independente ale lui A, acest număr fiind acelaşi). • 2. Rangul unei matrice se calculează pornind de la un minor de ordin unu nenul (un element al matricei A nenul). Se adaugă o linie şi o coloană pentru a obţine minori de ordin 2. Dacă măcar unul este nenul, se continuă operaţia până se obţin minori de un anumit ordin, fie acesta r+1, toţi nuli. Rangul matricei A va fi r. • 3. Rangul unei matrice A M mn(C) se mai poate calcula şi folosind metodele transformării în matricea unitate sau în matricea triunghiulară, metode iterative prezentate în capitolul IV al prezentei lucrări, precum şi cu ajutorul sistemelor de ecuaţii liniare prezentate în acelaşi capitol.

6. ExercitiiPropuse Determinați rangul următoarelor matrice