1 / 34

Matrice

Matrice. MATRICE. matrica tipa m x n . Brojevi su elementi matrice ili komponente matrice . i -ti redak j -ti stupac Dijagonal a matrice . Matrice. Ako je m=n kažemo da je A kvadratna matrica reda n .

loki
Download Presentation

Matrice

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Matrice

  2. MATRICE • matrica tipa m x n. • Brojevi su elementi matrice ili komponente matrice. • i -ti redak • j-ti stupac • Dijagonala matrice

  3. Matrice • Ako je m=n kažemo da je Akvadratna matrica reda n . • Ako je m=1 kažemo da je A retčana matrica (ima samo jedan redak), • Ako je n=1kažemo da je Astupčana matrica. • Retčane i stupčane matrice se još zovu vektori.

  4. Matrice • Matrice A i B su jednake ako su istog tipa i ako je aij=bij za sve parove indeksa i,j

  5. Zbrajanje matrica • Mogu se zbrajati samo matrice istog tipa. Ako su matrice A i B istog tipa, tada je matrica • C=A+B • istog tipa kao i matrice A i B ivrijedi cij=aij+bij • Dakle, matrice se zbrajaju član po član. • Svojstva zbrajanja su : • A+B=B+A   (komutativnost) • (A+B)+C=A+(B+C)  (asocijativnost)

  6. Množenje matrica sa skalarom • Matrica se množi s nekim skalarom (brojem) tako da se svaki element matrice pomnoži s tim brojem. • Drugim riječima, elementi matrice B=λA su bij=λaij • Svojstva ove operacije proizlaze direktno iz svojstava množenja brojeva: • λ(A+B)=λA+λB • (λ+μ)A=λA+ μA • λ(μA)=(λμ)A

  7. Množenje matrica • Definicija množenja matrica je na prvi pogled neobična, ali upravo nam ona omogućava jednostvno zapisivanje sustava linearnih jednadžbi. • Matrice A i B možemo pomnožiti samo ako su ulančane, odnosno ako A ima onoliko stupaca koliko Bima redaka. Matrica C=A*B ima redaka koliko A i stupaca koliko B. Neka je, dakle, A tipa m x k i B tipa k x n . Tada je matrica C tipa m x n i vrijedi:

  8. * = 1*1+2*2+3*3=14

  9. Množenje matrica Element (2,3) se izračunava: • množenje matrica općenito nije komutativno. • vrijedi: • (i) (AB)C=A(BC) (asocijativnost), • (ii) A(B+C)=AB+AC(distributivnost), • (iii) (A+B)C=AC+BC(distributivnost), • (iv)λ(AB)=(λ A)B=A(λ B)

  10. Nul matrica i jedinična matrica • Kod zbrajanja brojeva broj 0 je neutralni element s obzirom na zbrajanje • Analogija kod matrica je nul-matrica koja ima sve elemente jednake nuli. Nul-matricu označavamo s O, odnosno Omn kada želimo naglasiti o kojem tipu se radi. • Kod množenja brojeva broj je neutralni element s obzirom na množenje, odnosno • Analogija kod matrica je jedinična matrica . Ukoliko matrica nije kvadratna, jedinične matrice u odnosu na množenje slijeva i zdesna su različitog reda.

  11. Nul matrica i jedinična matrica

  12. Transponirana matrica • Transponirana matrica matrice A je matrica AT koja je definirana sa • [AT]ij=Aji • Ako je A tipa m x n , AT je tima n x m • Očito je (AT) T • Vrijedi : • (A+B)T =AT +BT • (μA)T =μAT • (AB)T =AT BT • Matrica za koju je AT=A je simetrična matrica.

  13. Operacije s matricama • Promatrati ćemo samo realne matrice, odnosno dvodimenzionalna polja podataka, i vektore, tj. jednodimenzionalna polja podataka.

  14. Formiranje matrica >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> B=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  15. Formiranje matrica • Moguće je i automatizirano formiranje vektora >> x=(0:0.1:1) x = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 11 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 >> y=linspace(0,1,11) y = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 11 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000

  16. Formiranje matrica • Kreiranje matrica čiji su elementi slučajni brojevi • Rand(m,n) – kreira matricu dimenzija m x m čiji su elementi slučajno generirani brojevi između 0 i 1 • Rand(m)-kreira kvadratnu matricu dimenzija m x m čiji su elementi slučajno generirani brojevi između 0 i 1 • Ukoliko želimo brojeve 0 -10 moramo cijelu matricu pomnožit s 10 • A=fix(rand(3)*10) A = 4 2 0 8 6 65 8 3

  17. Formiranje matrica • U MATLABu postoje funkcije kojima se mogu definirati matrice čiji elementi su jednaki jedinici i nuli (nul matrica)

  18. Pristupanje dijelu matrice • Pojedini element matrice možemo ispisati definiranjem njegova retka i stupca (npr. element matrice A u prvom retku i drugom stupcu) >> A(1,2) ans = 2 • Ukoliko želimo vidjeti prva dva retka matrice A >> A(1:2,:) ans = 1 2 3 4 5 6

  19. Pristupanje dijelu matrice • Moguća je korekcija pojedinih elemenata >> r=[101 102 103]; >> A(3,:)=r A = 1 2 3 4 5 6 101 102 103

  20. Pristupanje dijelu matrice • Moguća je nadopuna matrice (npr. želimo matricu B proširiti s dodatnim redom jednakim vektoru-retku r) >> B=[B;r] B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 102 103

  21. Pristupanje dijelu matrice • Ukoliko bi kod matrice A definirali element u drugom redu i šestom stupcu matrica se proširuje na portebnu dimenziju dodavajući na novodefiniranim mjestima nule. >> A(2,6)=1 A = 1 2 3 0 0 0 4 5 6 0 0 1 101 102 103 0 0 0

  22. Pristupanje dijelu matrice • Ukoliko dio matrice izjednačimo s praznom matricom [ ] isti dio se briše čime se početna matrica svodi na ostatak: >> A(:,4:5)=[ ] A = 1 230 4 5 6 1 101 102 103 0

  23. Osnovne matematičke operacije s matricama • Operacije skalar - matrica • Operacije matrica - matrica • Operacije na elementima matrica

  24. Operacije skalar - matrica • Matrici možemo dodati i/ili oduzeti skalar pri čemu rezultat zadržava orginalnu dimenziju >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]; >> A-1 ans = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 >> 2*A-1 ans = 1 3 5 7 9 11 13 15 17

  25. Operacije skalar - matrica • Također je definirana operacija potenciranja matrice sa skalarom >> A.^2 ans = 1 4 9 16 25 36 49 64 81 Pri tome korišteno je '.^' da označi operaciju potenciranja koja se odnosi na elemente.

  26. Operacije matrica - matrica • Transponirana matrica >> A=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> B=A' B = 1 4 7 2 5 8 3 6 9

  27. Operacije matrica - matrica • Za matrice jednake dimenzije moguće je definirati operaciju zbrajanja >> A+B ans = 2 6 10 6 10 14 10 14 18 >> 2*A-B ans = 1 0 -1 6 5 4 11 10 9

  28. Operacije matrica - matrica • Ukoliko matrice imaju odgovarajuće dimenzije (ako je broj stupaca prve jednak broju redaka druge) moguće je izvršiti i operaciju množenja • >> A*B • ans = • 14 32 50 • 32 77 122 • 50 122 194

  29. >> C=[1 1;2 2;3 3] C = 1 1 2 2 3 3 >> A*C ans = 14 14 32 32 50 50 >> D=[1 1 1; 2 2 2] D = 1 1 1 2 2 2 >> D*A ans = 12 15 18 24 30 36 Operacije matrica - matrica

  30. Operacije matrica - matrica • Potenciranje koje bi se odnosilo na cijelu matricu je >> A^2 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150 • što je zapravo A*A

  31. Operacije na elementima matrica • operacije koje se provode po odgovarajućim elementima matrica. • Ukoliko su matrice jednakih dimenzija moguće je primjeniti operacije • množenja ('.*'), • djeljenja ('./' s desne i '.\' s lijeve strane) • i potenciranja ('.^') po elementima

  32. Operacije na elementima matrica >> A.*D ans = 1 2 3 8 10 12 21 24 27 >> A./D ans = 1.0000 2.0000 3.0000 2.0000 2.5000 3.0000 2.3333 2.6667 3.0000

  33. >> D./A ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.4000 0.3333 0.4286 0.3750 0.3333 >> A.\D ans = 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.4000 0.3333 0.4286 0.3750 0.3333 >> A.^D ans = 1 2 3 16 25 36 343 512 729

  34. Neke posebne funkcije • Diag(A) – izdvaja glavnu dijagonalu matrice • sum(A) – vraća vektor čiji su elementi sume stupaca matrice A • prod(A) - vraća vektor čiji su elementi umnošci elemenata stupaca matrice A • det(A) – računa determinatnu matrice • inv(A) – računa inverznu matricu matrice A • size(A) - daje nam dimenzije matrice

More Related