70 likes | 334 Views
Rangul unei matrice. Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rang A=r, daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minorii mai mari decat r (daca exista) sunt nuli. Daca A este matricea nula , convenim sa spunem ca matricea are rangul 0.adica rang 0 m,n =0.
E N D
Ranguluneimatrice Spunem ca matricea A are rangul r si scriem rang A=r, daca A are un minor nenul de ordin r , iar toti minorii mai mari decat r(daca exista)suntnuli. Daca A este matricea nula , convenim sa spunem ca matricea are rangul 0.adica rang 0m,n=0.
Fie ; matrice;Numarul natural r esterangulmatricei A dacasinumaidacaexista un minor de ordin r al luiA,nenul, iartotiminori de r+1 (dacaexista) suntnuli. • TEOREMA:
Calcululranguluiuneimatrice: • Rangul unei matrice se poate calculaastfel : • Fiind data o matrice nenula , aceasta are neaparat un minor de ordinul intai nenul (putem lua orice element nenul al matricei) ; • Daca am gasit un minor de ordinul k nenul , il bordam pe randul cu elementele corespunzatoare ale uneia dintre liniile si uneia dintre coloanele ramase , obtinand astfel toti minorii de ordinul k+1 care-l contin.
Daca toti acesti minori sunt nuli , rangul matricei este r = k . • Daca insa cel putin unul dintre acestia (de ordinul k+1 ) este nenul , atunci retinem unul dintre ei si continuam procedeul . • Numarul minorilor de ordinul r+1 care trebuie considerati este : • (m-r)(n-r) , pentru a stabili ca o matrice are rangul r nu mai poate fi micsorat . Totusi numarul de calcule necesar pentru a afla rangul unei matrice se poate reduce in diverse cazuri particul;
Ranguluneimatriceramaneneschimbat , daca : • - Multiplul unei linii (coloane) se aduna la o alta linie (coloana) . • - Liniile (coloanele) se schimba intre ele . • Rangul unei matrice mai poate fi calculat si folosind transformarile elementare , operatii de schimbare intre ele a liniilor sau coloanelor , sau prin adunarea lor , operatie repetata pana cand ajungem sa avem minimum de elemente diferite de zero rangul matricei A este egal cu numarul elementelor.